1、导数的概念及其几何意义 深圳中学 刘XX 2018 深圳中学 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 在高台跳水中，运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m) 与起跳时间t(单位：s)存在函数关系 2 ( )4.94.811h ttt. 【问题1】 1st 2st 0.5st ? 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 0.50.5hth v t 4.90.1t 0t 0.1 v 0t lim 0.1 0.5v 如何求 0 stt时刻的瞬时速度？ 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 00 h tth t v t
2、 0 lim t v 0 4.99.84.8tt 0t 0 9.84.8t 0 9.84.8t 0 v t 2 2 0000 4.94.8114.94.811tttttt t 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 0t 平均速度v 瞬时速度 0 v t 0 lim t v 0 v t 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 如何求抛物线 2 yx在某点处切线的斜率？ 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 计算抛物线 2 yx在点 2 00 ,P xx处切线的斜率k. 2 2 00 00 xxx k xxx 0 x 0 2x k 0 2xx 0 x lim 0
3、2x k 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 0 x 割线斜率k 切线斜率k 0 lim x k k 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 【问题 2】如果把高台跳水和求抛物线斜率 问题中的函数换为一般函数 yf x ，你可以 类似地得出什么结论？ 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 函数函数 2 ( )4.94.811h ttt 00 h tth t v t 0 0 lim9.84.8 t vt 2 yx 2 2 00 xxx k x 0 0 lim2 x kx e x y 00 ee xxx k x ？ yf x 00 f xxf x x 00 0
4、lim x f xxf x x 平均变化率平均变化率 瞬时变化率瞬时变化率 (导数导数) y x ？ 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 根据前面的讨论，你能否给导数下一个定义？ 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 如果当0 x 时，平均变化率 y x 趋近于一个确定的值，即 y x 有极限， 则称 f x在 0 xx处可导，并把这个确定的值叫做 yf x在 0 xx处 的导数导数 (也称为瞬时变化率)，记作 0 fx或 0 |x xy ，即 00 0 00 ()() ()limlim xx f xxf xy fx xx . 导数的概念 建设中国特色世界一流高中建设
5、中国特色世界一流高中 牛顿 莱布尼茨 导数 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 瞬时速度0.5v用导数怎么表示？ 0.5 0.5vh 0 |x xky 点 2 00 ,P xx处的切线斜率k用导数 怎么表示？ 0.1 0 2x 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 例 1 设 1 f x x ，求 1f. 解： 1 1 111 1 1 fxf x xxx ， 00 111 1limlim1 1 xx fxf f xx . 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 【问题 3】曲线 3 yx(0 x )上的动点P到直线l：330 xy 距离的最小值为_. 建设中
6、国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 抛物线的切线定义方式是否适用于圆呢？ 对于曲线 3 yx(0 x )呢？ 一般曲线 yf x呢？ 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 取曲线 yf x上的一动点 00 ,P xxf xx ， 当点 00 ,P xxf xx 沿着曲线 yf x 趋近于点 000 ,P xf x时，割线 0 PP趋近于确定的 位置，这个确定位置的直线 0 PT称为点 0 P处的切线切线. 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 如何计算一般曲线 yf x在点 000 ,P xf x处的切线斜率？ 00 0 lim x f xxf x x 导数的几
7、何意义是什么？ 切线斜率 00 f xxf x x 0 x 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 曲线 3 yx(0 x )上的哪个点处的切线斜率为3？ 1,1 提示： 3322 ababaabb. 设点 3 00 ,P xx( 0 0 x )处切线斜率为3，则 3 3 2 00002 00 33 f xxf xxxx y xxxx xxx 所以 2 22 0000 00 limlim333 xx y fxxxxxx x 令 2 0 33x，解得 0 1x . 0 3fx 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 曲线 3 yx(0 x )上的点到直线330 xy距离的最小
8、值是？ 22 3 13 10 10 31 d 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 通过前面的例子，你知道求函数 yf x 在 0 xx处的导数的步骤吗？ 第一步，计算 00 ()()f xxf xy xx 并化简； 第二步，令0 x ，得 0 0 ()lim x y fx x . 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 【问题 4】你认为下列命题哪些是正确的？ 瞬时速度是导数. 导数是切线斜率. 导数是极限. 曲线 yf x在点 00 ,xfx处的切线 方程是 000 yf xfxxx. 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 课后作业 1.圆的面积S与半径R的关系为 2 SR，问5R 时面积 关于半径的瞬时变化率是多少？ 2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停 留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上 事件吻合得最好的图象是 3.求曲线 2 1 2 2 yx在点 3 1, 2 处的切线的倾斜角的大小. 建设中国特色世界一流高中建设中国特色世界一流高中 谢谢！
