1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理合情推理 基础过关练基础过关练 题组一题组一 归纳推理归纳推理 1.(2019 安徽六安二中高二期末)将正整数 1,2,3,4,按如图所示的方式排成三 角形数组,则第 20 行最后一项为( ) A.397 B.398 C.399 D.400 2.(2019 甘肃武威第五中学高二月考)观察下列各式:5 5=3 125,56=15 625,57=78 125,5 8=390 625,59=1 953 125,则 52 021的末四位数字为( ) A.3 125 B.5 625 C.0 625 D.
2、8 125 3.已知 x0,不等式 x+ 2,x+ 3,x+ 4,可推广为 x+ n+1,则 a 的值为 ( ) A.n 2 B.2n C.22n-2 D.nn 4.(2019 江西宜春九中高二期中)数列 1, , , ,猜想数列的通项公式 an= . 5.观察下列等式:1 3+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根据上述规律计算 1 3+23+33+43+53+63. 6.在数列an中,a1= ,Sn=n(2n-1)an,通过求 a2,a3,a4,猜想 an的表达式. 题组二题组二 类比推理类比推理 7.(2019 福建福州第一中学高二期中)在ABC 中,若
3、ACBC,AC=b,BC=a,则ABC 的 外接圆半径 r= .将此结论拓展到空间,可得出的正确结论是在四面体 S-ABC 中,若 SA、SB、SC 两两互相垂直,SA=a,SB=b,SC=c,则四面体 S-ABC 外接球的半径 R=( ) A. B. C. D. 8.如图(1),有面积关系: = ,则图(2)有体积关 系: - - = . 9.(2019 山西原平范亭中学高二月考)在平面几何中,研究三角形内任意一点与三 边的关系时,有真命题:边长为 a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值 a.类比上述命题,请写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题, 并给出证明. 能力提
4、升练能力提升练 一、选择题 1.(2019 东北育才学校高二期中,)已知 1=1 2,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52, 依此规律可以得到的第 n 个式子为( ) A.n+(n+1)+(n+2)+2n=(n-1) 2 B.n+(n+1)+(n+2)+3n=(n-1) 2 C.n+(n+1)+(n+2)+(2n+2)=(2n-1) 2 D.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1) 2 2.(2019 北京大学附属中学高二期中,) 现有一个关于平面图形的命题:如图所示,同一平面内有两个边长都是 a 的正方形, 其中一个正方形的某顶点与另一个正方形的中心重合,则这两个正方形重
5、叠部分 的面积恒为 .类比到空间中,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个正方体的某顶 点与另一个正方体的中心重合,则这两个正方体重叠部分的体积恒为( ) A. B. C. D. 3.(2019 内蒙古呼和浩特开来中学高二期中,)三角形 ABC 的面积为 S= (a+b+c)r,其中 a,b,c 为三角形的三边长,r 为三角形内切圆的半径,利用类比 推理,可以得出四面体 D-ABC 的体积为( ) A.V= abc(a,b,c 分别为棱 BC,AC,AB 的长) B.V= Sh(S 为面 ABC 的面积,h 为四面体的高) C.V= (ab+bc+ac) h(a,b,c 分别为棱 BC、AC、
6、AB 的长,h 为四面体的高) D.V= (S1+S2+S3+S4) r(S1,S2,S3,S4 分别为四面体四个面的面积,r 为四面体内切球的 半径) 4.(2019 甘肃武威第五中学高二月考,)如图所示,图、图、图、图 分别包含 1、5、13、25 个互不重叠的单位正方形,按同样的方式构造图形,则第 n 个图形包含的单位正方形的个数是( ) A.n 2-2n+1 B.2n2+2 C.2n 2-2n+1 D.2n2-n+1 二、填空题 5.(2018 黑龙江大庆一中期末,)类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形 ABC 中的两边 AB,AC 互相垂直,则三角形三边长之间满足关系式 AB 2+
7、AC2=BC2.若三 棱锥 A-BCD(如图)的三个侧面 ABC,ACD,ADB 两两互相垂直,则三棱锥的三个侧面积 S1,S2,S3与底面 BCD 的面积 S 之间满足的关系式为 . 三、解答题 6.()已知圆 C:x 2+y2=r2有以下性质: 过圆 C 上一点 M(x0,y0)的圆的切线方程是 x0 x+y0y=r 2; 若不在坐标轴上的点 M(x0,y0)为圆 C 外一点,过 M 作圆 C 的两条切线,切点分别 为 A,B,则 OM 垂直于 AB,若直线 OM 与 AB 的斜率分别为 kOM,kAB,则 kAB kOM=-1. (1)类比上述有关结论,猜想:过椭圆 C: + =1(ab
8、0)上一点 M(x 0,y0)的切线方 程(不要求证明); (2)若过椭圆 C: + =1 外一点 M(x 0,y0)(M 不在坐标轴上)作两条直线,与椭圆分 别相切于 A,B 两点,求证:kAB kOM为定值. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练基础过关练 1.D 由三角形数组可推断出,第 n 行共有(2n-1)项,且最后一项为 n 2,则第 20 行 最后一项为 400.故选 D. 2.A 由题中式子可知 5 n(n5,nN*)具有如下规律: 5 4k+1(kN*)的末四位数字为 3 125; 5 4k+2(kN*)的末四位数字为 5 625; 5 4k+3(kN*)的末四位数字为 8
9、125; 5 4k+4(kN*)的末四位数字为 0 625. 观察可得,5 n(n5,nN*)的末四位数字以 4 为周期循环, 又 2 021=4 505+1,所以 5 2 021的末四位数字为 3 125. 3.D 由题意知,第一个式子:n=1,x+ 2,其中的 a=1; 第二个式子:n=2,x+ 3,其中 a=4=2 2; 第三个式子:n=3,x+ 4,其中 a=27=3 3, 归纳可知,第 n 个式子:x+ n+1,其中 a=n n. 故选 D. 4.答案答案 - (nN *) 解析解析 数列 1, , , ,即 - , - , - , - , 猜想数列的通项公式为 an= - (nN
10、*). 5.解析解析 由所给等式左边的底数依次为 1,2;1,2,3;1,2,3,4,右边的底数依次为 3,6,10,可知:第五个等式左边的底数为 1,2,3,4,5,6,右边的底数为 1+2+3+4+5+6=21.又等式的左边为立方和,右边为平方的形式,所以 1 3+23+33+43+53+63=212. 6.解析解析 由 a1= ,Sn=n(2n-1)an,得 a2= ,a3= ,a4= ,. 观察 a1,a2,a3,a4发现,分子都是 1,分母是两个连续奇数的积,猜想 an= - (nN *). 7.A 四面体 S-ABC 中,三条棱 SA、SB、SC 两两互相垂直,则可以把该四面体补成
11、 长方体, 因为 SA、SB、SC 是同一个顶点处的三条棱, 所以该四面体外接球的直径就是长方体的体对角线,则该四面体外接球的半径 R= . 8.答案答案 9.解析解析 类比边长为 a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值 a,得到 正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题:棱长为 a 的正四面体内任意 一点到各个面的距离之和是定值 a. 证明如下:设 O 为正四面体 A-BCD 内任意一点,正四面体的棱长为 a,O 到面 ABC,面 BCD,面 ACD,面 ABD 的距离分别为 d1,d2,d3,d4,由于正四面体四个面的面积相等,则 有 VA-BCD=VO-ABC+VO-BCD+
12、VO-ACD+VO-ABD= SABC (d1+d2+d3+d4), 由于 SABC= a 2,V A-BCD= a 3, 所以 d1+d2+d3+d4= a, 所以棱长为 a 的正四面体内任意一点到各个面的距离之和是定值 a. 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.D 观察题中等式: 1=(2 1-1) 2, 2+3+4=(2 2-1) 2, 3+4+5+6+7=(2 3-1) 2, 则第 n 个等式左侧第一项为 n,且共有(2n-1)项, 则最后一项为 n+(2n-1)-1=3n-2, 据此可得第 n 个式子为 n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1) 2. 2.C 同一平面
13、内有两个边长都是 a 的正方形,其中一个正方形的某顶点与另一个 正方形的中心重合,则这两个正方形重叠的部分的面积恒为 . 类比到空间中,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个正方体的某顶点与另一个正 方体的中心重合,则这两个正方体的重叠部分的体积为 .故选 C. 3.D 设四面体的内切球的球心为 O,半径为 r,则球心 O 到四个面的距离都是 r, 根据三角形的面积的求解方法,即分割法,将 O 与四个顶点连起来, 可得四面体的体积等于以 O 为顶点,分别以四个面为底面的四个三棱锥的体积之 和, 即 V= (S1+S2+S3+S4) r(S1,S2,S3,S4 分别为四面体四个面的面积).故选
14、D. 4.C 设第 n 个图形包含 an个互不重叠的单位正方形, 因为题中图、图、图、图分别包含 1、5、13、25 个互不重叠的单位正 方形, 所以 a1=1,a2=5=1+4=1+4 1,a3=13=1+4+8=1+4 (1+2),a4=25=1+4+8+12=1+4 (1+2+3),由 此类推,可得 an=1+41+2+3+(n-1)=1+4 - =2n 2-2n+1. 经检验满足条件. 二、填空题 5.答案答案 + + =S2 解析解析 由边对应面,边长对应面积, 类比可得 + + =S2. 三、解答题 6.解析解析 (1)过椭圆 C: + =1(ab0)上一点 M(x0,y0)的切线方程是 + =1. (2)证明:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由(1)得过椭圆上的点 A(x1,y1)的切线 l1的方程是 + =1(ab0), 直线 l1过点 M(x0,y0), + =1, 同理, + =1, 又过 A,B 的直线是唯一的, 直线 AB 的方程是 + =1(ab0), kAB=- . 又 kOM= , kAB kOM=- =- ,为定值.
