空间中平面与平面的垂直关系 教案(第九届全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动).doc

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1、2.3.2“平面与平面垂直的判定”教学设计 人民教育出版社人民教育出版社 普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书 A A 版版 必修必修 2 2 【授课内容】【授课内容】 平面与平面垂直的判定 【课时和课型】【课时和课型】 1 课时 新授课 【教学内容分析】【教学内容分析】 本课时选自人民教育出版社,普通高中课程标准试验教科书必修 2 第二章第三节第 2 课时,是空间垂直关系的重难点内容,也是高考的考查热点,是“转 化”、“降维”思想的又一重要体现。前一节课已经学习了空间平行关系的判定和性质,以及线面垂直的判定、线面角。平面与平面垂直需要“二面角”的概念, 二面角定量地反映了两个

2、平面相交的位置关系,但是如何来度量二面角的大小是一个难点。根据“异面直线所成角”和“直线与平面所成角”的学习经验,自 然想到用“平面化”的思想,进而通过给出动手实验得到二面角的平面角的概念。面面垂直是面面相交的特殊情况,生活中面面垂直的例子大量存在,引导 学生观察、结合实例,再用直二面角作为理论依据,很容易归纳出使面面垂直的必备条件,自然地就获得了面面垂直的判定定理。 【学情分析】【学情分析】 高中阶段的学生思维活跃,参与意识、语言表达和自主探究能力较强,故采用启发探究、讨论、实验多元结合的教学方法;通过一系列的问题及 2 个主要 的探究活动,引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到

3、抽象、从感性到理性的过度,从而完成定义的建构和定理的发现。在必修 2 中从前 面线面平行、面面平行、线面垂直等知识的学习过程中,学生已经掌握了了学习研究立体几何的一般方法平面化,对线线、线面、面面间关系的转化 也已经比较熟练,但因本节内容的抽象性,对学生抽象概括能力、空间想象能力的要求较高,故采用多媒体辅助教学,在 PPT 课件中,融入视频、多个几 何画板制作的动画,可大幅降低学生在空间想象上的难度,因此学习本节知识不会有太大困难。 【教学目标设定】教学目标设定】 根据本课教材的特点,新课标对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标: 1.1.知识与技能:知识与技能:理

4、解二面角的概念与度量;掌握“平面与平面垂直的判定定理”;能应用判定定理证明一些简单的面面垂直问题 1 1 / 1010 2.2.过程与方法:过程与方法:直观感知空间中二面角的平面角和面面垂直现象,动手试验探究二面角的做法,经历平面与平面垂直的判定定理的形成过程;感受空间与 平面问题的类比和转化,提升知识迁移能力;亲历 “二面角的平面角”和“平面与平面垂直的判定定理”的探索过程,提高抽象概括能力,合作探究能力。 3.3.情感态度与价值观情感态度与价值观 从生活实例中抽象出数学问题、总结数学定理,提升发现问题、解决问题的能力,感受数学应用和数学文化的魅力,激发数学学习兴趣,提高数学素养。 【学情分

5、析】【学情分析】 【教学重点、难点】【教学重点、难点】 教学重点:教学重点:二面角的相关概念和平面与平面垂直的判定定理 教学难点:教学难点:平面与平面垂直的判定定理的形成过程 【教学方法与手段】【教学方法与手段】 教学方法:教学方法:启发式教学法、讨论教学法、直观演示法、实验法、讲练结合法; 教学手段:教学手段:投影仪,多媒体音频视频、PPT 课件,几何画板、学案等 【教学基本流程】【教学基本流程】 生活实例引入二 面角的概念 活动探究二面角 的平面角的概念 和做法 活动探究平面与 平面垂直的判定 定理 判定定理的简单 应用 课堂小结和作业 布置 2 2 / 1010 【教学过程设计】【教学过

6、程设计】 教学环节 教学内容 学生活动 教师活动 设计意图 由空间位置关系的学习主线引出本节的教学内容面面垂直的判 回忆上节内容 用实例视频调动学生学习兴趣, 列举丰富的生活实例,能增强课堂 定;引导对于新知识的学习要追求本质,通过视频实例展示,获得平面 构建知识体系 引导学生梳理前面的知识内容 的趣味性,也为后面的探究活动打 相交的直观感受。类比线面垂直的学习,明确本节课的重要内容是定 观看视频 和学习路径,使学生的知识结构 伏笔;梳理前继知识,让学生感受 情景引入, 义、并判定两平面垂直。 回答问题 更完整、知识体系更清晰,为本 到空间位置关系学习的“连贯性”、 明确探究方向 节课的课堂探

7、究埋好伏笔并指 研究方法的“相似性”,情景引入的 明方向,引入的最后提出问题: 目的是使课堂探究活动有章可循、 平面和平面可否定义成角 有据可依、有的放矢。 因 选取视频中三个经典实例(门、书、电脑),借助多媒体课件,将实物 归纳二面角要素 启发学生从构成要素上理性分 二面角概念不难,但要做到合理、 势 图型抽象成数学图形并清晰展示,教师引导,学生思考并回答出构成二 回答问题 析图形,将学生对二面角的直观 自然的生成并不简单,为此有了如 利 面角的要素,通过多媒体课件,动态演示平面内角的生成和空间里二面 观看动图演示 认知引向理性认知,鼓励学生自 下处理: 导 角的生成过程, 在类比的情景下,

8、由学生自然的概括出二面角的定义 概括二面角定义 己概括定义,给与肯定,并补充 多媒体课件展示直观图形到数学 , 和其它相关概念,教师补充二面角的作图规范和符号表示。 二面角的图形表达和符号语言 图形的抽象过程、二面角图形的生 二面角的 构 表达。 成过程,激发学生的理性思维,协 相关概念 建 助学生循序渐进的构建二面角及 二面角: 二面角: 和表示 从一条直线出发的两个半平面构成的空 二 其相关定义。 面 间图形,叫做二面角。这条直线叫做二面角的 棱,两个半平面为二面角的面。 选择平面上“角”的概念做类比, 角 削弱学生在概念抽象上的思维难 图形表示:平卧式、直立式; 定 度。通过类比和迁移使

9、得概念的生 符号表示:面棱面. 义 成更觉合理和不突兀。 3 3 / 1010 A A Q Q P P A A B B B B l AB P AB Q 二面角是空间图形,结合线面角的学习经验,可采取降维处理,空间问 折二面角 巡视小组讨论情况 二面角平面角的做法的合理性是 题平面化,即找一个平面角(相交直线成角)来代替二面角。 绘制平面角 发现典型的做角方法 这一环节的重点,因此一定要由学 小组讨论 邀请 2-3个小组代表进行汇报 生完成,通过学生与学生之间的合 探究活动 1:4 人一组,用空白纸折出一个二面角,讨论后画出一个平 汇报结果 启发学生分析错因 作、讨论等互助学习过程,可使知 面角

10、来表示二面角的大小,并汇报小组讨论结果. 分析错因 对此问题中常出现的两种典型 识生成的更合理,学生之间的交流 的错误做法给出其不合理性的 甚至争论,加深对平面角的理解, 二面角的 平面角及 二面角的平面角: 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半 平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线 Q Q B B 说明,并用课件演示 统一做法后,总结二面角平面角 同时更能提高思维的严谨性。将空 间问题平面化,再度体现降维思想 O O 的做法,并提醒一些注意事项并 在立体几何中的重要性。 A A 做法探究 所构成的角叫做二面角的平面角. MM P P l l 得到面面垂直的定义 二面角的平面角的大小即

11、是二面角的大小. 如图, AOB即为二面角 l 的平面角. 提醒注意: (1)二面角的平面角必须满足: B B 角的顶点在棱上; O O A A 角的两边分别在两个面内; l l 角的边都要垂直于二面角的棱; (2)二面角的平面角大小与顶点在棱上的位置无关. 4 4 / 1010 (3)二面角的范围: 0 180 当两个半平面重合时,规定二面角的大小为 0 ; 当两个半平面展开成一个平面时,规定二面角的大小为180 ; 面面垂直: 平面角是直角的二面角叫做直二面角此时,称两平面互相 垂直,记为 . 垂直平面的画法,如下图: l l 在正方体中设置四个二面角的问题(课件上,各个二面角问题连同图形

12、 读题 展示问题 二面角的平面角,因其顶点的任意 会逐一出现,待学生答完一题后,图形揭示答案),学生通过抢答的方 思考 组织抢答 性,给学生的认知带来阻碍,因此 式找二面角的平面角,借此巩固二面角及其平面角的相关概念,并通过 抢答 答案和评价 必须及时的练习巩固;针对面面垂 后面两个直二面角的问题,引发对判定定理的期待. 发现垂直平面 直的情况,学生切身感受到用定义 感受用定义法判 法,要找面、做角、计算得到直角, 例题为桥, 开启定理发现之旅 例 1:在正方体 ABCD A B C D 中,找出下列二面角的平面角. 1 1 1 1 定垂直的繁琐之 操作性有待改善,联想其它位置关 处并思考解决

13、办 系都有判定定理,因而激发学生对 (1)二面角 D AB D 和C BD C ; 1 1 法 平面与平面垂直的判定定理的思 (2)二面角 A AD C 和C A B B . 1 1 1 考和期待,至此,学生的自主探究 意识被激发,思维方向也自然的转 变为判定定理是什么.这样的设 5 5 / 1010 , C OC ; ( 2)均为直角 D AD 解析:平面角为 1 1 计,最大程度上藏匿了教师的导向 作用,体现学生在课堂教学中的主 D D1 1 C C1 1 D D1 1 C C1 1 A A1 1 B B 1 1 A A 1 1 B B 1 1 体地位,学生自己发现问题,自己 去找解决之法

14、,教师似乎只是顺水 推舟就能开启下一个内容,也就是 D D C C D D C C O O 难点内容,使得教学过程更流畅自 A A A A B B B B D D1 1 C C1 1 D D 1 1 C C1 1 然。 A A1 1 B B 1 1 A A 1 1 B B1 1 N N MM D D C C D D C C A A B B A A B B 乘 小组讨论 巡视各个小组的讨论情况 判定定理的发现是本节课的难点 胜 对于面面垂直,每次都找角、计算才能发现垂直,显然太过麻烦,我们 举例并说理 引导学生从选择实例、找到垂 内容,如何自然而然水到渠成的突 追 需要更具有操作性的判定定理。开

15、展探究活动,形成面面垂直的判定定 总结判定定理所 面、说明原理、总结结论几个环 破难点是个难题。本节课教师将大 击 探 究 面 面 理,学生概括定理后,教师补充该定理的图形表示、符号表示和结构说 需的条件 节开展讨论 胆的将这个任务交给这个课堂的 , 垂 直 的 判 明,与学生一起简单证明判定定理。 小组汇报 发现讨论中贴切的实例 主任学生,有前面例题的铺 斩 定定理 探究活动 2:找到一个面面垂直的实例,指出实例中哪两个平面互相垂 同教师一起完成 组织小组汇报 垫,学生的探究热情高涨,引课时 获 直,说明使得该组平面垂直的原因,并尝试总结判定两平面垂直的一 定理证明 汇总学生成果并形成判定定

16、理 的视频也刚好做了一些两平面垂 判 般方法,4 人一组开展讨论. 强化对定理图形、符号、结构的 直的铺垫,结合该阶段学生的思维 定 理解。 特征,必然可以举出精彩、贴切的 6 6 / 1010 之 实例;前面花了较多时间刻画相关 平面与平面垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直. 法 定义,给学生备充足的理论基础, 图形表示 符号表示 可以透过垂直现象、发现本质原 m m 因,并能用定义去证明垂直成立. 通过探究活动,学生的抽象概括能 力、空间想象能力、逻辑推理能力 结构特征:线面垂直 面面垂直; 垂直关系的转化:线线垂直 线面垂直 面面垂直 都将得到训练和提

17、升。 定理证明: 如图, 设 , , m l ,设垂足为O,B 为直线 m 上异于 O 的点,则 OB l ,在平面 内,过 O 作 OA l , 则 AOB 即为二面角 l 的 平面角. OA ,m OA,即OB OA, ,即二面角 l 是直二面角, AOB 90 7 7 / 1010 面面垂直定理的关键在于发现线面垂直,并用严谨、规范的数学语言给 思考 提问 巩固定理的必要性无需赘述,本题 与证明,在得到定理并证明定理后,设置例 2,改编自教材的一道题目 回答 板演 改编自教材上的例题,将原例题的 作为巩固定理只用. 立题背景“鳖臑”呈现给学生, 使学生感受到中国古代数学文化 例 2:九章

18、算术中,将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖 对今日所学数学学习的影响。(1) 应 用 定 理 臑”。如图所示,鳖臑 P ABC 中,PA 平面 ABC ,AC BC . (1)写出该几何体各个面的直角? 和(2)是递进的关系,通过(1) 证 明 面 面 (2)证明:平面 PAC 平面 PBC . 的铺垫,引领学生发现图形中所有 垂直 解 : ( 1) PAB PAC ACB PCB= =90 (2)证明: 平面 ABC , BC 平面 ABC , PA BC P P BC ,且 AC BC 平面 PAC 的垂直关系,自然证明(2)就简单 了,通过教师对证明步骤的演示, 给学生一个更加严谨

19、、规范的证明 过程示范。 又 平面 PBC 平面 PAC 平面 PBC A A B B C C 学生自己回忆总结课堂主要内容,教师给予评价,并适当补充,最后逐 回忆 启发 协助学生在学完本节知识后,将其 条汇总在多媒体课件上. 总结 总结 纳入已有知识网络,有利于学生正 作答 补充 确科学的构建空间位置关系的知 画龙点睛, 1.知识收获: 识体系。 综述鱼渔之得 二面角、二面角的平面角的定义,面面垂直的判定定理; 垂直关系的相互转化:线线 判 定 定义 线面 判定 面面; 2.方法收获: 8 8 / 1010 判定面面垂直的两种方法 定义 ; 面面垂直的判定定理 研究位置关系的基本策略:定义判

20、定性质. 3.数学思想:类比、转化降维: 空间位置、数量关系 类比 平面位置、数量关系 必做内容的作用就是帮助所有学 必做 完成必修 2 第 73页,习题 2.3的 A4, A6, B1; 生巩固当堂所学,可以检测学习效 选做 果。 1.结合学习过的空间平行关系的判定定理、性质定理,空间垂直的判定定理,尝试发现其它判定面面垂直的命题,给出你的 选做 1 是对本节课的纵向延伸,选 结论和证明. 2.“平行关系图谱”已经完成,任意二者间都可以转化,你能尝试完成“垂直关系图谱”剩余的部分吗? 做 2 是对后继内容的铺垫,也是对 空间位置关系的横向整合。选做内 容鼓励学生合作探究完成。 线线平行 线线垂直 分层作业, 促进知能提升 平面内两相交直线 分别平行于另一个 线面平行 面面平行 面面平行则一个平面内任面面平行则一个平面内任 意直线与另一个平面平行意直线与另一个平面平行 一个平面经过另一个一个平面经过另一个 平面的垂线则两平面平面的垂线则两平面 线面垂直 面面垂直 ? 9 9 / 1010 【板书设计】【板书设计】 面面垂直的判定 1. 二面角 例 2:证明:(略) 2. 二面角的平面角: 3. 面面垂直的定义 4. 面面垂直判定定理: 1010 / 1010

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