1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 本章复习提升本章复习提升 易混易错练 易错点易错点 1 1 搞不清数学归纳法中项与项数的变化致错搞不清数学归纳法中项与项数的变化致错 1.(2019 甘肃兰州一中高二期中,)用数学归纳法证明“1+2+2 2+2n+2=2n+3-1 (nN *)”,验证 n=1 时,左边计算的式子为( ) A.1 B.1+2 C.1+2+2 2 D.1+2+2 2+23 2.()已知 f(n)= + + + (nN *),则( ) A.当 n=2 时, f(2)= + ; f(k+1)比 f(k)多了 1 项 B.当 n=2 时, f(2)= + + ; f(k+1)比 f(
2、k)多了 2k+1 项 C.当 n=2 时, f(2)= + ; f(k+1)比 f(k)多了 k 项 D.当 n=2 时, f(2)= + + ; f(k+1)比 f(k)多了 2k 项 3.(2019 安徽屯溪一中高二期中,)用数学归纳法证明 + + (nN *) 时,从 n=k(kN *)到 n=k+1,不等式左边需添加的项是( ) A. + + B. + - C. - D. 4.()用数学归纳法证明:x 2n-1+y2n-1(nN*)能被 x+y 整除.从假设 n=k(kN*)成立 到验证 n=k+1 是否成立时,被整除式应为( ) A.x 2k+3+y2k+3 B.x2k+2+y2k
3、+2 C.x 2k+1+y2k+1 D.x2k+y2k 5.()若命题 p(n)对 n=k(kN *)成立,则它对 n=k+2 也成立,又已知命题 p(1) 成立,则下列结论一定正确的是( ) A.p(n)对所有自然数 n 都成立 B.p(n)对所有正偶数 n 都成立 C.p(n)对所有正奇数 n 都成立 D.p(n)对所有大于 1 的自然数 n 都成立 易错点易错点 2 2 把握不准推理过程致错把握不准推理过程致错 6.(2019 江西上饶高二期末,)现有 A、B、C、D 四位同学被问到是否去过甲, 乙,丙三个教师办公室时,A 说:“我去过的教师办公室比 B 多,但没去过乙办公室.”B 说:
4、“我没去过丙办公室.”C 说:“我和 A、B 去过同一个教师办公室.”D 说:“我去过丙 办公室,我还和 B 去过同一个办公室.”由此可判断 B 去过的教师办公室为( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.不能确定 7.(2019 广东执信中学高二期中,)已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、 丙、丁,在某天的某个时刻,他们每人各做一项工作,一人在查资料,一人在写教案, 一人在批改作业,另一人在打印资料:(1)甲不在查资料,也不在写教案;(2)乙不在 打印资料,也不在查资料;(3)丙不在批改作业,也不在打印资料;(4)丁不在写教案, 也不在查资料.此外还可确定,如果甲不在打印资料,那么丙不在查资料.根
5、据以上 消息可以判断甲在 . 易错点易错点 3 3 把类比推理的结论作为推理依据致错把类比推理的结论作为推理依据致错 8.()已知 a1,b1,c1,a2,b2,c2都是非零实数,不等式 a1x 2+b 1x+c10,a2x 2+b 2x+c2bc 且 a+b+c=0. (1)证明:f(x)的图象与 g(x)的图象一定有两个交点; (2)请用反证法证明:-2 0 时,有 f(x)1. (1)求 f(0); (2)求证:f(x)在 R R 上为增函数; (3)若 f(1)=2,且关于 x 的不等式 f(ax-2)+f(x-x 2)3 对任意的 x1,+)恒成立, 求实数 a 的取值范围. 3.(
6、)已知 0ab0,且 a1). (1)请将 g(5)用 f(3)g(2),g(3)f(2)来表示; (2)请从(1)中推测出一个结论,并加以证明. 三、转化与化归思想 5.()已知定义在(-,4上的减函数 f(x),若不等式 f(m-sin x)f( - )对一切实数 x 都成立,求实数 m 的取值范围. 答案全解全析答案全解全析 易混易错练易混易错练 1.D 当 n=1 时,左边计算的式子为 1+2+2 2+23,故选 D. 2.D 当 n=2 时, f(2)= + + ; f(k+1)-f(k)= + - , f(k+1)比 f(k)多 了(k+1) 2-k2-1=2k 项,故选 D. 3
7、.B n=k(kN *)时,左边为 + + , n=k+1 时,左边为 + + + + + , 所以不等式左边需添加的项是 + + - = + - ,故选 B. 4.C 当 n=k+1 时,x 2n-1+y2n-1=x2k+1+y2k+1,故选 C. 易错警示易错警示 本题考查用数学归纳法证明数学命题,注意式子的结构特征,从 n=k(kN *)到 n=k+1 项的变化,易错选 D. 5.C 若命题 p(n)对 n=k(kN *)成立,则它对 n=k+2 也成立. 又已知命题 p(1)成立,可推出 p(3)、 p(5)、 p(7)、 p(9)、 p(11)均成立, 即 p(n)对所有正奇数 n
8、都成立. 故选 C. 6.A C 说:“我和 A、B 去过同一个教师办公室.”B 至少去过一个办公室.A 说:“我 去过的教师办公室比 B 多,但没去过乙办公室.”A 去过两个办公室,B 去过 1 个办 公室.B 说:“我没去过丙办公室.”B 去过的办公室为甲或乙.由于 A、B 去过同一个 教师办公室,且 A 没有去过乙办公室,所以 B 去的是甲办公室,此时也符合 D 说的. 故 B 去过的教师办公室为甲. 7.答案答案 打印资料 解析解析 因为甲不在查资料,也不在写教案,所以甲在批改作业或在打印资料.若甲 在批改作业,根据“甲不在打印资料,那么丙不在查资料”以及“丙不在批改作业,也 不在打印
9、资料”,得丙在写教案.又“乙不在打印资料,也不在查资料”,则乙可能在批 改作业或写教案,即此时乙必与甲或丙工作相同,不满足题意,所以甲不在批改作 业.因此甲在打印资料. 8.答案答案 既不充分也不必要 解析解析 当 = = 时,可取 a1=b1=c1=1,a2=b2=c2=-1,此时 M=,N=R,故 = = / M=N; 当 M=N=时,可取 a1=b1=c1=1,a2=1,b2=2,c2=3,但 ,即 M=N/ = = . 综上,“ = = ”是“M=N”成立的既不充分也不必要条件. 易错警示易错警示 将方程的同解原理类比到不等式中,易忽略不等式与等式的本质区别. 9.B 大前提:鹅吃白菜
10、,大前提本身正确,小前提:参议员先生也吃白菜,小前提本 身也正确,但不是大前提下的特殊情况,鹅与人不能进行类比,所以不符合三段论 的推理形式,可知推理形式错误. 10.C 函数 f(x)=sin(x 2+1)不是正弦函数,故小前提不正确.故选 C. 易错警示易错警示 正确的推理,需要确保大小前提的正确性. 思想方法练思想方法练 1.证明证明 (1)由 ax 2+bx+c=-bx 得 ax2+2bx+c=0, abc 且 a+b+c=0,a0,b=-(a+c), =4b 2-4ac=4(a+c)2-4ac =4 a+c 2+ a 2 0, 式有两个不相等的实数根,即两函数图象一定有两个交点. (
11、2)若结论不成立,则 -2 或 - . 由 -2,结合 a0,得 c-2a,即 a+c-a,-b-a, ab,这与条件中 ab 矛盾; 由 - ,得 2c-a,即 c-(a+c)=b, bc,这与条件中 bc 矛盾. 综上,假设不成立,故-2 - . 2.解析解析 (1)令 m=n=0,则 f(0)=2f(0)-1, f(0)=1. (2)证明:任取 x1,x2R,且 x10, f(x2-x1)1. f(m+n)=f(m)+f(n)-1, f(x2)=f (x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1)-11+f(x1)-1=f(x1), 即 f(x2)f(x1). 故 f(x)在 R 上为
12、增函数. (3)f(ax-2)+f(x-x 2)3, 即 f(ax-2)+f(x-x 2)-12, f(ax-2+x-x 2)2, f(1)=2, f(ax-2+x-x 2)f(1). 又 f(x)在 R 上为增函数, ax-2+x-x 20 对任意的 x1,+)恒成立. 令 g(x)=x 2-(a+1)x+3,则对称轴为直线 x= , 当 1,即 a1 时,二次函数 g(x)在1,+)上单调递增, 由 g(1)=-a+30,得 a1,即 a1 时,二次函数 g(x)在* +上单调递减,在* )上单调递 增,当 x= 时, g(x)取得最小值,故令 g( )0,解得-2 -1a2 -1, 1a
13、b+ln a; 再取 a= ,b= ,则 a+ln b= -2,b+ln a= -3,则有 a+ln bb+ln a. 故猜想 a+ln bb+ln a. (2)证明:令 f(x)=x-ln x,则 f(x)=1- ,当 0x1 时, f(x)=1- 0, 故函数 f(x)在(0,1)上单调递减, 又因为 0abf(b), 即 a-ln ab-ln b, 即 a+ln bb+ln a. 4.解析解析 (1)由题意得 g(5)= - - , f(3)g(2)+g(3)f(2)= - - - + - - - = - - , 所以 g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2). (2)由(1)知 g
14、(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2),即 g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2). 推测:g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y). 证明:因为 f(x)= - ,g(x)= - - , 所以 g(x+y)= - - ,g(y)= - - ,f(y)= - , 所以 f(x)g(y)+g(x)f(y)= - - - + - - - = - - =g(x+y). 所以 g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y). 5.解析解析 由题意可得 即 - - 由对任意实数 x 都成立,得 m-4-1,即 m3; 由对任意实数 x 都成立,得 m- + (cos 2x+sin x) max,因为 cos 2x+sin x=1-sin 2x+sin x,sin x-1,1, 所以(cos 2x+sin x) max= ,所以 m- + ,即 2m+12 , 解得 m=- 或 m . 所以实数 m 的取值范围为 m m=- 或 m3.
