1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 1.定义:推理是人们 思维 活动的过程,是根据一个或几个已知的判断来确定 一个新的判断的 思维 过程,其作用是从已知的知识中得到未知的知识,特别 是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识. 2.结构形式:从结构上来说,推理一般分为两部分,一部分是已知的事实(或假设),叫 做前提,另一部分是由已知判断推出的新的判断,叫做 结论 . 1 |推理的定义与结构形式 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 第第1讲讲 描述运动
2、的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 2 |归纳推理 1.定义:由某类事物的 部分对象 具有某些特征,推出该类事物的 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由 个别事实 概括出 一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 2.特征:归纳推理是由 部分到整体 、由 个别到一般 的推理. 1.定义:由两类对象具有某些 类似 特征和其中一类对象的某些 已知特征 ,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推 理(简称类比). 2.特征:类比推理是由 特殊到特殊 的推理. 3 |类比推理 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 4
3、 | 合情推理 1.定义:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过 观察 、 分析 、比较、联想,再进行 归纳 、 类比 ,然后提出 猜想 的推理, 我们把它们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理. 2.合情推理的过程 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 1.类比推理是由特殊到特殊的推理.( ) 2.类比推理得到的结论可以作为定理应用.( ) 3.归纳推理是由个别到一般的推理.( ) 4.合情推理得到的结论一定是可靠的.( ) 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” . 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念
4、 第二章第二章 推理与证明推理与证明 1 |归纳推理 归纳推理的四个特点 (1)前提:几个已知的特殊现象. (2)结论:归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包括的范围, 具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理的结 论不能作为数学证明的工具. (3)步骤:先搜集一定的事实资料,有了个别的、特殊性的事实作为前提,然后才能进 行归纳推理,因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行. (4)作用:归纳推理是具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新事实,获得新结 论,归纳推理是科学发现的重要手段. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第
5、二章 推理与证明推理与证明 归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 特别提醒 经过归纳推理、猜想得出的结论不一定正确,例如:由an=(n2-5n+5)2得到a1=a2=a3= a4=1,由此猜想an=1是错误的,事实上,a5=25. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 ()(1)发现问题 如图,ACB和DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连结BE.求 AEB的度数及线段AD、BE之间满足的数量关系. 图 图 (2)拓展探究 如图,ACB和DCE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,点A、D、E在 同一直线上,CM为DCE中D
6、E边上的高,连结BE.求AEB的度数及线段CM、 AE、BE之间满足的数量关系,并说明理由. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 (3)解决问题 如图,在正方形ABCD中,CD=,若点P满足PD=1,且BPD=90,请直接写出点A 到BP的距离. 图 2 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 解析解析 (1)ACB=DCE, ACD=BCE. 在ACD和BCE中, AC=BC,ACD=BCE,CD=CE, ACDBCE, AD=BE,CEB=ADC=180-CDE=120, AEB=CEB-CED
7、=60. (2)AEB=90;AE=2CM+BE. 理由:ACB和DCE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90, AC=BC,CD=CE, 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 ACD=ACB-DCB,BCE=DCE-DCB, ACD=BCE, ACDBCE, AD=BE,BEC=ADC=180-CDE=135, AEB=BEC-CED=135-45=90. 在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高, CM=DM=ME, DE=2CM, AE=DE+AD=2CM+BE. (3)或(提示:以D为圆心,1为半径作圆,过点B作D的两切线BP、B
8、P,过A 作AEBP,AFBP,利用三角形相似和勾股定理求出AE,AF即可). 3-1 2 31 2 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 跟踪训练跟踪训练1()如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按 如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点 (-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,以此类推,则点(22,23) 处的标签为( C ) A.2 109 B.2 107 C.2 207 D.2 209 第第1讲讲 描述运动的基本概
9、念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 解析解析 观察题中图象的点可得,点(1,0)处标1,即12; 点(2,1)处标9,即32; 点(3,2)处标25,即52, 由此推断,点(n+1,n)处标(2n+1)2, 当n=23时,点(24,23)处标2 209, 所以点(22,23)位于点(24,23)向左移动两格处,所以点(22,23)处标2 207,故选C. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 类比推理的特点 (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,它以 旧的认识为基础,类比出新的结果; (2)类比
10、是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; (3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它具有发现的功能. 2 |类比推理 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 ()很多平面图形都可以推广到空间中去,例如正三角形可以推广到正四面 体,圆可以推广到球,平行四边形可以推广到平行六面体,直角三角形也可以推广到 直角四面体(如果四面体A-BCD中棱AB,AC,AD两两垂直,那么称四面体A-BCD为直 角四面体).请类比直角三角形中的性质写出2个直角四面体中的性质,并给出证明. (请在结论13中选择1个,结论4、5中选择1个,写出它们在直角四面体中的类
11、似结 论,并给出证明,其中h表示三角形斜边上的高,r、R分别表示三角形内切圆与外接 圆的半径) 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 直角三角形ABC 直角四面体A-BCD 条件 ABAC ABAC,ABAD,ACAD 结论1 AB2+AC2=BC2 结论2 sin 2B+sin 2C=1 结论3 = + 结论4 + + = 结论5 (2R)2= (AB2+BC2+CA2) 2 1 h 2 1 AB 2 1 AC 1 AB 1 AC 1 h 1 r 1 2 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 解析
12、解析 记ABC、ABD、ACD、BCD的面积依次为S1、S2、S3、S, 平面BCD与AB、AC、AD所成角依次为、, 点A到平面BCD的距离为d,r、R分别表示四面体内切球与外接球的半径,内切球的 球心为O. 通过类比写出直角四面体的各结论如下表所示: 直角三角形ABC 直角四面体A-BCD 条件 ABAC ABAC,ABAD,ACAD 结论1 AB2+AC2=BC2 +=S2 结论2 sin2B+sin2C=1 sin2+sin2+sin2=1 结论3 = + = + + 结论4 + + = + + + = 结论5 (2R)2= (AB2+BC2+CA2) (2R)2=AB2+BC2+CA
13、2 2 1 S 2 2 S 2 3 S 2 1 h 2 1 AB 2 1 AC 2 1 d 2 1 AB 2 1 AC 2 1 AD 1 AB 1 AC 1 h 1 r 1 AB 1 AC 1 AD 1 d 1 r 1 2 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 证明:设AB=a,AC=b,AD=c, 如图,过A作AEBC,垂足为E,连结DE,过A作AHDE,垂足为H.易证DEBC,AH 平面BCD,则d=AH. 结论1:+=+= (a2b2+a2c2+b2c2), 在RtABC中,AE=, 在RtADE中,DE=, 2 1 S 2 2 S 2 3
14、 S 2 1 2 ab 2 1 2 ac 2 1 2 bc 1 4 AB AC BC 22 ab ab 22 ADAE 22 2 22 a b c ab 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 S2= (a2b2+a2c2+b2c2), +=S2. 结论2:d=AH=, sin =. 同理,sin =, sin =, sin2+sin2+sin2=1. 结论3:d=, 2 22 222 22 1 2 a b abc ab 1 4 2 1 S 2 2 S 2 3 S AD AE DE 22 22 2 22 ab c ab a b c ab 22222
15、2 abc a ba cb c d a 222222 bc a ba cb c 222222 ac a ba cb c 222222 ab a ba cb c 222222 222222 b ca ca b a ba cb c 222222 abc a ba cb c 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 =, 又+=+=, =+. 结论4:VD-ABC=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD, abc=ab r+ac r+bc r+ r, 从而=+=+,即=+. 结论5:将直角四面体A-BCD补形成以AB、AC、AD为同一顶点处
16、三条棱的长方体, 则长方体的体对角线即为直角四面体A-BCD的外接球的直径,即(2R)2=AB2+BC2+ CA2. 2 1 d 222222 222 a ba cb c a b c 2 1 AB 2 1 AC 2 1 AD 2 1 a 2 1 b 2 1 c 222222 222 b ca ca b a b c 2 1 d 2 1 AB 2 1 AC 2 1 AD 1 6 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 222222 a cb ca b 1 r ab abc ac abc bc abc 222222 a cb ca b abc 1 c 1 b 1 a 1 d 1 r 1 AB 1 AC 1 AD 1 d 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 跟踪训练跟踪训练2()在二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2r,二维测度(面积)S=r2; 在三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4r2,三维测度(体积)V=r3.应用合情推 理,若在四维空间中,“特级球”的三维测度V=12r3,则其四维测度W为( B ) A.4r4 B.3r4 C.2r4 D.r4 4 3 解析解析 由题知,二维空间中S=l,三维空间中V=S, 所以类比推理,猜想,四维空间中W=V, 因为V=12r3, 所以W=3r4,故选B.
