1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.函数y=f(x)在其定义域中的某个区间(a,b)内,如果 f(x)0,那么函数y=f(x)在这个 区间内 单调递增 ;如果 f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内 单调递减 .若 恒有 f(x)=0 ,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数. 2.一般地,如果一个函数在某一范围内 导数的绝对值较大 ,那么函数在这个 范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象 就“平缓”一些.
2、 |函数的单调性与导数的关系 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1函数的单调性与导数 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.函数f(x)在定义域上都有 f(x)0,则函数 f(x)在定义域上单调递减.( ) 提示:由f(x)=,可知f(x)=-0,但f(x)在定义域上不是单调函数,故错误. 2.函数f(x)在区间(a,b)上都有 f(x)0,则函数f(x)在(1,2)(3,4)上单调递增. ( ) 提示:函数的单调区间应分别写,不能用“”. 6.判断函数单调性时,在区间内的个别点 f(x)=0,不影响函数在此区间的单调性. ( )
3、1 x 2 1 x 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” . 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1 |利用导数处理含参函数的单调性 含参函数的单调性,主要以两种形式呈现,即判断单调性与求函数的单调区间 (含有参数),实质上这两种形式是一致的,只不过是换了一种说法. 利用导数处理含参函数的单调性常用的技巧,一般是根据导函数的特点,通过因 式分解的形式,对参数进行分类讨论,分层处理. 区间(a,b)内的可导函数y=f(x), f(x)0( f(x)0( f(x)0,则f(x)为R上的增函数. 利用导数求函数f(x)单调区间的步骤: 第第
4、1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x(aR). (1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值; (2)求f(x)的单调区间. 解析解析 (1) f(x)=ax-(2a+1)+(x0). 1 2 2 x 由题意知 f(1)=f(3), 即a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+, 解得a=. (2) f(x)=(x0). 2 3 2 3 (-1)( -2)axx x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 当a0时,x
5、0,ax-10;在区间(2,+)上, f(x)0. 故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+). 当0a2,在区间(0,2)和上, f(x)0;在区间上, f(x)时,00;在区间上, f(x)0). 当-2a0时, f(x)0, f(x)在(1,+)上单调递减. 当a-,则f(x)0;若1x0,所以f(x)在上单调递减,在 上单调递增. 当0a1时, f(x)1时,若xa,则f(x)0;若1x0,所以f(x)在(a,+)上单调递减,在(1,a)上 单调递增. 综上可知,当-2a1时, f(x)在(1,+)上单调递减;当a1时, f(x)在(a,+)上单调递减,在(1,a)
6、上单调递增. 2 a 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是 f(x)0( f(x)0)在(a,b)上恒 成立,且 f(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于0. 已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数范围的方法: (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则区间(a,b)是相应 单调区间的子集; (2)利用不等式恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,则 f (x)0( f(x)0)在 (a,b)内恒成立,注意验证等号是否成立. 2
7、 |已知函数的单调性求参数的取值范围 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()已知关于x的函数f(x)=x3-ax+b. (1)若函数f(x)在(1,+)内是增函数,求实数a的取值范围; (2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1,+),求实数a的值. 解析解析 f(x)=3x2-a. (1)若函数f(x)=x3-ax+b在(1,+)上是增函数,则 f(x)=3x2-a0在(1,+)上恒成立,即 a3x2在(1,+)上恒成立,则a(3x2)min. 因为x1,所以3x23, 所以a3,即a的取值范围是(-,3. (2)解法一:由题意可知,
8、 f(x)0在(1,+)上恒成立,且 f(1)=3-a=0,解得a=3,经验证,a =3满足条件,所以a=3. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 解法二:令 f(x)0,得x2. 若a0,则x2恒成立,即 f(x)0恒成立,此时,函数f(x)=x3-ax+b在R上是增函数,与 题意不符. 若a0,令 f(x)0,得x或x-,因为(1,+)是函数的一个单调递增区间,所以 3 a 3 a 3 a 3 a =1,即a=3. 导师点睛 解法一比较简捷,但需要验证,避免出错. 3 a 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章
9、导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练2()已知函数f(x)=-aln x在1,2上为单调函数,则a的取值范围为 . 2 2 x 答案答案 (-,14,+) 解析解析 由题意得f(x)=x-=. 若f(x)在1,2上单调递增,则f(x)0在1,2上恒成立,所以ax2,所以a1; 若f(x)在1,2上单调递减,则f(x)0在1,2上恒成立,所以ax2,所以a4. 综上,a的取值范围为(-,14,+). a x 2- x a x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 利用导函数的正负分析原函数图象的变化,遵循“符号为正,图象上升;符号为 负,
10、图象下降”.导函数图象在x轴上方或下方,确定导数的正或负.解决问题时,一定 要分清是原函数图象还是导函数图象. “导函数正负看(原函数)增减,绝对值大小定快慢.”一般地,如果一个函数在某 一范围内导数的绝对值较大,则函数变化就快,这时函数图象就比较“陡峭”;反 之,函数图象就比较“平缓”. 3 |导函数与原函数图象的关系 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 () f(x)是函数f(x)的导函数,y= f(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能 是( C ) 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应
11、用导数及其应用 解析解析 x(-,0)时导函数的图象在x轴的上方,表示在此区间上原函数的图象呈上 升趋势,可排除B、D两选项.x(0,1)时导函数的图象在x轴的下方,表示在此区间上 原函数的图象呈下降趋势,可排除A选项.故选C. 导师点睛 若将题目改为由y=f(x)的图象选取y=f(x)的图象,则操作方式正好相反,这时由原函 数图象的单调性可确定导函数图象与x轴的位置关系. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练3()若函数f(x)的图象如图所示,则导函数 f(x)的图象可能为( C ) 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动
12、的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 解析解析 由题中f(x)的图象可知,函数f(x)的单调递增区间为(1,4),单调递减区间为 (-,1)和(4,+),因此,当x(1,4)时, f(x)0,当x(-,1)或x(4,+)时, f(x)g(x),构造h(x)=f(x)-g(x),更一般地,若遇到 f(x)a(a0),即导函数大于 某个非零常数(若a=0,则无需构造),则可构造h(x)=f(x)-ax. (2)对于 f(x)+g(x)0,构造h(x)=f(x)+g(x). (3)对于 f(x)+f(x)0,构造h(x)=exf(x). (4)对于 f(x)-f(x)0,构造h(x)=
13、. ( ) ex f x 4 |构造函数,利用导数证明(解)不等式 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 (5)对于xf(x)+f(x)0,构造h(x)=xf(x). (6)对于xf(x)-f(x)0,构造h(x)=. (7)对于0,分类讨论:若f(x)0,则构造h(x)=ln f(x);若f(x)g(x)(x(a,b)移项,构造函数F(x)=f(x)-g(x),转化为证明 F(x)0的形式. (2)确定函数的单调性,若f(x)0,则F(x)在(a,b)上是增函数;若f(x)0,即f(x)g(x);若F(x)是减函数,且F(b)0,则当x(a
14、,b)时, f(x)-g(x)0,即 f(x) g(x). ( )f x x ( ) ( ) f x f x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()函数f(x)的定义域是R, f(0)=2,对任意的xR, f(x)+f(x)1,则不等式exf(x)ex +1的解集是( A ) A.x|x0 B.x|x0 C.x|x1 D.x|x-1或0x1,可得g(x)0, 所以g(x)为R上的增函数. 又g(0)=e0f(0)-e0-1=0, 所以x0时,g(x)g(0)=0,即exf(x)ex+1, 故exf(x)ex+1的解集为x|x0. 思路点拨
15、 由exf(x), f(x)+f(x)的结构特征构造函数求解. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练4()证明不等式sin xxtan x,其中x. 0, 2 证明证明 先证x时,sin xx, 设f(x)=sin x-x,x,则f(x)=cos x-10, 所以f(x)在上单调递减, 又f(0)=sin 0-0=0, 故当x时,f(x)f(0)=0, 即sin xx. 再证x时,x1,g(x)0, 所以g(x)在上单调递减, 又g(0)=0-tan 0=0, 故当x时,g(x)g(0)=0, 即xtan x. 综上,当x时,sin xxtan x. 2 1 cos x 0, 2 0, 2 0, 2
