1、1 正弦定理正弦定理教学设计教学设计 陕西省西安中学 郑 欣 【背景介绍】 正弦定理选自北京师范大学出版社必修 5 第二章第一大节第 1 小节，本 节课是该小节的第 1 课时根据课程标准，教材把解三角形从以下三部分展开： 正弦定理与余弦定理、 解三角形及应用举例 本章主要是定量地揭示三角形边角 之间的数量关系 正弦定理与余弦定理是三角函数和三角恒等变形的延伸，是三 角函数与平面几何的完美结合教材强调学生在已有知识的基础上，通过对任意 三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数学量化思 想，发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创 造过程本节是解三角形
2、内容的开始，通过初中对直角三角形边角关系的研究发 现正弦定理这一优美对称的关系式，经历由特殊到一般的归纳思想，体会发现数 学规律的一般思路因此，本课有着开启全章，为进一步通过解三角形解决与测 量和几何计算有关的实际问题打基础的作用 【教学目标】 1知识与技能 从特殊三角形的边角关系出发，通过对任意三角形边长和角度的关系探 索，掌握正弦定理的内容及证明方法； 会应用正弦定理解决解三角形的基本问题 2过程与方法 让学生从已有的几何知识出发， 探究在任意三角形中， 边与其对角的关系， 体验正弦定理的发现过程； 引导学生观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，体会发现数 学规律的一般思路 3情感
3、态度与价值观 培养学生通过合情推理探索数学规律的思想方法，通过平面几何、三角函 数、 正弦定理、 平面向量等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一； 2 通过学生课堂展示，增强学生的协作能力和交流表达能力，发展学生的创 新意识，培养逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养 4现代教育技术 利用几何画板制作动态演示课件，促进学生对问题本质的理解； 学生独立应用科学计算器等其他计算工具进行三角函数值的相关计算 【教学重点、难点】 教学重点：正弦定理的发现及生成过程 教学难点：利用正弦定理解三角形 【学习者特征分析】 作为教学对象的学生是学习主体，为了突出学生的主体的地位，教师须全面 研究
4、学生，理解学生 1认识结构 经过半年多时间的学习， 学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提 高但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距，尤其表现在对知识的探究、联 想、迁移能力上在新课中，运用了生活中的实例，多媒体动画效果，引导学生 思维的“上路” ，让学生主动参与探究过程 2情感结构 随着年龄的增大， 阅历的丰富， 高中学生自主意识的增强， 有独立思考问题、 发现问题的能力在学生的探索活动中，主动通过设疑、质疑、提示等启发示手 段，帮助他们分析问题，激发学生的学习的兴趣 【教学媒体】 多媒体网络教室、几何画板、科学计算器 【教学方法】 本节课的教学重点是正弦定理的生成过程，因此主要采用
5、“动眼看、动脑 想、动手推、动口说”的探究式教学方法，增加了学生自主参与度，给学生充分 3 合作交流的机会，教给学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为 教学的主体，使学生“学”有所“思” ， “思”有新“得” ， “练”有所“获” ，让 学生产生学习的成就感，激发学生的学习兴趣 【教学流程】 针对本节课的内容的重点和难点，结合学生已有的认知水平，将采取创设 情境尝试探究抽象概括的教学思路，具体教学流程如图 1 图 1 【教学过程】 （一）创设情境，提出问题 夏季，在我国东南沿海地区，台风是一种常见的气象灾害，尤其是高级别的 台风过境，会给人民的生命、财产安全造成严重的损害某市防汛减
6、灾指挥中心 收到气象部门的台风预警：台风中心位于该市正东方向 300km 处，正以 40km/h 的速度向西北方向移动，距离台风中心 250km 范围内将会受到影响如果台风 风速不变，那么该城市从何时起要遭受台风影响?这种影响会持续多长时间? 教师活动 1：建立模型，几何画板动态演示台风过境对城市 A 的影响情况， 如图 2 所示 图 2 图 3 创 设 情 境 ， 提 出 问 题 尝 试 探 究 ， 提 出 猜 想 学 生 展 示 ， 生 成 定 理 强 化 理 解 ， 简 单 应 用 4 设计意图：设计意图：借助现代教育技术，为学生清晰地演示台风的移动过程，让学生 体会到科技的发展对数学学
7、习的重要促进作用 学生活动 1：定量分析台风移动过程：由于300250AB ，所以刚开始台 风 对 该 市 并 无 影 响 . 点A到 台 风 移 动 路 径BD的 最 小 距 离 s i n 4 51 5 022 1 1 . 52 5 0A EA B ，所以此次台风过境肯定要对该市产生影 响 学生活动 2： 解决该问题的关键是求影响 A 的始点 1 C和终点 2 C， 然后根据台 风的速度计算台风从 1 C到 2 C持续的时间，如图 3 所示.即在 1 ABC中，求解 1 BC， 在 2 ABC中，求解 2 BC 教师活动 2：像这样，已知三角形的某些边和角，求其余的边和角的过程就 是本章我
8、们将要研究的解三角形，本节课我们共同来学习正弦定理.（书写课题） 设计意图设计意图：自然合理地提出问题，从实际问题入手，凸显时代气息，使课堂 教学充满乐趣，让所学知识“活”起来，营造出轻松愉悦的学习氛围学生从中 体会到本章所研究问题是从生活中来，到生活中去 （二）尝试探究，提出猜想 教师活动 3：播放微课特殊三角形中的边角关系 ，如图 4 所示 图 4 图 5 微课主要内容： 如图 5 所示，在ABC中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c. 若ABC是直角三角形，不妨取90C ： 则sin,sin ab AB cc ，从而 sinsin ab c AB ， 又因为90C ，所以sin
9、 1C ， 5 所以 sinsinsin abc ABC . 若ABC是等边三角形，因为ABCabc，上述优美的关系式无疑 也是成立的 对于一般的三角形，上述优美的关系式还成立吗？ 教师活动 4：根据刚刚的微课讲解，对于一般的三角形，大家能否大胆提出 一个普遍性的规律？ 学生活动 3：在ABC中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，则各边 和它所对角的正弦的比相等，即： sinsinsin abc ABC 设计意图：设计意图：利用微课这一新兴的学习方式，通过对特殊三角形直角三角 形和等边三角形边角关系的研究，鼓励学生大胆提出猜想，渗透由特殊到一般的 数学思想方法 （三）学生展示，生成
10、定理 学生课前自主探究，从不同的角度证明上述猜想，教师为学生的展示提供支 持和评价 学生活动 4：我是利用三角函数的定义来证明上述关系式的 如图 6 所示，过点A作ADBC于D， 在Rt ABD中，sinADcB，在Rt ACD中，sinADbC， 从而sinsinbCcB，即 sinsin bc BC ，同理可证 sinsin ab AB ， 所猜想的关系式得证. 图 6 图 7 教师活动 5：这个证明过程有无漏洞？ 学生活动 5： 如图 7 所示， 如果ABC是钝角三角形， 过点A所作的高AD在 三角形的外部，在Rt ABD中，sin()sinADcBcB，与锐角的情况是一致 的 6 教师
11、活动 6：点评：综合两位同学的方法，点评：综合两位同学的方法，充分利用三角函数的定义、诱导充分利用三角函数的定义、诱导 公式等现有知识解决问题，将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已公式等现有知识解决问题，将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已 知问题知问题 学生活动 6：由刚才的证明方法，我发现三角形的高可以转化成边与角的正 弦值的乘积如图 8 所示，先作出三条边上的高AD，BE，CF，结合诱导公式， 不论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，都有： sinADcB，sinBEaC，sinCFbA， 从而 111 sinCsinsin 222 ABC SabacBbcA ， 同除以
12、1 2 abc，即得 sinsinsin abc ABC 教师活动 7：点评：点评：不仅利用等面积法达到了证明的目的，而且还得到了三不仅利用等面积法达到了证明的目的，而且还得到了三 角形面积计算公式角形面积计算公式只需求得三角形任意两边及其夹角即可只需求得三角形任意两边及其夹角即可 图 8 图 9 学生活动 7：如图 9，作ABC的外接圆，O为圆心，半径为R，连接BO并 延长交圆O于点 C ， 则2B CR ， 从而90BAC ， 在R t A B C中，sin 2 c C R 根据同弧所对的圆周角相等，即sinsin 2 c CC R ，从而2 sin c R C ， 同理可证2 sin a
13、 R A ，2 sin b R B ， 因此，对任意的三角形都有2 sinsinsin abc R ABC 教师活动 8：点评：点评：不仅达到了证明的目的，而且三角形边与对角正弦值之不仅达到了证明的目的，而且三角形边与对角正弦值之 比的几何意义比的几何意义三角形外接圆半径的三角形外接圆半径的 2 倍（直径）倍（直径） 学生活动 8：我采用向量法来证明，在ABC中，以A为原点，以射线AB的 方向为x轴正方向建立如图 10 所示的平面直角坐标系点C在y轴上的射影为 C ，则AC与BC在y轴正方向上的射影相同，分别为： 7 cos(90 )sinACAbA ， cos(90)sinBCBaB ， 所
14、以sinsinbAaB，即 sinsin ab AB ， 同理可证该优美关系式成立 图 10 教师活动 9：大家有没有发现这种方法证明过程中的漏洞？如果A为锐角或 者直角时， 还能得到同样的结论吗？把这个问题作为课后思考题， 大家继续探究 教师活动 10：点评：点评：该方法充分利用平面向量这一工具，体现了不同知识该方法充分利用平面向量这一工具，体现了不同知识 之间的之间的普遍联系和辩证统一普遍联系和辩证统一 抽象概括： 正弦定理：在三角形中，各边和它所对角的正弦值之比相等，即 sinsinsin abc ABC （红笔书写） 设计意图：设计意图：教师鼓励学生从不同的角度展示正弦定理的生成过程，
15、加强新旧 知识间的联系，注重形成新知识的探究过程虽然学生提供了四种方法，但这些 方法都蕴含着解直角三角形的思想，即将斜三角形直角化 教师活动 11：简单介绍与正弦定理相关的数学文化： 关于正弦定理的发现历史， 一般认为是中世纪阿拉伯数学家、 天文学家阿布关于正弦定理的发现历史， 一般认为是中世纪阿拉伯数学家、 天文学家阿布 瓦法（瓦法（Abul-Wefa，940998）提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三）提出并证明了球面三角形的正弦定理，而平面三 角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁角形的正弦定理的证明最先是纳绥尔丁-图西 （图西 （Nasiral-Dinal-Tusi,12011274
16、） 给） 给 出的出的我国清代数学家梅文鼎（我国清代数学家梅文鼎（16331721）在他的著作平三角举要中也给）在他的著作平三角举要中也给 出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式出了证明，而且还给出了正弦定理的完整形式 8 设计意图：设计意图：通过渗透数学史的内容，让学生得到数学美的熏陶，激发学生学 习科学文化知识的热情，体会到数学的发展历程中，所有的数学人，不分国界， 不分时代，共同推动着数学不断向前 （四）强化理解，简单应用 教师活动 12：正弦定理是解三角形的重要工具，下面，我们应用该定理来 解决课前提出的“台风过境”问题示范解题过程： 解 如图 11 所示，假设经过th，台风中心到达
17、点C，则在ABC中， 300ABkm，250AC km，40BCtkm，45B ， 由正弦定理 sinsinsin ACABBC BCA ， 知 sin300sin453 sin20.8485 2505 ABB C AC 利用计算器算得角C有两个解 1 121.95C ， 2 58.05C 图 11 当 1 121.95C 时， 1 180()180(45121.95 )13.05ABC ， 所以 1 1 sin250sin13.05 79.83 sinsin45 ACA BC B km， 1 1 79.83 2.0 4040 BC t h 同理，当 2 58.05C 时， 2 344.4BC
18、 km， 2 8.6t h 21 8.62.06.6tth 答 约2 h后将要遭受台风影响，持续约6.6h 思维拓展：思维拓展：一般来说，台风侵袭的范围（圆形区域）的半径会不断增大，本一般来说，台风侵袭的范围（圆形区域）的半径会不断增大，本 题没有考虑这个因素，如果考虑侵袭范围的变化，怎么办？大家课后思考题没有考虑这个因素，如果考虑侵袭范围的变化，怎么办？大家课后思考. 设计意图：设计意图： （1）引导学生应用正弦定理体验“已知两边及其中一边的对角” 解三角形的过程；（2） 通过解决课前提出的实际问题， 发展学生的数学应用意识， 而且课堂整体前后呼应，浑然一体； （3）通过思维拓展来放开教学时
19、空，让学生 “带着问题走进课堂，带着更多问题走出课堂” 9 学生活动 9：随堂练习 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，如图 12 所示， 其中一角已破损现测得如下数据：2.57BCcm ， 1.89CDcm， 2.01BEcm，45B ，120C 为了复 原，请计算原玉佩两边的长（结果精确到 0.01cm） 图 12 教学提示教学提示：解三角形的实际问题中，数字计算往往比较复杂，这时可借助计解三角形的实际问题中，数字计算往往比较复杂，这时可借助计 算器或其他的计算工具算器或其他的计算工具 设计意图：设计意图：学生自主探索应用正弦定理解决“已知两角及任意一条边”解三 角形的过程，完整感受正弦
20、定理的两个典型应用 教师活动 13：课堂小结，拓展提升 教师引导学生从以下四个方面小结本节课的主要内容： （1）正弦定理的生成 过程； （2）由特殊到一般的思想方法； （3）数学建模； （4）正弦定理的简单应用 教师活动 14：布置作业 自主探究题：自主探究题： （1）用向量法证明时，若三角形是锐角或钝角三角形，该如何思考； （2）若台风侵袭半径不断变化，请给出解决问题的思路 作业本：作业本：课本 47 页练习 1 附 板书设计 第二章 解三角形 1.1 正弦定理 （预留书写定理内容） 成果 4： 学生探究成果展示： 成果 1： 例 1： （教师示范解题过程） 成果 2： 随堂练习： （学生独立完成） 成果 3：
