1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.1 变化率与导数变化率与导数 1.1.1 变化率问题变化率问题 1.1.2 导数的概念导数的概念 基础过关练基础过关练 题组一题组一 平均变化率平均变化率 1.(2019 北师大附中高二期中)函数 y=2x 在区间x0,x0+x上的平均变化率为 ( ) A.x0+x B.1+x C.2+x D.2 2.(2019 黑龙江哈尔滨三中高二月考)若函数 f(x)=x 2+x,则函数 f(x)从 x=-1 到 x=2 的平均变化率为( ) A.0 B.2 C.3 D.6 3.(2019 陕西黄陵中学高二期末)如图,函数 y=f(x)在 A,B 两点间的平均变
2、化率等 于( ) A.-1 B.1 C.-2 D.2 题组二题组二 瞬时变化率与导数瞬时变化率与导数 4.若函数 f(x)在 x0处可导,则 - 的结果( ) A.与 x0,h 均无关 B.仅与 x0有关,而与 h 无关 C.仅与 h 有关,而与 x0无关 D.与 x0,h 均有关 5.(2019 贵州铜仁一中高二期中)设函数 f(x)的导函数为 f(x),且 f(1)=3,则 - =( ) A.-1 B.-3 C.3 D.1 6.已知 f(x)= - ( - ) ,则 ( )- ( ) =( ) A.-2-ln 2 B.-2+ln 2 C.2-ln 2 D.2+ln 2 7.(2019 吉林
3、延边二中高二期末)设函数 f(x)在 x=1 处存在导数,则 - =( ) A. f(1) B.f(1) C.3f(1) D.f(3) 题组三题组三 平均速度与瞬时速度平均速度与瞬时速度 8.若质点运动满足 s(t)=t 2+3,则从 t=3 到 t=3.3 内,质点运动的平均速度为( ) A.6.3 B.36.3 C.3.3 D.9.3 9.若质点运动满足 s= gt 2,则时间(单位:s)在区间(3,3+t)内的平均速度等于 m/s.(g=10 m/s 2) 10.一物体的运动方程为 s=7t 2+8,则该物体在 t= 时的瞬时速度为 1. 11.一辆汽车运动的速度为 v(t)=t 2-2
4、,则该汽车在 t=3 时的加速度为 . 12.一个做直线运动的物体,其位移 s(单位:m)与时间 t(单位:s)的关系是 s(t)=3t-t 2. (1)求此物体的初速度; (2)求此物体在 t=2 s 时的瞬时速度; (3)求 t=0 s 到 t=2 s 时的平均速度. 题组四题组四 用定义求函数在某点处的导数用定义求函数在某点处的导数 13.若函数 f(x)=2x 2+4x 在 x=x 0处的导数是 8,则 x0= . 14.已知函数 f(x)=ax+4,若 f(1)=2,则 a= . 15.函数 y= 在 x=0 处的导数为 . 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.(2020 福建师大
5、附中高二期末,)设 f(x)是可导函数,且 - - =2, 则 f(x0)=( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 2.(2019 重庆高二月考,)已知函数 y=f(x)是可导函数,且 f(1)=2,则 - =( ) A. B.2 C.1 D.-1 3.(2019 黑龙江哈尔滨三中高二月考,)已知函数 f(x)在 x=x0处的导数为 k, 则 - - =( ) A.k B.-k C.3k D.-3k 二、填空题 4.(2019 陕西宝鸡高二期末,)设函数 f(x)可导,若 - =1,则 f(1)= . 5.(2019 广东广州高二期末,)若 f(1)=a,则 - = . 6.()如图是函数
6、 y=f(x)的图象. (1)函数 f(x)在区间-1,1上的平均变化率为 ; (2)函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为 . 三、解答题 7.()某一运动物体,在 x s 时离开出发点的距离(单位:m)是 f(x)= x 3+x2+2x. (1)求在第 1 s 内的平均速度; (2)求在 1 s 末的瞬时速度; (3)经过多长时间该物体的运动速度达到 14 m/s? 8.()求函数 y=sin x 在区间* +和* +上的平均变化率,并比较它们的大 小. 9.()在某赛车比赛中,赛车位移与比赛时间 t 存在函数关系 s(t)=10t+5t 2(s 的单位为 m,t 的单位为 s).求:
7、 (1)t=20 s,t=0.1 s 时的 s 与 ; (2)t=20 s 时的瞬时速度. 10.()若一物体运动方程如下: s= - 其中位移 s 的单位:m,时间 t 的单位:s.求: (1)物体在 t3,5内的平均速度; (2)物体的初速度; (3)物体在 t=1 时的瞬时速度. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练基础过关练 1.D 由题意,可得平均变化率为 - = - =2,故选 D. 2.B 函数 f(x)=x 2+x 从 x=-1 到 x=2 的增量为 y=f(2)-f(-1)=6,故平均变化率为 = - - =2,故选 B. 3.A 易知 f(1)=3, f(3)=1,因此平均
8、变化率为 - - =-1,故选 A. 4.B - =f(x0),故结果仅与 x0有关,而与 h 无关. 5.C - =f(1)=3,故选 C. 6.A ( )- ( ) =-f( )=- =-2-ln 2,故选 A. 7.A - = - = f(1). 8.A s(3)=12,s(3.3)=13.89,平均速度 = - - = =6.3,故选 A. 9.答案答案 (30+5t) 解析解析 s= g (3+t) 2- g 3 2= 10 6t+(t) 2=30t+5(t)2, 则 = =30+5t. 10.答案答案 解析解析 设该物体在 t0时的瞬时速度为 1,由题意可得 = - =7t+14t
9、0, 故 = (7t+14t 0)=14t0, 令 14t0=1,可得 t0= ,即在 t= 时的瞬时速度为 1. 11.答案答案 6 解析解析 = - - - =6+t, 故 = (6+t)=6,即该汽车在 t=3 时的加速度为 6. 12.解析解析 (1) - = - =3-t. 当 t 0 时, - 3, 所以此物体的初速度为 3 m/s. (2) - = - - - =-t-1. 当 t 0 时, - -1, 所以 t=2 s 时的瞬时速度为-1 m/s. (3) = - = - - =1(m/s). 13.答案答案 1 解析解析 根据导数的定义知, f(x0)= = - = - =
10、= (4x 0+2x+4) =4x0+4=8, 解得 x0=1. 14.答案答案 2 解析解析 y=f(1+x)-f(1)=a(1+x)+4-a-4=ax, =a, =a,f(1)=a=2. 15.答案答案 0 解析解析 y= - = - = , = , y x=0= = =0. 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.A - - = - - - =f(x0)=2. 2.C 由题意可得 - = - = f(1), 因为 f(1)=2, 所以 - = 2=1. 3.D 由题意,可得 - - = - - - - =-3 - - - =-3f(x0)=-3k,故选 D. 二、填空题 4.答案答案 3
11、解析解析 因为 - =1,所以 - =1,即 f(1)=1,故 f(1)=3. 5.答案答案 2a 解析解析 - =2 - =2f(1)=2a. 6.答案答案 (1) (2) 解析解析 (1)函数 f(x)在区间-1,1上的平均变化率为 - - - - = - = . (2)由题中函数 f(x)的图象知, f(x)= - 所以函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为 - - = - = . 三、解答题 7.解析解析 (1)物体在第 1 s 内的平均变化率(即平均速度)为 - - = m/s. (2) = - = - =6+3x+ (x) 2. 当 x 0 时, 6, 所以物体在 1 s 末的
12、瞬时速度为 6 m/s. (3)设物体在 x0 s 时的速度为 14 m/s, 则 = - = -( ) =2 +2x0+2+ (x) 2+2x 0 x+x. 当 x 0 时, 2 +2x0+2, 令 2 +2x0+2=14,解得 x0=2(负值舍去), 即经过 2 s 该物体的运动速度达到 14 m/s. 8.解析解析 y=sin x 在* +上的平均变化率为 - - = , 在* +上的平均变化率为 - - = - . 因为 2- - , 故函数 y=sin x 在* +上的平均变化率较大. 9.解析解析 (1)s=s(20+t)-s(20) =10 (20+0.1)+5 (20+0.1)
13、 2-10 20-5 202=21.05(m), = =210.5(m/s). (2) = = =5t+210, 当 t 0 时, 210, 即在 t=20 s 时的瞬时速度为 210 m/s. 10.解析解析 (1)物体在 t3,5内的时间变化量为 t=5-3=2, 物体在 t3,5内的位移变化量为 s=3 5 2+2-(3 32+2)=3 (52-32)=48, 物体在 t3,5内的平均速度为 = =24(m/s). (2)求物体的初速度,即求物体在 t=0 时的瞬时速度. 物体在 t=0 附近的平均变化率为 = - = - - - - =3t-18, 物体在 t=0 时的瞬时变化率为 = (3t-18)=-18,即物体的初速度为-18 m/s. (3)物体在 t=1 时的瞬时速度即为函数在 t=1 处的瞬时变化率. 物体在 t=1 附近的平均变化率为 = - = - - - - =3t-12, 物体在 t=1 时的瞬时变化率为 = (3t-12)=-12, 即物体在 t=1 时的瞬时速度为-12 m/s.
