1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 专题强化练专题强化练 2 利用导数的运算法则与几何意义求切线方程利用导数的运算法则与几何意义求切线方程 一、选择题 1.(2019 湖南长郡中学高二期末,)曲线 f(x)=x 3-2x+1 在点(1, f(1)处的切 线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2 2.(2019 安徽合肥一中高二期中,)设函数 f(x)=aln x+bx 2,若函数 f(x)的图 象在点(1,1)处的切线与 y 轴垂直,则实数 a+b=( ) A.1 B. C. D.-1 3.(2019 辽宁沈阳高二上期末,)偶函数 f(x)=x
2、(e x-ae-x)的图象在 x=1 处的切 线的斜率为( ) A.2e B.e C. D.e+ 4.(2019 广东佛山高三月考,)若曲线 y=e x在 x=0 处的切线也是 y=ln x+b 的 切线,则 b=( ) A.-1 B.1 C.2 D.e 5.(2019 福建泉州泉港一中高二期末,)设 aR,函数 f(x)=x 3-ax2+(a+3)x 的 导函数是 f(x),若 f(x)是偶函数,则曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为( ) A.y=-3x B.y=-2x C.y=3x D.y=2x 6.(2019 湖北黄冈高三月考,)已知圆 C:x 2+(y-1)2=R2与函数 y=2s
3、in x 的图象 有唯一交点,且交点的横坐标为 ,则 - - =( ) A.-2 B.2 C.-3 D.3 二、填空题 7.(2020 河北衡水中学高三期末,)已知函数 f(x)=ln x+x 2,则曲线 f(x)在点 (1, f(1)处的切线在 y 轴上的截距为 . 8.(2019 黑龙江哈尔滨阿城二中高二期中,)设曲线 y= - 在点(2,5)处的切线 与直线 ax+y-1=0 平行,则 a= . 9.(2019 贵州铜仁一中高二期末,)已知 f(x)= 若方程 f(x)=ax 恰有 2 个不同的实根,则实数 a 的取值范围为 . 三、解答题 10.(2019 陕西西安中学高二上期末,)已
4、知曲线 f(x)=x+ln x. (1)求曲线 f(x)在(e, f(e)处的切线方程; (2)若曲线 f(x)在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax 2+(a+2)x+1 相切,求实数 a 的值. 11.(2019 安徽定远重点中学高二上期末,)已知函数 f(x)=x 3-3x 及其图象上 一点 P(1,-2),过点 P 作直线 l. (1)求使直线 l 和曲线 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程; (2)求使直线 l 和曲线 y=f(x)相切且切点异于点 P 的直线方程. s 12.()已知函数 f(x)=ln x+ax. (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的图象在点 P(1,
5、 f(1)处的切线方程; (2)若函数 f(x)的图象存在与直线 2x-y=0 平行的切线,求实数 a 的取值范围. 答案全解全析答案全解全析 一、选择题 1.A 因为 f(x)=x 3-2x+1,所以 f(x)=3x2-2,则 f(1)=0, f(1)=1,因此,所求切线 方程为 y=x-1. 2.D 函数 f(x)=aln x+bx 2的导数为 f(x)= +2bx, 由题意可得,函数 f(x)的图象在点(1,1)处的切线的斜率为 f(1)=a+2b=0, 又 f(1)=aln 1+b=1,解得 b=1,a=-2, 所以 a+b=-1. 3.A 因为函数 f(x)为偶函数, 所以 f(-x
6、)=f(x), 即-x(e -x-aex)=x(ex-ae-x),解得 a=1, 故 f(x)=x(e x-e-x), 所以 f(x)=e x-e-x+(ex+e-x)x, 所以 f(1)=e 1-e-1+e1+e-1=2e, 故函数 f(x)=x(e x-ae-x)的图象在 x=1 处的切线的斜率为 2e. 故选 A. 4.C y=e x的导数为 y=ex, 曲线 y=e x在 x=0 处的切线的斜率为 k=e0=1, 则曲线 y=e x在 x=0 处的切线方程为 y-1=x,即 y=x+1. y=ln x+b 的导数为 y= , 设切点为(m,n),则 =1, 解得 m=1,则 n=2,
7、则有 2=ln 1+b,解得 b=2. 故选 C. 5.C f(x)=3x 2-2ax+a+3, 因为 f(x)是偶函数, 所以 f(-x)=f(x),即 3(-x) 2+2ax+a+3=3x2-2ax+a+3,解得 a=0, 所以 f(x)=x 3+3x, f(x)=3x2+3, 则 f(0)=3, 所以曲线 y=f(x)在原点处的切线方程为 y=3x. 6.B 根据题意,圆 C:x 2+(y-1)2=R2与函数 y=2sin x 的图象有唯一交点, 则圆 C 在交点处的切线与函数 y=2sin x 的图象在交点处的切线重合. 又交点的横坐标为 ,则交点的坐标为(,2sin ), 对于 y=
8、2sin x,其导数为 y=2cos x, 则有 y x=2cos , 则有 - - =- , 变形可得 =2cos (1-2sin )=2cos -4sin cos , 则 - - = ( - )- = - - =2.故选 B. 二、填空题 7.答案答案 -2 解析解析 由 f(x)=ln x+x 2,得 f(x)= +2x, 所以 f(1)=3, 又 f(1)=1,所以切点为(1,1), 所以切线方程为 y-1=3(x-1),即 y=3x-2, 令 x=0,得 y=-2,所以切线在 y 轴上的截距为-2. 8.答案答案 4 解析解析 由 y= - 得 y= - - - - =- - , 所
9、以 y x=2=-4, 又曲线 y= - 在点(2,5)处的切线与直线 ax+y-1=0 平行, 所以-a=-4,即 a=4. 9.答案答案 * ) 解析解析 问题等价于当直线 y=ax 与函数 y=f(x)的图象有 2 个交点时,求实数 a 的取 值范围.作出函数 y=f(x)的图象如图所示: 直线 y=ax 与曲线 y=ln x 相切时,设切点为(t,ln t),对函数 y=ln x 求导得 y= , 切线方程为 y-ln t= (x-t),即 y= x+ln t-1,则有 - 解得 由图象可知,当 a= 时,直线 y=ax 与函数 y=f(x)的图象在(-,1上没有公共点,在 (1,+)
10、上有一个公共点,不合乎题意; 当 a 时,直线 y=ax 与函数 y=f(x)的图象在(-,1上没有公共点,在(1,+)上 有两个公共点,合乎题意; 当 0a 时,直线 y=ax 与函数 y=f(x)的图象在(-,1上至多有 1 个公共点,在(1,+) 上没有公共点,不合乎题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是* ). 三、解答题 10.解析解析 由题可得 f(x)=1+ . (1)f(e)=e+1,k=f(e)=1+ , 所以曲线在点(e, f(e)处的切线方程为 y-(e+1)=( )(x-e),即 y=( )x. (2)函数 f(x)=x+ln x 在 x=1 处的导数为 f(1)=1
11、+1=2,所以切线方程为 l:y=2x-1, 曲线 y=ax 2+(a+2)x+1 的导数 y=2ax+a+2,因为 l 与该曲线相切, 所以 y=2ax+a+2=2,所以 x=- , 代入曲线方程可求得切点为 - ,- ,代入切线方程可求得 a=8. 11.解析解析 (1)由 f(x)=x 3-3x,得 f(x)=3x2-3, 过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线的斜率为 f(1)=0, 所求直线方程为 y=-2. (2)设切点坐标为(x0, -3x 0), 则直线 l 的斜率 k=f(x0)=3 -3, 直线 l 的方程为 y-( -3x 0)=(3 -3)(x-x0), 又直线 l
12、 过点 P(1,-2), -2-( -3x 0)=(3 -3)(1-x0), -3x 0+2=(3 -3)(x0-1), x0=- (x0=1 舍去), 故所求直线的斜率 k=3 -3=- , 于是直线方程为 y-(-2)=- (x-1), 即 y=- x+ . 12.解析解析 (1)当 a=1 时, f(x)=ln x+x, f(x)= +1, f(1)=1+1=2, 又 f(1)=1, 所求切线方程为 y-1=2(x-1), 即 2x-y-1=0. (2)由题可得函数 f(x)的定义域为(0,+). f(x)=ln x+ax, f(x)= +a. 函数 f(x)的图象存在与直线 2x-y=0 平行的切线, 方程 +a=2 有解,即 =2-a 有解, 即函数 y= (x0)的图象与直线 y=2-a 有公共点. y= 0, 2-a0,解得 a2. 当直线 2x-y=0 与函数 y=f(x)的图象相切时,设切点为(x0,2x0), 则有 解得 x0=e, 此时 a=2- ,不符合题意. 综上所述,a2 且 a2- . 实数 a 的取值范围是(- - )( - ).
