1、 1 1 / 1111 课题：课题：子集与推出关系子集与推出关系 授课教师 吴森（华东师范大学第二附属中学） 地点 上海市曹杨中学 班级 高一(6)班 时间 2018 年 9 月 17 日 教材 高级中学课本数学高中一年级第一学期（试用本） 上海教育出版社 一、教学内容解析 “子集与推出关系” 是上海市高级中学课本数学（试用本）高中一年级第 一学期（上海教育出版社）第1章“集合和命题”的第6节内容. “集合和命题” 是高中数学的起始章，是初中数学向高中数学的过渡，是数学语言运用能力和逻 辑推理素养的一次提升.本章主要以初中数学的内容为基础阐述集合和命题的初 步知识， 随着后续学习， 集合语言和
2、命题知识会得到越来越广泛的应用. “子集” 是一种集合间的包含关系， 而集合又是高中数学中的代数与几何的重要基础语言， 集合语言也是现代数学的基本语言，可以精确地表达各种对象之间的关系，从而 更简洁、更准确地表达相关的数学内容集合作为一种思想与观点，在现代社会 生活、科学发展进步中，发挥着重要作用 “推出关系”是一种逻辑关系，关于 逻辑关系的学习， 是发展数学逻辑推理素养的重要组成部分. 数理逻辑学的基础 就是集合论，因此，集合与命题有着天然的、密不可分的联系. 本节课， 通过对子集和推出关系的等价性研究将本章所学的集合与命题沟通联系 了起来. 通过具体实例， 发现并理解集合间具有的包含关系与
3、这些集合的性质具 有推出关系的等价性， 经历子集关系与相应推出关系等价性的证明过程, 学会借 助于子集关系进行逻辑推理的方法.通过子集与推出关系之间的等价性的建立， 将集合之间的包含关系、 集合元素所具有性质间的推出关系以及充分必要条件沟 通联系起来.初步体会利用集合知识有助于理解逻辑关系，使学生关注数学概念 之间的联系， 初步掌握用集合语言和符合逻辑的方式表达和交流，提升集合语言 的运用水平, 感受数学语言的魅力，提升学生的数学抽象、逻辑推理素养.二、 教学目标设置 1通过具体实例，理解集合间的包含关系等价于集合元素所具有的性质间的推 出关系，体会从特殊到一般的数学思想方法，提升数学抽象能力
4、 2经历子集关系与相应推出关系等价性的证明过程，提升逻辑推理能力 2 2 / 1111 3学会借助于子集关系进行逻辑推理的方法，初步体会利用集合知识解决逻辑 问题，初步掌握用集合语言和符合逻辑的方式表达和交流，提升集合语言的 运用水平, 感受数学语言的魅力 4 研究不同的子集关系与相应的推出关系以及充分、 必要条件之间的对应关系， 关注数学概念之间的联系，发展理性思维 教学重点： 理解子集关系与相应推出关系的等价性， 掌握用集合间包含关系进行推理的 方法 教学难点： 理解并证明子集关系与相应推出关系的等价性 三、学生学情分析 本课的学习主体为上海市曹杨中学高一学生，学生已经学习了集合的表示、
5、集合之间的关系、集合的运算、命题的形式及等价关系和充分条件与必要条件， 这为本节课的学习奠定了必要的知识基础. 经历了本章前面的集合与命题相关知识的学习， 学生的数学抽象和数学语言 表达能力有所发展；在以往数学证明的学习过程中， 学生初步积累了逻辑推理经 验，这也为本节课提供了基本的思维基础和能力基础. 本节课的落实，需要学生具备一定的数学抽象能力和逻辑推理素养，在通过 具体实例理解集合间具有的包含关系与这些集合的性质具有推出关系的等价性， 需要学生能够理解和应用集合的描述法表示，能够从特殊事实得到一般结论，有 基本的数学语言表述能力；在证明子集关系与相应推出关系的等价性时，需要学 生对子集的
6、概念、推出关系的本质有真正的理解，也需要学生具有基本的逻辑推 理素养；在根据推出关系的不同情况，探究相对应的集合包含关系和图示、以及 充分条件或必要条件的不同情形时， 需要学生具备严谨的思维能力和较好的理解 能力. 本节课的难点在于理解和证明子集关系与相应推出关系的等价性， 在从具体 到抽象的过程中，教师需在学生感受具体实例时给以充分的引导和铺垫，在从猜 3 3 / 1111 想到证明的过程中，需要进行细致的引导，使学生明确要证的条件和结论，抓住 要证的结论，同时要引导学生深入理解推出关系和集合的包含关系的内在含义， 帮助学生理顺逻辑推证路径；在根据推出关系的不同情况，探究相对应的集合包 含关
7、系和图示、以及充分条件或必要条件的不同情形时，通过采用小组合作交流 的方式，以弥补部分学生思考问题不够严谨，相关知识不够扎实的不足. 四、教学策略分析 （一）复习回顾 引入课题 1. 高中数学第一章“集合和命题”到目前为止，我们已学习了哪些内容？ 设计说明：通过复习已学的集合和命题相关内容，使学生在新课开始前，唤 起学生对于集合的包含关系、命题的推出关系、等价命题以及充分必要条件等预 备知识的回忆. 2. 写出一个，使得是:0 x的充分条件 设计说明：提出一个具体的写出充分条件的开放式问题，一方面继续起到复 习回顾的作用，另一方面引导学生从集合角度思考，发现满足 的对象所构成的 集合是正实数集
8、，而满足充分条件 的对象所构成的集合都是正实数集的子集. 通过这个开放性问题，使学生意识到子集与充分条件之间有一定的联系，而充分 条件、必要条件是由推出关系定义的，从而引入课题“子集与推出关系”. （二）具体到抽象 猜测到论证 1. 通过问题 1.1 和问题 1.2 两个具体实例，感受子集与推出关系之间的联系. 设计说明：通过具体实例，进一步感知集合间的包含关系与集合元素所具 有的性质的推出关系之间的联系.所选取的两个问题都是学生初中所学知识相 关的问题，问题 1.1 是关于等腰三角形和等边三角形关系的几何背景问题，问 题 1.2 是关于个位数是 5 的正整数和能被 5 整除的正整数的关系的代
9、数背景问 题.这两个问题本身的知识背景对于学生来说都是比较简单的， 没有背景知识方 面的障碍，便于学生专注于集合语言的使用和对推出关系的理解，便于学生感 知规律. 2. 试将“AB”与“”建立起对应的联系. 4 4 / 1111 设计说明：从特殊到一般， 引导学生从上面两个具体问题的感知中抽象出 一个一般的猜想，尝试建立起AB与的联系. 引导学生寻找AB与之间的联系时， 进行两层思考： 第一，A与， B与的关系是什么？学生需要从具体实例中感受到是集合A中的元素所具 有的性质，集合A是具有性质的对象所构成的集合，是集合B中的元素所 具有的性质，集合B是具有性质的对象所构成的集合.第二， “AB”
10、与 “”这两个命题之间的推出关系，允许学生大胆猜想两个命题之间的推 出关系. 猜想还需严格证明.关于“AB”与“”等价性的证明分两步进行. 等价性的证明对学生来说是有难度的， 教师需要仔细耐心地引导.在引导学生理 清证明思路的过程中，需要使学生明确要证的条件和结论，抓住要证的结论， 同时根据推出关系和集合的包含关系的内在含义，用严谨的数学语言表达，理 解A与，B与的关系，理顺逻辑推证路径. （三）应用理解 探究深化 1. 通过问题 2.1 和问题 2.2，体会借助于子集关系进行逻辑推理的方法. 设计说明： 通过两个问题体会借助于子集关系进行逻辑推理的方法.根据子 集关系与相应推出关系的等价性，
11、我们就可以用对应集合的包含关系帮助我们 思考集合中元素具有性质之间的推出关系，在推出关系的基础上，我们可以研 究性质条件之间的充分性、必要性，从而我们就可以借助于集合关系来研究逻 辑问题. 两个问题都是与实数取值范围相关的问题，集合间的包含关系可以利用数 轴来形象思考.问题 2.1 是已知集合，利用集合包含关系来判断推出关系，进而 判断充分、必要条件，问题 2.2 是已知充分条件，利用推出关系得到集合之间 的包含关系，进而确定相关字母的取值范围.两个问题体现了等价性的应用. 对于问题 2.1 的解答，学生起初会倾向于笼统地说满足性质的对象组成 的集合 A 是满足性质的对象组成的集合 B 的子集
12、，所以是的充 5 5 / 1111 分条件.在问题 2.2 中， 由满足性质的对象组成的集合 A 是满足性质的对象 组成的集合 B 的子集，得到m的取值范围, 引导学生反思，子集又可以细分为 真子集和相等两种情况，当m满足所求取值范围时，两个集合有没有相等的可 能？学生发现不可能相等，事实上当m满足所求取值范围时，集合 A 是集合 B 的真子集. 从而引发学生对问题 2.1 的再思考，这里集合 A 也是集合 B 的真子 集，根据真子集的意义，那么推出关系除了，还可以得到 ，所以 是的充分非必要条件.这样的设计适合学生的认知发展规律， 体现了学生对 知识理解的螺旋上升路径. 2. 试根据推出关系
13、的不同情况，研究相对应的集合包含关系和图示、以及充分 条件或必要条件的不同情形 设计说明：引导学生从思考、之间的推出关系的不同情况入手，在分 类这一问题上， 学生的理性思维得以发展， 数学中的分类讨论方法要求 “不重、 不漏” ，、之间的推出关系可以分为四种情况.组织学生通过小组讨论、合 作交流， 写出与之对应的集合A、B之间的关系， 画出相应的文氏图， 并判断 是的什么条件.请学生完成表格并展示. 通过探究，进一步细致地梳理了集合的包含关系、推出关系以及充分必要 条件之间的对应关系，将本章所学的相关内容都沟通联系了起来，从而为我们 用集合观点解决逻辑问题提供了依据. （四）反思小结 1对子集
14、关系与相应推出关系的等价性研究，沟通了集合与命题之间的联系 2推出关系是一种逻辑关系，与集合语言相联系，有助于提升用数学语言思考 和描述逻辑问题的能力 设计说明： 引导学生感受子集与推出关系、 集合与命题、 集合论与逻辑学、 数学与哲学之间的联系，从而理解本节课的立意及研究的必要性，进一步体验 和感悟集合语言的重要性及魅力. （五）课后延伸 用子集和推出关系判断否定式的条件之间的逻辑关系，并用子集和推出关 6 6 / 1111 系证明“原命题成立则其逆否命题成立”. 设计说明：继续巩固利用子集与推出关系解决逻辑问题的方法，理解命题 及其否定形式与集合及其补集之间的联系， 进一步感受集合与命题之
15、间的联系. 五、教学过程设计 （一）复习回顾 引入课题 1. 高中数学第一章“集合和命题”到目前为止，我们已学习了那些内容？ 带领学生回忆已学的关于集合和命题的相关知识，着重复习充分条件、必要 条件、等价命题等知识. 2. 请写出一个，使得是:0 x的充分条件 引导学生思考，大家所回答的充分条件的共同点是什么？引导学生发现，满 足 的对象所构成的集合是正实数集， 而满足充分条件的对象所构成的集合都 是正实数集的子集.子集与充分条件之间有一定的联系，而充分条件、必要条件 是由推出关系定义的，从而引入课题“子集与推出关系”. （二）具体到抽象 猜测到论证 1. 问题 1.1：已知集合Ax x是等腰
16、三角形，Bx x是等边三角形，试 问集合A、B之间的关系如何？若将集合A、B中的元素性质分别记作:x是 等腰三角形，:x是等边三角形，则、之间的推出关系如何？ 问题 1.2：已知集合An n的个位数是 5, * nN，B * 5 ,n nk kN, 试问集合A、B之间的关系如何？若将集合A、B中的元素性质分别记作:n的 个位数是 5, * nN，: * 5 ,nk kN，则、之间的推出关系如何？ 问题 1.1 中，AB，问题 2.1 中，AB， . 2. 探究一：试将“AB”与“”建立起对应的联系. 首先，引导学生思考A与，B与的关系是什么？是集合A中的元素 所具有的性质，集合A是具有性质的对
17、象所构成的集合，是集合B中的元 素所具有的性质，集合B是具有性质的对象所构成的集合.从而得到设定：设 7 7 / 1111 集合A、B是非空集合， 集合Ax x具有性质， 集合Bx x具有性质， 第二，引导学生思考“AB”与“”这两个命题之间的推出关系， “AB”推出“” ，并且“”推出“AB” ，因此“AB” 与“”等价. 第三，证明 “AB”与“”等价性.等价性的证明分两步进行： 第一步， 证明 “AB” 推出 “” ； 第二步,证明 “” 推出 “AB” . 两步证明完成后，得到结论“AB”与“”等价,也就是说“AB” 是“”的充要条件. 从充分必要条件的角度理解，证明的第一步是证明 “
18、AB” 是 “” 的充分条件,也称为充分性的证明； 第二步是证明 “AB” 是“”的必要条件，也称为必要性的证明. 从而得到本节课的核心内容子集关系与相应推出关系的等价性： 设集合A、B是非空集合，集合Ax x具有性质，集合Bx x具有 性质，则AB与等价. （三）应用理解 探究深化 1. 问题 2.1：设:13x，:05x，试用子集与推出关系说明是的什 么条件. 问题 2.2：设:13x，:12m+4 mx，Rm，是的充分条件， 求m的取值范围. 问题 2.1,先设集合 A、B 分别为具有性质、的对象组成的集合，借助 数轴，允许学生先初步得到 A 是 B 的子集，从而，所以是的充分条 件.
19、问题 2.2，先设集合 A、B 分别为具有性质、的对象组成的集合，因为 是的充分条件，所以，可得 A 是 B 的子集，从而借助于数轴，只需 8 8 / 1111 判断取值范围两端的大小关系，得到关于m的不等式组，解不等式组可得m的 取值范围. 引导学生发现当m满足所求取值范围时，集合 A 与 B 不可能相等， 集合 A 是集合 B 的真子集. 再回到问题 2.1，得到确切的结论，集合 A 是集合 B 的真子集，根据真子 集的意义，相应推出关系除了还可以得到 ，所以是的充分非 必要条件.体现了对知识理解的螺旋上升路径. 2. 探究二：试根据推出关系的不同情况，研究相对应的集合包含关系和图示、 以
20、及充分条件或必要条件的不同情形 设集合A、B是非空集合，集合Ax x具有性质，集合Bx x具有 性质， 那么、之间的推出关系可以分为几种情况？其对应的集合A、B之 间的关系如何？是的什么条件？ 推出关系 集合关系 文氏图 充要关系 ， 且 AB 是的 充分非必要条件 ， 且 AB 是的 必要非充分条件 AB 是的 充要条件 ， 且 A不包含于B， 且B不包含于A 是的 既非充分也非必要条件 （四）反思小结 1对子集关系与相应推出关系的等价性研究，沟通了集合与命题之间的联系 2推出关系是一种逻辑关系，与集合语言相联系，有助于提升用数学语言思考 AB BA A(B) AB BA 9 9 / 111
21、1 和描述逻辑问题的能力 （五）课后延伸 1. 设:1x或2y，:3xy，试用子集与推出关系说明是的什么条 件. 2. 试用子集与推出关系证明：如果，那么. 六、课堂教学目标检测 1学生能够准确判断问题 1.1 和问题 1.2 两个具体实例中集合的包含关系和集 合元素所具有的性质之间的推出关系， 在对包含关系和推出关系有了具体感受后， 对于探究一，学生能够表达出对“AB”与“”之间对应联系的想法， 学生在课堂回答时首先猜测“若AB则” ，并表达为“如果集合A是集 合B的子集， 那么集合A中元素所具有的性质能够推出B中元素所具有的性质”， 说明学生体会到 “是集合A中的元素所具有的性质”而后学生
22、又猜测“反 之也成立” ，即“若则AB” 由此可见，学生基本能够理解集合间的包 含关系等价于集合元素所具有的性质间的推出关系， 也从中体会到了从特殊到一 般的数学思想方法，数学抽象能力得以提升 2在证明子集关系与相应推出关系的等价性过程中，首先，需要证明“若AB 则” ，通过教师引导，帮助学生厘清要证的条件和结论，写出推证的起始 句和结束句之后，学生能够准确地回答补充完整中间的推证过程第二，需要证 明“若则AB” ，从课堂反馈来看，学生对于该证明过程的回答显然更 为流畅由此可见，通过经历子集关系与相应推出关系等价性的证明过程，学生 的逻辑推理能力得以提升 3问题 2.1 的解决过程中，学生能够
23、根据已知条件，写出相应的满足条件的对 象所组成的集合，并进而利用集合间的包含关系判断相应的推出关系在问题 2.2 的解决过程中，学生能够根据已知的充分必要条件关系，写出推出关系，进 而得到相应的集合之间的包含关系，利用数集的包含关系建立不等式，从而解决 1010 / 1111 问题学生对两道题的解答都比较流畅，由此可见，学生学会了借助子集关系进 行逻辑推理的方法，初步掌握了用集合语言和符合逻辑的方式表达和交流，学生 能够感受到数学语言的魅力，集合语言的运用水平得以提升 4 在对探究二的讨论过程中，学生很快能回答出、之间的推出关系的四种 情况，在分类这一问题上，感受数学中的分类讨论方法要求“不重
24、、不漏” ，学 生的理性思维得以发展通过小组讨论、合作交流之后，学生基本都能写出与推 出关系相对应的集合A、B之间的关系，画出相应的文氏图，从两位学生在白板 上的填表展示情况来看，对于第四种情况“A不包含于B，B也不包含于A”， 学生关于此时集合A、B的交集是否能为空集出现了判断错误，在老师的引导下 进行了修正补充，除此以外，对于另外三种情况，学生都能够准确的写出相应的 集合包含关系，并准确画出了文氏图并且学生能够准确快速地回答出四种情况 下，分别是的什么条件由此可见，学生掌握了本节课的核心教学内容，通 过探究， 学生能够将本章所学的相关内容沟通联系起来，能够建立起数学概念之 间的联系 111
25、1 / 1111 点评: “子集与推出关系” 这节课是在学习了“集合”与“命题” （简易逻辑）的 基础上，建立“集合”与“命题”的内在联系将“集合”与“命题”加以沟通， 学生可以从中体会到数学知识之间是有联系的，学会用联系的观点看问题推出 关系是一种逻辑关系，与集合语言相联系，有助于提升用数学语言思考和描述逻 辑问题的能力 本节课立意高， 将教材演绎得非常精彩； 教师语言精准， 现代技术运用适当； 教学过程自然流畅， ， 课堂组织形式多样， 学生思维参与度高， 数学内涵丰富 在 师生对话、生生小组探究展示的多向交流互动中，思维层层递进学生经历了知 识的发生发展的全过程，由具体到抽象、由特殊到一
26、般，有归纳、猜想的合情推 理，也有演绎证明的逻辑推理综观整节课的教学，吴老师清楚地知道学生已有 的知识是什么，通过本节课的学习应该理解什么、掌握什么、学会什么她是学 生学习活动的设计者、组织者、引导者和合作者，学生是探索者、发现者，有效 地发挥学生了的学习主体作用 吴老师在课堂开始时提出一个开放性问题，既回顾了相关知识，又自然引出 课题；随后师生通过两个简单问题，探索“子集”与“推出关系”的联系，由具 体到抽象，由猜测到论证；论证过程中，吴老师耐心引导学生明确条件结论，理 顺逻辑推证路径；子集与推出关系的等价性建立起来后，通过两个互相联系的简 明例题， 使学生体会借助于子集关系进行逻辑推理的方法， 经过精心设计， 从 “子 集”到“真子集” ，从“充分条件”到“充分非必要条件” ，符合学生的认知发展 规律， 搭建了学生对知识理解的螺旋上升路径； 最后对推出关系、 集合包含关系、 文氏图和充分必要条件不同情形的分类和对应的探究活动， 把这节课的学习推向 了高潮，以表格呈现的对应关系，使学生对集合语言和逻辑关系的沟通联系有了 更深刻的认识，为学生用集合观点解决逻辑问题提供了依据，学生的思维能力在 浓浓的多向互动的氛围中得到发展 总之，这是一节非常优秀而有特色的数学课， 体现了吴森老师良好的教师素 养 刘初喜 2018.10.15
