1、对数的概念教案 广东省深圳第二外国语学校 祁XX 教学内容分析： 内容：对数概念引入的必然性分析，对数的概念与对数的简单性质 内容解析：本节是高中数学人教 A 版必修一第二章第 2 节的内容对数的引入是进一步解决方程 0 1 a N a 且a 中已知两个量求第三个量的问 b 题的延续：是初中所学幂运算的必要补充，也是第二章第 1 节所学指数运算的逆运算；是“概念运算函数”研究路径的又一次强化，也是对数运算乃 至对数函数学习的启蒙课；是大数处理的关键概念和必备工具，也是高中对数函数模型学习的必要准备. 对数概念的引入充满逻辑推理的必然性奥义，也渗透着一般概念建构以及创生的多个方面：在建构概念的过
2、程中既要考虑要概念的存在性和引入的必 然性，还要考虑新概念与旧知识的相互关联和印证，更要关注新概念下知识体系的逐步搭建.因此，这部分内容对于培养学生的创新精神，渗透数学学习过 程中的逻辑推理、形象直观、数学运算素养有不容忽略的价值，应当引起充分重视！ 教学目标设置： 目标： （1）通过解决 a N a 0且a 1 中已知两个量求第三个量的问题，夯实提出问题、分析问题、解决问题的学习力，渗透逻辑推理的数学素养. b （2）能从对数概念的形成过程中感知一个新概念的建立发展过程，在深刻理解对数概念形成的必然性前提下熟练掌握指数式、对数式的相互转化，促 进化归转化思想方法的内化. （3）在指数式、对数
3、式相互转化运算的基础上研究对数的一些基本性质，进一步提升学生的数学运算素养. 目标解析： （1）对数的概念是在解决 a N a 0且a 1 中已知 a, N N 0 求b 的问题背景下产生的，因此从方程的根的存在性、唯一性的角度分析对数引 b 入的必然性符合学生的认知基础，同时在分析这些必然性条件的同时可借助前面学习的指数函数相关知识加以直观感知. （2）由于对数运算是指数运算的逆运算，在概念的形成和构建过程中牢固树立指对数的转化意识，能够把对数问题转化成已经熟悉的指数问题解决， 这种相互印证的问题处理方式不止在概念形成中有重要作用，在后续对数的运算、对数函数的学习中也有可资借鉴之处. （3）
4、数学核心素养是数学教学的重要目标，本节主要加强学生逻辑推理素养和数学运算素养的培养.在对数概念引入的必然性分析中，通过提出问题、 分析问题、解决问题的完整探究提升学生的逻辑推理素养；在借助指对数相互转化形成对数的基本性质和简单运用的过程中培养学生的数学运算素养. 学生学情分析： 学生在前一章学习了指数的相关知识，对数作为指数的逆运算，可以从指数的相关知识出发来鉴证对数的相关概念和性质，因而学生的指数知识储备 是本节内容的重要起点.学生具有一定的分析问题能力，能够熟练进行指数运算，能够借助指数函数图像分析函数值与自变量关系. 教学问题诊断分析： 1教学问题一：为什么引入对数概念？一个新概念的引入
5、都会考虑概念生成的合理性和必然性，因此，本节课第一个要解决的就是为什么引入对数. 解决方案：通过实际案例感知求指数运算的存在实然，借助方程思想分析对数产生的数理逻辑，结合指数函数图像的直观刻画认定对数的存在性和唯一性 2教学问题二：如何构建对数知识？从最近发展区的角度考虑，学生对对数的最初感知在于求指数问题，学生已有的学习经验就是指数知识体系的构 建，基于这些因素，问题的解决方案是：微观上，从对数概念入手，借助指对数关系搭建对数知识；宏观上，从指数知识类比得到对数知识体系，即对数 的概念，对数的运算，对数函数，以及对数的应用 3教学问题三：对数的引入能做什么？每一个新概念的引入都会考虑它是否能
6、产生新的方法，或者为其它问题的解决带来便利对于对数而言，它的 突出优点就是解决大数计算，这种优点会在后续的指对数运算中逐渐体现出来.解决方案：作为对数起始课，本节拟从指对数的相关简化运算中作必要铺垫， 在渗透数学运算素养的同时引导学生予以初步体会. 教学策略分析（教学重点、教学难点、教学准备）： 本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学问题的设置给学生留有充分的思 考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点的目的 在教学过程中，重视对数概念引入的必然性分析，让学生参与到提出问题、分析问题、解决问题的逻辑推理过
7、程，感受数学运算在数学知识建构中的 特殊意义，同时感知概念的建构过程中用到的处理策略和思想方法在新知识进一步深入和应用时的指导作用.因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教 学与核心素养培养有机结合的样本 教学重点：对数的概念的建构与简单性质的理解运用 教学难点：对数概念的理解 教学准备：电教平台以及教学课件 教学流程框图： 情境引入 数学化分析 对数的存在 对数的概念 对数的性质 课堂小结 性分析 教学过程：（教案主体及格式如下） 教学 预计 教学内容 教师活动 学生活动 步骤 用时 人教 A 版必修 1 2.2.1 对数与对数运算 呈现问题情 探 究 情 境 截止到 1999 年底，我国人
8、口约 13 亿.如果 境，设置开 可 能 预 设 今后能将人口年平均增长率控制在 1%，则根据前 放问题，让 的问题，组 面学习的知识我们可以得到我国人口数 y 与所 学生轻松进 织 语 言 提 经过年数 x 之间的关系为： y 131.01x . 5 入到课堂状 出问题. 情 分 问题 1 请你根据我国人口数与所经过年数 态. 境 钟 的关系设计一个问题. 引 （1） 经过 20 年以后我国的人口总数是多 将一般问题 入 少？ 具体化，让 思 考 并 解 （2） 我国人口总数达到 18 亿时要经过多 学生更容易 决 具 体 问 少年？ 展开对问题 题. 【预设答案】提出的问题主要分为两类：一
9、 的思考、追 类是知道经过的年数，求我国人口数；另一类是 问. 预测人口达到某个数值时所经过的年数. （1）的答案为131.0120 16 （2）需设出未知数：设经过 m 年后我国的 18 人口总数达到 18 亿，则有：1.01m . 13 以上问题的数学本质指向方程 ab N （其 中 a 0 且 a 1）中已知两个量求第三个量的问 问 题. 题 5 引导学生从 独 立 思 考 问题 2 你能把以上问题从已知、未知的角 探 分 较高的角度 问题，积极 度进行归类分析吗？这两个问题之间有什么联 源 钟 分析问题， 解答，体会 系？请借助问题 1 中的结果说明. 运用量纲思 新 运 算 引 【预
10、设答案】第一个问题可归类为已知 a,b ，求 想给问题分 出 的 必 然 类，发现新 性. N .第二个问题可归类为已知 a, N ，求 b .第一 旧 知 识 联 个问题是指数运算问题，第二个问题是一种新的 系. 运算，并且是和指数运算互逆的运算. 第 一 个 问 题 举 例 ， 如 1 131.0120 16,2 1 ，“已知 a,b，求 N ”可 2 18 以求解；第二个问题举例，如：1.01m ， 13 0.84n 0.5 ，“已知 a, N ，求b ”目前不可解. 18 问题 3 满足方程1.01m ,0.84n 0.5的实数 13 m,n 是否存在？如果存在，有几个？ 教师引导学
11、生借助已学 借 助 指 数 函 数 相 关 指数函数的 知 识 解 决 【预设答案】分别作出指数函数 y 0.84x 和 相关知识对 问题，适时 y 1.01 的图像如下图所示，借助图像进行存在 x 新问题的可 运 用 数 形 性 和 唯 一 性 的 说 明 ， 满 足 方 程 求解性进行 结 合 思 想 探讨分析. 说理. 存 在 5 性 分 探 钟 讨 18 1.01m ,0.84n 0.5 的实数 m,n 存在且唯 13 一. 问题 4 更一般的，对于 ab N （其中 a 0 且 a 1），已知 a, N 求b ，b 是否存在？ 【预设答案】更一般地，对于 ab N（其中 a 0 且
12、a 1），也可类似地进行存在唯一性的说明. 对于 ab N （其中 a 0 且 a 1），已知 a, N 求b ，b 是唯一存在的. 问题 5 经过以上探究分析，我们知道满足方程 18 1.01m ,0.84n 0.5 中的 m,n 是唯一存在 13 的，并且 m,n 都是实数，那么该如何表示 m,n 通过认知冲 突的建立和 呢？更一般地，“方程 ab N （其中 a 0 且 消除引入新 让 学 生 体 a ） ， 已 知 a, NN 0 求b ”的b 怎么表示？ 1 数的表示符 会 新 事 物 号，为学生 产 生 后 的 【预设答案】从简单的特例入手： 创造性地解 数学表示. 由 2x 8我
13、们可以得到 x 3，但 2x 3中 决问题提供 的 x 怎么表示呢？它是个新数且与 2 和 3 都有 必要地训练. 关，于是我们引入新符号 log 2 3 表示 x ，即 表 示 2 x log 3，这种新数就是对数，这种表示方式 2 分 选取了对数的英文名 logarithm 的前 3 个字母. 方 法 钟 18 这样的话满足方程1.01m ,0.84n 0.5 13 中 的 m,n 就 可 表 示 成 ： 18 m log ,n log 0.5 更一般地，方程 1 .01 0.84 13 ab （其中 a 0 且 a 1） ， 已 知 a, NN 0 N 求b ，b 可以表示为 log N
14、 ，即：b log N . a a 自然引入新概念. 一般地，如果 ax N（其中 a 0 且 a 1） ， 形成对数的 学 习 对 数 那 么 数 x 叫 做 以 a 为 底 N 的 对 数 ， 记 作 x log N ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做 a 概念，展示 对数书写的 的概念，规 范书写，准 真数. 书写规范： 举例： logaN 格式规范. 确 把 握 新 概念. 由 2x 3可知 x 是以 2 为底 3 的对数，记作 x log 3； 由 0.84x 0.5 可知 x 是以 0.84 为底 2 0.5 的对数，记作 x log 0.5； 0.84 两类特殊的对数： （1
15、）通常我们把以 10 为底的对数叫做常用 对 20 数 分 对数，并把 log N 记为 lg N . 10 的 钟 （ 2 ） 在 科 学 技 术 中 常 用 以 无 理 数 概 e=2.71828为底数的对数，以 e 为底的对数称为 念 自然对数，并把 log N 记为 ln N . e 问题 6 由对数的概念可知：指数式 ax N 与对 设计问题， 认 真 思 考 数式 a N x log 密切相关中，因而可以通过所学 引导学生深 问题，强化 的指数知识来研究对数. 入理解对数 对 数 概 念 （1）指数式 ax N 与对数式 log N x 中 a 概 念 的 内 的理解. 涵. a,
16、 x, N 的名称与位置有什么变化？ （2） 根据指数式中 x,ax 的范围，你能得到 对数式中相应的哪些性质? 【预设答案】（1） 指数 对数 幂 真数 ax N a 且 a 1 0 x log a N 底数 （2）我们知道指数式中的 x 和 a 都有范围的要 x 求，进而可以得到对数式中相应的范围变化： 指数式中 x 可取任意实数，对应与对数式中 log N 可以取得任意实数，即：对数值可以是 a 通过问题解 应 用 对 数 任意实数； 答让学生深 的 概 念 解 指数式中 ax 0，对应与对数式中 N 0， 入理解指数 决 简 单 问 即：对数的真数一定是正数，换句话说：负数和 对数的相
17、互 题. 零没有对数. 转化关系， 例 1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数 及时反馈概 式： 念的习得情 m 1 1 （1） 4 2 ； （ 3 ） 5 625 ； （ 2 ） 6 64 3 5.73 ； 况. （4） log 16 4 ；（5） lg 0.01 2 ； 1 2 （6） ln10 2.303 【预设答案】根据对数概念中的指数式与对数式 的关系可以轻松得到以上各个题目的答案. 变式训练 1：求下列各式中 x 的值： （1） log 64 2 x ； （ 2 ） log x 8 6 ； （ 3 ） 3 log 1 x ；（4） lg10 x. 【预设答案】根据对数概念中的指
18、数式与对数式 的关系进行求值，同时为接下来要讲解的对数的 性质铺垫. 问题 8 问题7给出了一些与对数相关的特殊式子 的练习，那么更一般的情况是什么样的呢？ （1）当 a 0 且 a 1时 ，把 log 1中的 换成 a 结果会改变吗？把lg10中的 10 换成 a 即 log a a 呢？ 从特殊到一 主 动 思 考 （2）正数都有对数，那么当 a 0 且 a 1时， 般，引导学 问题 8，积 log a a =？ n 生借助指对 极 把 具 体 【预设答案】 数关系式的 问 题 中 积 （1）当 a 0 且 a 1时，猜想： log a 1 0 ， 相互转化得 累 的 经 验 log a
19、a 1.借助指对数关系式进行证明. 到对数的重 要性质. 进 行 一 般 化，从猜想 （2）当 a 0 且 a 1时，猜想：log a an n ， 证 明 借助指对数关系式进行证明，提供如下证明方 的 角 度 思 法： 法 1：设 log a an t ，则： an at 考新问题. 当 a 0 且 a 1时，函数 y ax 在定义域内单调 所以t n ，即：log a an n . 法 2：设 a t ，则：log a t n n a a a t n . log n log 师生：共同总结归纳： 对数的性质：当 a 0 且 a 1时， （1）log a 1 0 ； （ 2） log a a
20、 1； （3） an n log a . 例 2 求下列各式的值： （1） log 1； （ 2 ）log 1.25 ； （ 3 ）lg1000000 ； 3 1.25 4 （4） ln e ；（5）log 256；（6）log 0.729 ； 2 16 0.9 （7） log 3 1 81 ；（8） log 16. 1 4 【预设答案】引导学生借助对数的性质快速作 答，掌握运用对数的性质进行简单的对数求值. 回顾对数概念的形成过程： 结合对数概 体 会 新 概 从问题情境中抽象出数学问题 经过 念的生成过 念 形 成 过 3 深入思考引入新数、新运算 论证新数的 程概括数学 程，积累概 小
21、分 存在性 新数的表示探讨 形成新 新概念研究 念 学 习 的 结 钟 数的概念以及相关知识. 方法. 一般规律. 课后思考 alog =？ N a 教案说明：（约 500800 字） 本节课的教学内容为：对数概念引入的必然性分析，对数的概念与对数的简单性质具 体教学中遵循以学生为中心，引导学生参与到“为什么引入对数概念，对数是什么，对数有 哪些作用”的新概念建构过程中，通过问题链营造有效对话氛围，增强互动和及时反馈，提 高课堂效率.本节课在内容上拓展了对数概念产生的必然性分析，借助学生具备的指数相关 知识分析了对数的存在性，为学生更好地理解新概念搭建了必要的脚手架；在新概念的内涵 解析方面通
22、过沟通指对数关系，巩固了学生研究新概念的方法，为学生创造性地解决新问题 提供了帮助；在知识的形成过程中，遵循事物认知的一般规律，以情境问题引入，继而转化 为数学问题，让学生在明晰问题产生背景的基础上深化数学地理解问题的习惯，从已有数学 知识入手分析问题、解决问题，弄清楚问题的来龙去脉，进而在新概念的基础上进一步建构 对数的知识体系，形成对数概念、对数运算、对数函数以及对数运用的大数学的学习观；例 习题的配置上，力图体现知识的核心结构指对数互化，在培养学生数学运算素养的同时， 强调新知建构，着眼于对数性质的直接运用，为引入对数的必要性便于大数运算搭建可 感知的操作平台；教案的设计上也重视学生基本思想、基本技能的培养，用对应的眼光审视 必然性，用数形结合的思想解释新问题，以必要的逻辑推理体验数学味，进而陶冶学生的数 学情感.
