1、1 小学数学应用题小学数学应用题专项复习专项复习 1 1、归一问题、归一问题 【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这 类应用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量份数1 份数量 1 份数量所占份数所求几份的数量 另一总量（总量份数）所求份数 【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？ 解 （1）买 1 支铅笔多少钱？0.650.12（元） （2）买 16 支铅笔需要多少钱？0.12161.92（元） 列成综合算式 0.65160.12161.
2、92（元） 答：需要 1.92 元。 例 2 3 台拖拉机 3 天耕地 90 公顷，照这样计算，5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？ 解 （1）1 台拖拉机 1 天耕地多少公顷？903310（公顷） （2）5 台拖拉机 6 天耕地多少公顷？1056300（公顷） 列成综合算式 9033561030300（公顷） 答：5 台拖拉机 6 天耕地 300 公顷。 例 3 5 辆汽车 4 次可以运送 100 吨钢材，如果用同样的 7 辆汽车运送 105 吨钢材，需要运几次？ 解 （1）1 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？100545（吨） （2）7 辆汽车 1 次能运多少吨钢材？5735（吨） （3）10
3、5 吨钢材 7 辆汽车需要运几次？105353（次） 列成综合算式 105（100547）3（次） 答：需要运 3 次。 2 2、归总问题、归总问题 【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓 “总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总 路程等。 【数量关系】 1 份数量份数总量 总量1 份数量份数 总量另一份数另一每份数量 【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例 1 2 服装厂原来做一套衣服用布 3.2 米，改进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。原来做 791 套 衣服的布
4、，现在可以做多少套？ 解 （1）这批布总共有多少米？3.27912531.2（米） （2）现在可以做多少套？2531.22.8904（套） 列成综合算式 3.27912.8904（套） 答：现在可以做 904 套。 例 2 小华每天读 24 页书， 12 天读完了 红岩 一书。 小明每天读 36 页书， 几天可以读完 红岩 ？ 解 （1）红岩这本书总共多少页？2412288（页） （2）小明几天可以读完红岩？288368（天） 列成综合算式 2412368（天） 答：小明 8 天可以读完红岩。 例 3 食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃 50 千克，30 天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意 见
5、，每天比原计划多吃 10 千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 解 （1）这批蔬菜共有多少千克？50301500（千克） （2）这批蔬菜可以吃多少天？1500（5010）25（天） 列成综合算式 5030（5010）15006025（天） 答：这批蔬菜可以吃 25 天。 3 3、和差问题、和差问题 【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数（和差）2 小数（和差）2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 例 1 甲乙两班共有学生 98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？ 解 甲班人数（986）252（
6、人） 乙班人数（986）246（人） 答：甲班有 52 人，乙班有 46 人。 例 2 长方形的长和宽之和为 18 厘米，长比宽多 2 厘米，求长方形的面积。 解 长（182）210（厘米） 宽（182）28（厘米） 长方形的面积10880（平方厘米） 答：长方形的面积为 80 平方厘米。 例 3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重 32 千克，乙丙两袋共重 30 千克，甲丙两袋共重 22 千克， 求三袋化肥各重多少千克。 解 3 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（3230）2 千克，且甲是大数， 丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量（222）212（千克） 丙袋化肥重量（222）21
7、0（千克） 乙袋化肥重量321220（千克） 答：甲袋化肥重 12 千克，乙袋化肥重 20 千克，丙袋化肥重 10 千克。 例 4 甲乙两车原来共装苹果 97 筐，从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐，两 车原来各装苹果多少筐？ 解 “从甲车取下 14 筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多 3 筐”，这说明甲车是大数，乙车是小 数，甲与乙的差是（1423），甲与乙的和是 97，因此甲车筐数（971423）264 （筐） 乙车筐数976433（筐） 答：甲车原来装苹果 64 筐，乙车原来装苹果 33 筐。 4 4、和倍问题、和倍问题 【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（
8、或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少， 这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】 总和（几倍1）较小的数 总和较小的数较大的数 较小的数几倍较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 1 果园里有杏树和桃树共 248 棵，桃树的棵数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解 （1）杏树有多少棵？248（31）62（棵） （2）桃树有多少棵？623186（棵） 答：杏树有 62 棵，桃树有 186 棵。 例 2 东西两个仓库共存粮 480 吨，东库存粮数是西库存粮数的 1.4 倍，求两库各存粮多少吨？ 解 （1）西库存粮数480（1.41）20
9、0（吨） （2）东库存粮数480200280（吨） 答：东库存粮 280 吨，西库存粮 200 吨。 例 3 甲站原有车 52 辆，乙站原有车 32 辆，若每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆， 几天后乙站车辆数是甲站的 2 倍？ 解 每天从甲站开往乙站 28 辆，从乙站开往甲站 24 辆，相当于每天从甲站开往乙站（2824） 辆。把几天以后甲站的车辆数当作 1 倍量，这时乙站的车辆数就是 2 倍量，两站的车辆总数（52 32）就相当于（21）倍， 那么，几天以后甲站的车辆数减少为 （5232）（21）28（辆） 所求天数为（5228）（2824）6（天） 4 答：6 天以后
10、乙站车辆数是甲站的 2 倍。 例 4 甲乙丙三数之和是 170，乙比甲的 2 倍少 4，丙比甲的 3 倍多 6，求三数各是多少？ 解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为 1 倍量。 因为乙比甲的 2 倍少 4，所以给乙加上 4，乙数就变成甲数的 2 倍； 又因为丙比甲的 3 倍多 6，所以丙数减去 6 就变为甲数的 3 倍； 这时（17046）就相当于（123）倍。那么， 甲数（17046）（123）28 乙数282452 丙数283690 答：甲数是 28，乙数是 52，丙数是 90。 5 5、差倍问题、差倍问题 【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），
11、要求这两个数各是多少， 这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】 两个数的差（几倍1）较小的数 较小的数几倍较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 1 果园里桃树的棵数是杏树的 3 倍，而且桃树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵？ 解 （1）杏树有多少棵？124（31）62（棵） （2）桃树有多少棵？623186（棵） 答：果园里杏树是 62 棵，桃树是 186 棵。 例 2 爸爸比儿子大 27 岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的 4 倍，求父子二人今年各是多少岁？ 解 （1）儿子年龄27（41）9（岁） （2）爸爸年龄9436（岁） 答：父子
12、二人今年的年龄分别是 36 岁和 9 岁。 例 3 商场改革经营管理办法后， 本月盈利比上月盈利的 2 倍还多 12 万元， 又知本月盈利比上月盈 利多 30 万元，求这两个月盈利各是多少万元？ 解 如果把上月盈利作为 1 倍量，则（3012）万元就相当于上月盈利的（21）倍，因此 上月盈利（3012）（21）18（万元） 本月盈利183048（万元） 答：上月盈利是 18 万元，本月盈利是 48 万元。 例 4 粮库有 94 吨小麦和 138 吨玉米， 如果每天运出小麦和玉米各是 9 吨， 问几天后剩下的玉米是 小麦的 3 倍？ 解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原
13、来的数量差（13894）。 把几天后剩下的小麦看作 1 倍量，则几天后剩下的玉米就是 3 倍量，那么，（13894）就相当于 5 （31）倍，因此 剩下的小麦数量（13894）（31）22（吨） 运出的小麦数量942272（吨） 运粮的天数7298（天） 答：8 天以后剩下的玉米是小麦的 3 倍。 6 6、倍比问题、倍比问题 【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比 的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】 总量一个数量倍数 另一个数量倍数另一总量 【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。 例 1 100 千
14、克油菜籽可以榨油 40 千克，现在有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？ 解 （1）3700 千克是 100 千克的多少倍？370010037（倍） （2）可以榨油多少千克？40371480（千克） 列成综合算式 40（3700100）1480（千克） 答：可以榨油 1480 千克。 例 2 今年植树节这天，某小学 300 名师生共植树 400 棵，照这样计算，全县 48000 名师生共植树 多少棵？ 解 （1）48000 名是 300 名的多少倍？48000300160（倍） （2）共植树多少棵？40016064000（棵） 列成综合算式 400（48000300）64000（棵） 答：全
15、县 48000 名师生共植树 64000 棵。 例 3 凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家 4 亩果园收入 11111 元，照这样计算，全乡 800 亩 果园共收入多少元？全县 16000 亩果园共收入多少元？ 解 （1）800 亩是 4 亩的几倍？8004200（倍） （2）800 亩收入多少元？111112002222200（元） （3）16000 亩是 800 亩的几倍？1600080020（倍） （4）16000 亩收入多少元？22222002044444000（元） 答：全乡 800 亩果园共收入 2222200 元，全县 16000 亩果园共收入 44444000 元。 7 7、
16、相遇问、相遇问题题 【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间总路程（甲速乙速） 总路程（甲速乙速）相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。 6 例 1 南京到上海的水路长 392 千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小 时行 28 千米，从上海开出的船每小时行 21 千米，经过几小时两船相遇？ 解 392（2821）8（小时） 答：经过 8 小时两船相遇。 例 2 小李和小刘在周长为 400 米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑 5 米，小刘每秒钟跑 3 米，他 们从
17、同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？ 解 “第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。 因此总路程为 4002 相遇时间（4002）（53）100（秒） 答：二人从出发到第二次相遇需 100 秒时间。 例 3 甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行 15 千米，乙每小时行 13 千米，两人在 距中点 3 千米处相遇，求两地的距离。 解 “两人在距中点 3 千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得 慢，甲过了中点 3 千米，乙距中点 3 千米，就是说甲比乙多走的路程是（32）千米，因此， 相遇时间（32）（1513）3（小时） 两地距离（
18、1513）384（千米） 答：两地距离是 84 千米。 8 8、追及问题、追及问题 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不 是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时 间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间追及路程（快速慢速） 追及路程（快速慢速）追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例 1 好马每天走 120 千米，劣马每天走 75 千米，劣马先走 12 天，好马几天能追上劣马？ 解 （1）劣马先走 12 天能走多
19、少千米？7512900（千米） （2）好马几天追上劣马？900（12075）20（天） 列成综合算式 7512（12075）9004520（天） 答：好马 20 天能追上劣马。 例 2 小明和小亮在 200 米环形跑道上跑步，小明跑一圈用 40 秒，他们从同一地点同时出发，同向 而跑。小明第一次追上小亮时跑了 500 米，求小亮的速度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即 200 米，此时小亮跑了（500200）米，要知小 亮的速度，须知追及时间，即小明跑 500 米所用的时间。又知小明跑 200 米用 40 秒，则跑 500 米用40（500200）秒，所以小亮的速度是
20、7 （500200）40（500200） 3001003（米） 答：小亮的速度是每秒 3 米。 例 3 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午 16 点开始从甲地以每小时 10 千米的速度逃 跑，解放军在晚上 22 点接到命令，以每小时 30 千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距 60 千米，问解放军几个小时可以追上敌人？ 解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是 （2216） 小时， 这段时间敌人逃跑的路程是 10 （226）千米，甲乙两地相距 60 千米。由此推知 追及时间10（226）60（3010） 2202011（小时） 答：解放军在 11 小时后可以追上敌人。 例 4 一
21、辆客车从甲站开往乙站，每小时行 48 千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行 40 千米，两车在距两站中点 16 千米处相遇，求甲乙两站的距离。 解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（162）千米， 客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间， 这个时间为 162（4840）4（小时） 所以两站间的距离为（4840）4352（千米） 列成综合算式（4840）162（4840） 884 352（千米） 答：甲乙两站的距离是 352 千米。 9 9、植树问题、植树问题 【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，
22、这类应用题叫做植树问题。 【数量关系】 线形植树棵数距离棵距1 环形植树棵数距离棵距 方形植树棵数距离棵距4 三角形植树棵数距离棵距3 面积植树棵数面积（棵距行距） 【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。 例 1 一条河堤 136 米，每隔 2 米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解 1362168169（棵） 答：一共要栽 69 棵垂柳。 例 2 一个圆形池塘周长为 400 米，在岸边每隔 4 米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？ 解 4004100（棵） 答：一共能栽 100 棵白杨树。 8 例 3 一个正方形的运动场，每边长 220 米，每隔 8 米安
23、装一个照明灯，一共可以安装多少个照明 灯？ 解 2204841104106（个） 答：一共可以安装 106 个照明灯。 例 4 给一个面积为 96 平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是 60 厘米和 40 厘米， 问至少需要多少块地板砖？ 解 96（0.60.4）960.24400（块） 答：至少需要 400 块地板砖。 例 5 一座大桥长 500 米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔 50 米有一个电杆，每个电杆上安装 2 盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？ 解 （1）桥的一边有多少个电杆？50050111（个） （2）桥的两边有多少个电杆？11222（个） （3）大桥两边可安装多
24、少盏路灯？22244（盏） 答：大桥两边一共可以安装 44 盏路灯。 1010、年龄问题、年龄问题 【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之 间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 【数量关系】 年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的， 要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。 【解题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。 例 1 爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？ 解 3557（倍） （35+1）（5+1）6（倍） 答：今年爸爸的年龄是亮亮的 7 倍，
25、明年爸爸的年龄是亮亮的 6 倍。 例 2 母亲今年 37 岁，女儿今年 7 岁，几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？ 解 （1）母亲比女儿的年龄大多少岁？37730（岁） （2）几年后母亲的年龄是女儿的 4 倍？30（41）73（年） 列成综合算式（377）（41）73（年） 答：3 年后母亲的年龄是女儿的 4 倍。 例 3 甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才 4 岁”。乙对甲说：“当我的岁数将 来是你现在的岁数时，你将 61 岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？ 解 9 这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析： 过去某一年 今年 将来某一年 甲 岁 岁 61 岁
26、乙 4 岁 岁 岁 表中两个“”表示同一个数，两个“”表示同一个数。 因为两个人的年龄差总相等：461，也就是 4，61 成等差数列， 所以，61 应该比 4 大 3 个年龄差， 因此二人年龄差为（614）319（岁） 甲今年的岁数为611942（岁） 乙今年的岁数为421923（岁） 答：甲今年的岁数是 42 岁，乙今年的岁数是 23 岁。 1111、行船问题、行船问题 【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行 的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水 速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。
27、【数量关系】 （顺水速度逆水速度）2船速 （顺水速度逆水速度）2水速 顺水速船速2逆水速逆水速水速2 逆水速船速2顺水速顺水速水速2 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时， 水流速度为每小时 15 千米， 这只船逆水行这段路程需用 几小时？ 解 由条件知，顺水速船速水速3208，而水速为每小时 15 千米，所以，船速为每小时 32081525（千米） 船的逆水速为 251510（千米） 船逆水行这段路程的时间为 3201032（小时） 答：这只船逆水行这段路程需用 32 小时。 例 2 甲船逆水行 360 千米需 18 小
28、时，返回原地需 10 小时；乙船逆水行同样一段距离需 15 小时， 返回原地需多少时间？ 解 由题意得甲船速水速3601036 甲船速水速3601820 可见（3620）相当于水速的 2 倍， 所以，水速为每小时（3620）28（千米） 又因为，乙船速水速36015， 所以，乙船速为 36015832（千米） 乙船顺水速为 32840（千米） 所以，乙船顺水航行 360 千米需要 360409（小时） 答：乙船返回原地需要 9 小时。 10 1212、列车问题、列车问题 【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】 火车过桥：过桥时间（车长桥长）车速 火车
29、追及：追及时间（甲车长乙车长距离） （甲车速乙车速） 火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离） （甲车速乙车速） 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 一座大桥长 2400 米， 一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥， 从车头开上桥到车尾离开桥 共需要 3 分钟。这列火车长多少米？ 解 火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。 （1）火车 3 分钟行多少米？90032700（米） （2）这列火车长多少米？27002400300（米） 列成综合算式 90032400300（米） 答：这列火车长 300 米。 例 2 一列长 200 米的火车以每秒
30、8 米的速度通过一座大桥，用了 2 分 5 秒钟时间，求大桥的长度 是多少米？ 解 火车过桥所用的时间是 2 分 5 秒125 秒，所走的路程是（8125）米，这段路程就是（200 米桥长），所以，桥长为 8125200800（米） 答：大桥的长度是 800 米。 例 3 一列长 225 米的慢车以每秒 17 米的速度行驶，一列长 140 米的快车以每秒 22 米的速度在后 面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？ 解 从追上到追过，快车比慢车要多行（225140）米，而快车比慢车每秒多行（2217）米， 因此，所求的时间为 （225140）（2217）73（秒） 答：需要 73 秒。 例
31、 4 一列长 150 米的列车以每秒 22 米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒 3 米的速度迎面走来， 那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？ 解 如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。 150（223）6（秒） 答：火车从工人身旁驶过需要 6 秒钟。 1313、时钟问题、时钟问题 【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为 11 60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。 【数量关系】 分针的速度是时针的 12 倍， 二者的速度差为 11/12。 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。 【解题思路和方法】 变通为“追及
32、问题”后可以直接利用公式。 例 1 从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？ 解 钟面的一周分为 60 格，分针每分钟走一格，每小时走 60 格；时针每小时走 5 格，每分钟走 5/601/12 格。每分钟分针比时针多走（11/12）11/12 格。4 点整，时针在前，分针在后， 两针相距 20 格。所以 分针追上时针的时间为 20（11/12）22（分） 答：再经过 22 分钟时针正好与分针重合。 例 2 四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？ 解 钟面上有 60 格，它的 1/4 是 15 格，因而两针成直角的时候相差 15 格（包括分针在时针的前 或后 15 格两
33、种情况）。四点整的时候，分针在时针后（54）格，如果分针在时针后与它成直角， 那么分针就要比时针多走（5415）格，如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针 多走（5415）格。再根据 1 分钟分针比时针多走（11/12）格就可以求出二针成直角的时间。 （5415）（11/12）6（分） （5415）（11/12）38（分） 答：4 点 06 分及 4 点 38 分时两针成直角。 例 3 六点与七点之间什么时候时针与分针重合？ 解 六点整的时候，分针在时针后（56）格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是 一个追及问题。 （56）（11/12）33（分） 答：6 点 33 分的时候
34、分针与时针重合。 1414、盈亏问题、盈亏问题 【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或 两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。 【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数（盈亏）分配差 如果两次都盈或都亏，则有： 参加分配总人数（大盈小盈）分配差 参加分配总人数（大亏小亏）分配差 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 给幼儿园小朋友分苹果， 若每人分 3 个就余 11 个； 若每人分 4 个就少 1 个。 问有多少小朋友？ 有多少个苹果？ 12 解
35、 按照“参加分配的总人数（盈亏）分配差”的数量关系： （1）有小朋友多少人？（111）（43）12（人） （2）有多少个苹果？3121147（个） 答：有小朋友 12 人，有 47 个苹果。 例 2 修一条公路，如果每天修 260 米，修完全长就得延长 8 天；如果每天修 300 米，修完全长仍 得延长 4 天。这条路全长多少米？ 解 题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数（大 亏小亏）分配差”的数量关系，可以得知 原定完成任务的天数为 （26083004）（300260）22（天） 这条路全长为 300（224）7800（米） 答：这条路全长 7800
36、米。 例 3 学校组织春游，如果每辆车坐 40 人，就余下 30 人；如果每辆车坐 45 人，就刚好坐完。问有 多少车？多少人？ 解 本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有 （1）有多少车？（300）（4540）6（辆） （2）有多少人？40630270（人） 答：有 6 辆车，有 270 人。 1515、工程问题、工程问题 【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中， 常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工 作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。 【数量关系】 解答工程问题的关
37、键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示 单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间 的关系列出算式。 工作量工作效率工作时间 工作时间工作量工作效率 工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率） 【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。 例 1 一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完成，现在两队合作，需要几 天完成？ 解 题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看 作单位“1”。由于甲队独做需 10 天完成，那么每天完成这项工程的 1/10；乙队单独
38、做需 15 天 完成，每天完成这项工程的 1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/101/15）。 由此可以列出算式：1（1/101/15）11/66（天） 答：两队合做需要 6 天完成。 例 2 13 一批零件，甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做 24 个，求这批零件共有多少个？ 解一 设总工作量为 1， 则甲每小时完成 1/6， 乙每小时完成 1/8， 甲比乙每小时多完成 （1/61/8） ， 二人合做时每小时完成（1/61/8）。因为二人合做需要1（1/61/8）小时，这个时间内， 甲比乙多做 24 个零件，所以 （1）每小时甲比乙多做
39、多少零件？ 241（1/61/8）7（个） （2）这批零件共有多少个？ 7（1/61/8）168（个） 答：这批零件共有 168 个。 解二 上面这道题还可以用另一种方法计算： 两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 1/61/843 由此可知，甲比乙多完成总工作量的 43/431/7 所以，这批零件共有 241/7168（个） 例 3 一件工作，甲独做 12 小时完成，乙独做 10 小时完成，丙独做 15 小时完成。现在甲先做 2 小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？ 解 必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此， 我们设总工作量为 12、
40、10、和 15 的某一公倍数，例如最小公倍数 60，则甲乙丙三人的工作效率 分别是 601256010660154 因此余下的工作量由乙丙合做还需要 （6052）（64）5（小时） 答：还需要 5 小时才能完成。 例 4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开 4 个进 水管时，需要 5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水管时，需要 15 小时才能注满水池；现在要用 2 小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？ 解 注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流 量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。 要 2 小时
41、内将水池注满，即要使 2 小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知 道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位 1，其余两个量便 可由条件推出。 我们设每个同样的进水管每小时注水量为 1，则 4 个进水管 5 小时注水量为（145），2 个进水管 15 小时注水量为（1215），从而可知 每小时的排水量为（1215145）（155）1 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知 一池水的总工作量为 1451515 又因为在 2 小时内，每个进水管的注水量为 12， 所以，2 小时内注满一池水 至少需要多少个进水管？（1512）（12） 8.59（个）
42、答：至少需要 9 个进水管。 14 1616、正反比例问题、正反比例问题 【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比 的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正 比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积 一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意 义和解比例等知识的综合运用。 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问 题去
43、解决，而且比较简捷。 【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。 例 1 修一条公路，已修的是未修的 1/3，再修 300 米后，已修的变成未修的 1/2，求这条公路总长 是多少米？ 解 由条件知，公路总长不变。 原已修长度总长度1（13）14312 现已修长度总长度1（12）13412 比较以上两式可知，把总长度当作 12 份，则 300 米相当于（43）份，从而知公路总长为 300（43）123600（米） 答：这条公路总长 3600 米。 例 2 张晗做 4 道应用题用了 28 分钟，照
44、这样计算，91 分钟可以做几道应用题？ 解 做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系 设 91 分钟可以做 X 应用题则有 28491X 28X914X91428X13 答：91 分钟可以做 13 道应用题。 例 3 孙亮看十万个为什么这本书，每天看 24 页，15 天看完，如果每天看 36 页，几天就可以 看完？ 解 书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设 X 天可以看完，就有 2436X15 36X2415X10 答：10 天就可以看完。 1717、按比例分配问题、按比例分配问题 【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形
45、 式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。 【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数比的 前后项之和 15 【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分 占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是 多少的计算方法，分别求出各部分量的值。 例 1 学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二班有 48 人，三 班有 45 人，三个班各植树多少棵？ 解 总份数为 474845140 一班植
46、树 56047/140188（棵） 二班植树 56048/140192（棵） 三班植树 56045/140180（棵） 答：一、二、三班分别植树 188 棵、192 棵、180 棵。 例 2 用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是 345。三条边的长各是多少厘 米？ 解 34512603/1215（厘米） 604/1220（厘米） 605/1225（厘米） 答：三角形三条边的长分别是 15 厘米、20 厘米、25 厘米。 例 3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把 17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的 1/2，二儿子 分总数的 1/3，三儿子分总数的 1/9，并规定不许把羊
47、宰割分，求三个儿子各分多少只羊。 解 如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法 解，则很容易得到 1/21/31/9962 96217179/179 176/176172/172 答：大儿子分得 9 只羊，二儿子分得 6 只羊，三儿子分得 2 只羊。 例 4 某工厂第一、二、三车间人数之比为 81221，第一车间比第二车间少 80 人，三个车间共 多少人？ 解 80（128）（81221）820（人） 答：三个车间一共 820 人。 1818、百分数问题、百分数问题 【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可
48、以 通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示 “率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记 号“%”。 在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是 1%，两个百分点就是 2%。 【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数比较量标准量 16 标准量比较量百分数 【解题思路和方法】 一般有三种基本类型： （1）求一个数是另一个数的百分之几； （2）已知一个数，求它的百分之几是多少； （3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 例 1 仓库里有一批化肥， 用去 720 千
49、克， 剩下 6480 千克， 用去的与剩下的各占原重量的百分之几？ 解 （1）用去的占 720（7206480）10% （2）剩下的占 6480（7206480）90% 答：用去了 10%，剩下 90%。 例 2 红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，男职工人数比女职工少百分之几？ 解 本题中女职工人数为标准量， 男职工比女职工少的人数是比较量所以 （525420） 5250.2 20% 或者 14205250.220% 答：男职工人数比女职工少 20%。 例 3 红旗化工厂有男职工 420 人，女职工 525 人，女职工比男职工人数多百分之几？ 解 本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此 （525420）4200.2525% 或者 52542010.2525% 答：女职工人数比男职工多 25%。 例 4 红旗化工厂有男职工 420 人，有女职工 525 人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？ 解 （1）男职工占 420（420525）0.44444.4% （2）女职工占 525（420525）0.55655.6% 答：男职工占全厂职工总数的 44.4%，女职工占 55.6%。
