1、 大兴安岭实验中大兴安岭实验中学学 刁刁XX 3.2 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 -求二面角求二面角 高考原题高考原题 2016高考新课标全国2卷（理）第19题 高考原题高考原题 2017高考新课标全国2卷（理）第19题 19.19.（本小题满分（本小题满分1212分）分） 如图如图，四四棱锥棱锥P P- -ABCDABCD中，侧面中，侧面PADPAD为等比三角形且垂直于底面为等比三角形且垂直于底面 ABCDABCD，E E是是PDPD的中点的中点. . (1)(1)证明：直线证明：直线CE/CE/平平面面PAB PAB ( (2)2)点点M M在棱在棱PC PC 上上，且且直线
2、直线BMBM与底面与底面ABCDABCD所成角所成角为为4545 ，求求二面二面 角角M M- -ABAB- -D D的余弦的余弦值值。 高考原题高考原题 2018高考新课标全国2卷（理）第20题 20.20.（本小题满分（本小题满分1212分）分） 如图，在三棱锥如图，在三棱锥 P P- -ABCABC中中,AB=BC= 22,AB=BC= 22，PA=PB=PC=AC=4 PA=PB=PC=AC=4 ，O O为为 ACAC的中点的中点 （1 1）证明：）证明：POPO平面平面ABC ABC ； （2 2）若点）若点M M 在棱在棱BCBC上上，且二面角，且二面角M M- -PAPA- -C
3、 C的的大小大小为为3030。 。， ，求求PCPC与与平平 面面PAMPAM所所成角的正弦值成角的正弦值 二 面 角 人造卫星轨道人造卫星轨道 赤道赤道 复习回顾复习回顾 1.1.二面角的定二面角的定义：义： 从从一条直线一条直线出发的出发的两个半平面两个半平面所组成的所组成的 图图形形叫叫做做二面二面角角。 2 2. .二面角的范围：二面角的范围： ,0 怎样求二面角的大小？怎样求二面角的大小？ 思维导航思维导航 方法一、定义法方法一、定义法 O B A l AOBAOB叫做 二面角的平面角 方法二：法向量法法向量法 平平面的法向面的法向量：量： 与平面垂直的向量 n l 注注意：意： 1
4、.法向量一定是非零向量。 2.一个平面有无数个法向 量，他们互相平行。 探究新知探究新知 | ,coscos 21 21 21 nn nn nn 探究新知探究新知 | ,coscos 21 21 21 nn nn nn 归纳总结 |cos |=|cos| 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 例题展示例题展示 例题：正方体ABEF-DCEF中, M,N分别为AC,BF的中点(如图),求二 面角A-MN-B的余弦值. 知识点知识点 1.建系设点建系设点 2.2.写出直线的方向向量写出直线的方向向量 3.3.求出平面的法向量求出平面的法向量 4.4
5、.求法向量夹角的余弦求法向量夹角的余弦 5.5.确定二面角的余弦值确定二面角的余弦值 111 1 AM (0) AN (0) 222 2 ， ， ， ， 设平面AMN的一个法向量 n n1 1(x，y，z)则： 写出直线的方向向量写出直线的方向向量 1 1 AM0 AN0 ， ， n n 11 xz0 22 11 xy0. 22 ， 建系设点建系设点 令x1，解得y1，z1， 所以 n n1 1(1，1，1) 求出平面的法向量求出平面的法向量 同理，可求得平面BMN的一个法向量 n n2 2(1，1，1) 所以 cosn1，n2= 12 12 11 . 333 n n n n 求法向量夹角的余
6、弦求法向量夹角的余弦 故所求两平面所成角的余弦值为 1 . 3 确定二面角的余弦值确定二面角的余弦值 拓展变式拓展变式1 1 正方体ABEF-DCEF中, M为AC的中 点(如图),N是对角线BF上一点，当直线MN与 平面ABEF所成的角为45。时，求二面角A-MN-B的余弦值. 拓展变式拓展变式2 2 正方体ABEF-DCEF中, M为AC的中点 (如图),在对角线BF上是否存在一点N，使二面角 A-MN-B的余弦值为 . 若存在，确定点N的位置，若不 存在，说明理由。 探索性问题的解法： 假设存在，在这个前提下推理或计算，如果得出的结 果符合问题的已知或正确的数学结论，则肯定其存在，否 则不存在 1 . 3 课时小结课时小结 你有什么收获？ 作业布置作业布置 作业作业1 1：优化设计练习册第87页，第三章 第二节练习3。 作业作业2 2：2018年高考全国新课标2卷 理科 第20题。 不足之处敬请批评指正不足之处敬请批评指正 谢谢大家谢谢大家
