1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 专题强化练专题强化练 3 利用导数与辅助函数解决有关不等式问题利用导数与辅助函数解决有关不等式问题 一、选择题 1.(2019 北京八中高二下期中,)设 a= ,b= ,c= ,则( ) A.bac B.abc C.babc 2.(2019 福建五校高二上联考,)已知函数 y=f(x)(xR R)满足 f(2)=1,且 f(x) 的导函数 f(x)x-1 的解集为( ) A.x|-2x2 B.x|x2 C.x|x2 D.x|x2 3.(2019 广东佛山二中高二下月考,)已知可导函数 f(x)(xR R)满足 f(x)0 时, f(a)和 e af(0)
2、的大小关系为( ) A.f(a)e af(0) C.f(a)=e af(0) D.f(a)e af(0) 4.(2020 福建师大附中高二期末,)已知 f(x)是定义在(- )( )上的偶 函数,且当 0x0,则不等式 f(x)2f( )cos x 的解 集为( ) A.(- - )( ) B.(- )( ) C.(- )( ) D.( ) 5.(2019 云南曲靖高二下期中,)已知定义在(-,0)上的函数 f(x)满足 2f(x)+xf(x) B.f(-e) C.f(-e) D.f(-e)f(x), f(1)=2 019,则不等式 ef(x)2 019e x(其中 e 为自然 对数的底数)的
3、解集为 . 7.()如果定义在 R R 上的函数 f(x),对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1 f(x1)+x2 f(x2)x1 f(x2)+x2 f(x1),则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数: y=e x+1;y=3x-2(sin x-cos x);y=-x3+x+1;f(x)= 以上函数 是“H 函数”的所有序号为 . 8.()定义在 R R 上的函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且当 x(-,0)时, f(x)+xf(x)0,求不等式 f(2 019+x)-(x+2 019) 2f(-1)0.当 x0 时, f(x)2 时, f(x)f(x).若
4、 f(3- x)=f(1+x)e 2-2x(其中 e 是自然对数的底数),求 的取值范围. 答案全解全析答案全解全析 一、选择题 1.D 令 y= (x0),则 y= - ,令 y=0,则 x= bc,故选 D. 2.B 令 g(x)=f(x)-(x-1),则 g(x)=f(x)-1x-1 得 g(x)0,解得 x2. 故选 B. 3.B 由题意,可设函数 f(x)=e 2x,则 f(x)=2e2x,满足 f(x)0,所以 e 2aea,即 f(a)eaf(0). 4.C 设 g(x)= ,x(- ) 0, , 则 g(x)= , 当 0x0,g(x)0,g(x)在( )上单调递 增. f(x
5、)是定义在(- )( )上的偶函数,g(-x)= - - = =g(x),g(x)也 是定义在(- )( )上的偶函数, 不等式 f(x)2f( )cos x 可化为 ( ) ,即 g(x)g( ),g(|x|)g( ), 0|x| ,- x0 或 0x . 5.C 令 g(x)=x 2f(x),x0, 则 g(x)=x2f(x)+xf(x). 因为当 x0 时,2f(x)+xf(x)-x 20, 所以 g(x)在(-,0)上单调递增, 所以 g(-e)g(-1),即 e 2f(-e)e, 故 f(-e)2 019e x,得 - 2 019. 令 g(x)= - . f(x)f(x),g(x)
6、= - - 0, 函数 g(x)在 R R 上单调递增. g(1)= - =2 019, - 2 019g(x)g(1),x1, 不等式 ef(x)2 019e x的解集为(1,+). 7.答案答案 解析解析 对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1 f(x1)+x2 f(x2)x1 f(x2)+x2 f(x1)恒成立, 不等式等价为(x1-x2)f(x1)-f(x2)0 恒成立, 即函数 f(x)是定义在 R R 上的增函数. y=e x+1 为增函数,满足条件; y=3-2(cos x+sin x)= 3-2 sin( )0, 函数单调递增,满足条件; y=-3x 2+1,函数在定
7、义域上不单调,不满足条件; 当 x0 时,函数单调递增,当 xab 解析解析 函数 y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, f(x)的图象关于原点对称,即函数 f(x)为奇函数. 设 g(x)=xf(x),则 g(x)为偶函数, 当 x(-,0)时,g(x)=f(x)+xf(x)0,此时函数 g(x)单调递减, 当 x(0,+)时,函数 g(x)单调递增. 则 a=(3 0.3)f(30.3)=g(30.3), b=(log3)f(log3)=g(log3), c=( )f( )=g( ), 即 c=g( )=g(-2)=g(2). 13 0.32,0log 33 0.3log 3, g
8、(2)g(3 0.3)g(log 3), 即 cab. 三、解答题 9.解析解析 令 g(x)= ,x0, 则 g(x)= - = - 0, 所以 g(x)在(-,0)上单调递减. 因为 f(2 019+x)-(x+2 019) 2f(-1)0, 所以(2 019+x) 2g(2 019+x)-(2 019+x)2g(-1)0,所以(2 019+x)2g(2 019+x)- g(-1)0,即 g(2 019+x)g(-1). 因为 g(x)在(-,0)上单调递减, 所以 - 解得-2 020x0),h(x)= (x0). f(3-x)=f(1+x)e 2-2x, - - = , 即 g(3-x)=g(1+x),g(1)=g(3). 对于 g(x)= ,其导数 g(x)= - = - , 当 x2 时, f(x)f(x),g(x)0,即 g(x)= 在区间(2,+)上单调递增, g(1)=g(3)g(4),即 ,变形可得 0 时, f(x)2f(x),h(x)h(4),即 ,变形可得 . 综上可得, ,即 的取值范围为( ).
