1、 - 1 - 保密启用前 20202021 学年度第一学期期中考试 高三数学试题(A) 本试卷共 4 页，共 150 分，考试时间 120 分钟。 第 I 卷 选择题(60 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 Ax|x24，Bx|2x1，则 AB 等于 A.2，1) B.2，0) C.(1，2 D.2，) 2.已知 i 为虚数单位，若 m2i 1 i 是纯虚数，则实数 m 的值为 A. 1 2 B. 1 2 C.2 D.2 3.在ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b，则“ab”是
2、“ cos cos aA bB ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.如果向量a，b的夹角为 ，我们就称ab为向量a与b的“向量积” ，ab还是一个向 量，它的长度为|ab|a|b|sin，如果|a|10，|b|2，ab12，则|ab| A.16 B.8 C.16 D.20 5.中国的 5G 技术领先世界， 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： CWlog2(1 S N )， 它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率 C 取决于信道带宽 W、信道内信号的平 均功率 S、信道内部的高斯噪声功率 N 的大小，其中 S N 叫做信噪比
3、。当信噪比比较大时，公 式中真数中的 1 可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽 W，而将信噪比 S N 从 1000 提 升至 5000，则 C 大约增加了( )(附：lg20.3010) A.20% B.23% C.28% D.50% 6.已知函数 yf(x)的图象如图所示，则此函数可能是 - 2 - A.f(x) sin6 22 xx x B.f(x) sin6 22 xx x C.f(x) cos6 22 xx x D.f(x) cos6 22 xx x 7.已知数列an为等差数列，首项为 2，公差为 3，数列bn为等比数列，首项为 2，公比为 2， 设 cn n b a，Tn为数列
4、cn的前 n 项和，则当 Tn0 且 al)，若 f(x)有最小值，则实数 a 的取值 范围是 A.(0， 3 4 B.(1， 3 2 C.(0，1)(1， 3 2 D.(0， 3 4 (1， 3 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.若正实数 a，b 满足 ab1，则下列选项中正确的是 A.ab 有最大值 1 4 B.ab有最小值2 C. 11 ab 有最小值 4 D.a2b2有最小值 2 2 10.如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B
5、1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点， 则下列结论正确的是 A.直线 AM 与 BN 是平行直线 B.直线 BN 与 MB1是异面直线 C.直线 MN 与 AC 所成的角为 60 D.平面 BMN 截正方体所得的截面面积为 9 2 11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米 德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 xR，用x表示不超 过 x 的最大整数， 则 yx称为高斯函数， 例如： 3.54， 2.12， 已知函数 f(x) x x 2e 1 e 1 2 ，g(x)f(x)，则下列叙述正确的是 - 3 -
6、 A.g(x)是偶函数 B.f(x)在 R 上是增函数 C.f(x)的值域是( 1 2 ，) D.g(x)的值域是1，0，l 12.已知函数 f(x)sin(x)(0)满足 f(x0)f(x01) 2 2 ， 且 f(x)在(x0， x01)上有最大值， 无最小值，则下列结论正确的是 A.f(x0 1 2 )1 B.若 x00，则 f(x)sin(x 4 ) C.f(x)的最小正周期为 4 D.f(x)在(0，2020)上的零点个数最少为 1010 个 第 II 卷 非选择题(90 分) 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知角 的终边经过点 P(3，4)，则
7、 sin2cos 的值等于 。 14.己知曲线 yx23lnx 的一条切线的斜率为1，则该切线的方程为 。 15.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x3)f(3x)0，且当 x(3，0)时，f(x)log2(x 3)a，若 f(7)2f(11)，则实数 a 。 16.如图，正四面体 ABCD 的棱长为 2，点 E、F 分别是棱 BD、BC 的中点，则该正四面体 的内切球半径为 ；平面 AEF 截该内切球所得截面的面积为 。(第一空 2 分，第二空 3 分) 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 已知 a
8、，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，(bc)(sinBsinC)(ac)sinA。 (1)求 B； (2)若 b4，ABC 的面积为 43，求 ac。 18.(本小题满分 12 分) 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献。 生产口罩的固定成本为 400 万元，每生产 x 万箱，需另投入成本 p(x)万元，当产量不足 60 万 - 4 - 箱时，p(x) 1 2 x250 x；当产量不小于 60 万箱时，p(x)101x 6400 x 1860，若每箱口罩 售价 100 元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完。 (1)求口罩销
9、售利润 y(万元)关于产量 x(万箱)的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？ 19.(本小题满分 12 分) 等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3中的 任何两个数不在下表的同一列。 (1)求数列an的通项公式； (2)记 bm为数列an在区间(0，m(mN)中的项的个数，求数列bm的前 100 项的和。 20.(本小题满分 12 分) 己知函数，f(x)Asin(x 6 )(A0，0)只能同时 满足下列三个条件中的两个：图象 上一个最低点为 M( 2 3 ，2)；函数 f(x)的图象可由 y2sin(
10、x 4 )的图象平移得到； 若对任意 xR，f(x1)f(x)f(x2)恒成立，且|x1x2|的最小值为 2 。 (1)请写出这两个条件序号，并求出 f(x)的解析式； (2)求方程 f(x)10 在区间，上所有解的和。 21.(本小题满分 12 分) 如图，点 C 是以 AB 为直径的圆上的动点(异于 A，B)，己知 AB2，AE7，四边形 BEDC 为矩形，平面 ABC平面 BCDE。设平面 EAD 与平面 ABC 的交线为 l。 (1)证明：l平而 ACD； - 5 - (2)当三棱锥 ABCE 的体积最大时，求平面 ADE 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值。 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)lnxax(aR)。 (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)证明不等式 ex 2axf(x)恒成立。 - 6 - - 7 - - 8 - - 9 -
