1、3.3.2 均匀随机数的产生 一.内容和内容解析 内容均匀随机数的产生 内容解析 “3.3.2 均匀随机数的产生”是人教 A 版普通标准实验教科书必修三第三章第 2 节“几何概型”的第 2 课时内容。本节计划 1 个课时完成，我将通过组织学生对 2 个问题(例 2 的送报问题和例 3 圆周率的估计) 的探究和实验，初步完成用随机模拟的方法估算几何概型的概率，设计了三个探究活动，3 种形式的实验 操作，让学生在实验中提炼方法，感受数学思想。 从课程安排来看，本课时是在用整数值随机数的产生之后，这是将 2 种概率类型的模拟问题进行了类 比，是对随机模拟方法的补充，也是数学建模思想的再次强化，是高中
2、概率内容的最后一课时。 从数学文化价值来看，随机模拟是数学应用价值的充分体现，也是培养数学建模核心素养的重要内容。 所以本节内容是必要的，也是重要的。 二.目标和目标分析 目标 1.了解均匀随机数的意义，能用随机模拟的方法估计概率; 2.掌握运用工具（计算器、excel 软件）产生均匀随机数的方法; 三.教学问题诊断分析 学生已经在概率前面部分学习了概率的意义、概率与频率的关系以及两种概率类型，也了解了用整数 值随机数模拟古典概型的方法，初步具备本节要求的基本知识和技能； 但面对实际问题如何抽象出数学模型，以及如何将古典概型的处理办法迁移到几何概型中，仍然是学 生能力的主要不足。 教学重点1.
3、均匀随机数的意义及其产生方法; 2.用均匀随机数模拟几何概型。 教学难点随机模拟的方案设计. 教学方法学生学法以合作交流、实验操作为主，以数学运算检验为辅； 教师采用问题导向、师生互动探究式教学方法。 四.教学支持条件分析 1.导学案。由于本课时是本章的最后一课时，需要涉及前面铺垫的知识，所以采用导学案做好预备和引 导，可以很好地将课堂的重点和难点问题从课前开始就由学生初步思考，提高课堂效率和知识连贯性。 2.科学计算器. 3.电脑软件：excel、几何画板、PPT。由于本节的难点在于如何建立数学模型以及如何呈现大量重复试 1 验所体现的规律性，而这一过程更适合采用计算机软件从数与形两方面进行
4、展示。 4.自制教具：转盘、撒豆子模型。课程标准明确指出，培养学生数学运算的核心素养，而本节采用定义 计算定积分正需要详细进行计算，采用 PPT可以让课堂更大容量更高效率地进行，也能让学生有更大空间 进行数学运算。 五.教学过程设计 （一）复习回顾，创设情境 1.复习回顾 概率的意义：描述随机事件发生的可能性大小 概率与频率的关系：概率是频率的稳定值 频率是概率的估计值 古典概型特点：基本事件有限个、等可能 几何概型特点：基本事件无限个、等可能 古典概型计算公式： 几何概型计算公式： P(A) A包含的基本事件个数 基本事件总数 P( A) 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所
5、构成的区域长度(面积或体积) 古典概型随机模拟的方法： 用（整数值）随机数代表基本事件 随机模拟试验：试验结果随机数 古典概型的基本事件：有限个、等可能的试验结果离散型整数值随机数 几何概型的基本事件：无限个、等可能的试验结果连续性均匀随机数 【设计意图】 通过课前准备让学生回忆前期知识，并将两种概率类型的类比学习迁移到本节中。 2.创设情境 如图，朝一个正方形随机地扔一颗豆子，豆子落在圆内的概率如何计算？ （答：根据几何概型计算公式， P 圆的面积 正方形面积 ） 如果里面画的是一个椭圆呢？或者任意的一个曲边形呢? 【设计意图】 创设情景问题，迅速切入本节主题，同时为本节课铺垫一个问题线索。
6、 2 (二).原理奠基，技能完善 1.生成均匀随机数的方法: 计算器：SHIFT RAN# 重复按 = Excel 表格：选择一个单元格，输入=，然后选择函数(或直接手动输入函数) “=rand（）”，产生一个 随机数，然后复制粘贴到其他单元格，产生更多随机数。 2.如何利用生成0,1的均匀随机数的方法得到a,b的均匀随机数呢？ 答： (b-a) x+a 学生操作计算器和 excel，分别生成 10 个 3,7 的均匀随机数，填入表格. 计算器 Excel 【设计意图】 演示操作过程并让学生自行操作，将自学内容进一步延伸，由特殊到一般。学生更加熟悉操作工具，为本 节设计随机模拟的方案做好理论铺
7、垫。 类比整数值随机数，认识均匀随机数的特点和作用。 (三).结合情景，方案初探 例 2(教材 P137) 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:30-7:30之间把报纸送到你家，你父 亲离开家去工作的时间在早上 7:00-8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件 A）的概率是 多少？ 探究一： 1.该问题中，随机试验是什么？（两个时刻的组合）试验结果是什么？（一对实数）A 事件发生的条 件是什么？（离家时刻大于送报时刻） 2.如果用均匀随机数表示试验结果，需要哪些量？（离家时刻 x 和送报时刻 y）这些量的取值范围呢？ （ x 6.5,7.5 y 7,8） 3.如果用频率估
8、计概率，如何计算频率？ (学生讨论以上三个问题，设计模拟方案，并演示表盘道具，同时体现手工进行大量重复操作试验是 很困难的) 4.类比古典概型的随机模拟方法，请设计一个计算机模拟方案，将问题需要的量写在表格第一行。 3 (学生充分参与设计，方案基本成熟以后，教师演示计算机具体操作。) 【设计意图】将概率问题转化为频率问题，用问题串引导学生初步形成随机模拟的方向，并类比古典 概型，初步探索设计模拟方案，并分组展示设计结果。 5.按照刚才的模拟方法，用 Excel软件实践操作，并得出概率的估计值。 (学生使用计算机软件得出概率的估计值并汇报，体现结果的随机性，然后教师通过折线图和散点图 展示大量重
9、复试验的结果，再次说明统计结果既具有随机性也具有规律性。) 【设计意图】用实践操作检验理论结果，激发学生成就感，教师还要通过折线图展示变化趋势，引导 学生再次认识：随着试验次数的增加，频率稳定在一个常数附近，体现概率的本质。同时通过散点图的分 布规律体现：随着试验次数的增加，点数之比近似等于面积之比，为计算精确概率值做出铺垫。 探究二： 结合散点图呈现的规律和上一节几何概型计算公式，例 2 如何计算概率的准确值？ 解：送报纸时间为 x, 则 6.5 x 7.5 ，爸爸离家时间为 y,则7 y 8 ，爸爸离家前取得报纸, 只需 送报时间早于离家时间，则 y x ： 得到概率的准确值 P A 1
10、1 1 1 2 2 2 7 S A S 11 8 【设计意图】将问题从理论上进行计算，发现由两个变量决定的几何概型可以转化为面积之比计算概 率，同时使用几何画板再次演示，对模拟结果进行了一次验证，各组之间的实验对比有了结果。 提示学生，用统计方法计算概率，既具有随机性，也具有规律性。 通过解决刚才的问题，尝试总结例 2 的模拟步骤。 模拟步骤： 例 2 送报问题 模拟什么随机试验 送报时刻与离家时刻的关系 用几组随机数？ 两组均匀随机数 x 、y 4 随机数的范围？ x 6.5,7.5 y 7,8 事件 A 发生的条件？ x y 随机模拟试验的工具 Excel软件 【设计意图】通过例 2 归纳
11、模拟步骤，为其他模拟问题提供统一的方法。 (四).理论迁移，应用实践 例 3(教材 P139)在图 3.3-3 的正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值 探究三： 1.类比例 2，如何用频率估计豆子落在圆内的概率？ 2.圆周率和该问题有何联系？ 解：随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内的任意一点处都是等可能的， 落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即： 圆的面积 圆中的豆子数 正方形的面积 正方形中的豆子数 图 3.3-3 假设正方形边长为 4，则 4 16 圆中的豆子数 正方形中的豆子数 圆中的豆子数 即 4 正方形中的豆子数 这样就得到圆周率的近似值。 3.类比
12、例 2，请设计一个估计圆周率的模拟方法。 (学生讨论并形成方案，然后开始撒豆子试验，并统计结果) 例 3 估计圆周率 类比例 2，请设计一个用 Excel模拟的类似表格： A B C D E F 1 豆子横坐标 x 豆子纵坐标 y 试验次数 圆中的豆子数 正方形中的豆子数 频率 2 【设计意图】在例 2 的基础上，让学生再次经历手工模拟、计算机模拟的流程解决例 3，再次强化类比学 习的方法，提炼随机模拟的一般步骤。 （最后，回扣课堂开始的问题： 通过以上 2 道例题的探究，本课刚开始的问题就可以迎刃而解了： 任意曲边形面积 曲边形内的点数 由于 P= = 正方形面积 正方形内的点数 频率 所以
13、，任意曲边形的面积频率正方形面积） 5 而频率用随机模拟的方法就可以得到。 (五).整合完善，归纳拓展 自我归纳，建构网络 课后思考，实践拓展 1.利用随机模拟的方法估算图 3.3-4 中阴影部分(y=1 和 y=x2 围成的部分)的面积. 图 3.3 4 2.课本 P140 练习 2，并设计随机模拟的方案(手工方案或者计算机模拟方案)。 【设计意图】学生自主整理本节主要内容，构建知识结构，归纳技能方法，提炼数学思想；然后设计课后 实践，将本节获取的知识和能力迁移拓展，体现数学建模的数学思想。 六.目标检测设计： 1.利用随机模拟的方法估算图 3.3-4 中阴影部分(y=1 和 y=x2 围成的部分)的面积. 2.课本 P140 练习 2，并设计随机模拟的方案(手工方案或者计算机模拟方案)。 图3.3 4 6
