1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 名称 内容 说明 切线 定义 对于割线PPn,当点Pn趋近于点P 时,割线PPn趋近于确定的位置, 这个确定位置的直线PT称为点 P处的 切线 当函数y=f(x)在某点处的导 数不存在时,在该点也可能 存在切线 几何 意义 函数 f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的 斜率k ,即k = = f(x0) x0 lim 00 f(xx)-f(x ) x 1 | 导数的几何意义 知识拓展:曲线y=f(x)在点P(x0, f(x
2、0)处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0). 1.1.3 导数的几何意义 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 对于函数y=f(x),当x=x0时, f(x0)是一个确定的数,当x变化时, f(x)便是x的一个函 数,我们称它为 f(x)的导函数(简称为导数),即 f(x)=y= . 说明: f(x0)是一个确定的数,而 f(x)是一个函数. 0 lim x ( )- ( ) f xx f x x 2 | 导函数 3 | 导函数的物理意义 名称 内容 速度 物体运动的速度v,可由可导位移函数s=s(t)对时间t求导得出,即v=
3、s(t) 加速度 物体运动的加速度a,可由可导速度函数v=v(t)对时间t求导得出,即a= v(t) 说明 物理学中,v,a是相对应函数对时间t的导数 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.直线与曲线相切,则直线与已知曲线只有一个公共点.( ) 提示:参照正弦曲线可知,直线与曲线相切时,交点可以有多个. 2.导函数 f(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同.( ) 提示:考察函数f(x)=,x0,+),而其导函数f(x)=,x(0,+),故结论错误. 3.常数函数f(x)=2 020没有导函数.( ) 提示:常数函数的导函数为0. 4.
4、曲线f(x)=x2在原点(0,0)处的切线方程为y=0.( ) 提示:曲线f(x)=x2在点(0,0)处的切线的斜率为k=f(0)=0,所以切线方程为y=0. 5.物体运动的加速度a,可以通过可导位移函数s=s(t)对时间t求导得出.( ) 提示:由s=s(t)对时间t求导得出v=s(t),再通过v(t)可以得出a=v(t). 1 2 x 1 2 x 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ”. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1 | 区别曲线在某点处的切线与过某点的切线 曲线f(x)在点P(x0, f(x0)处的切线方程 (1)点(x
5、0, f(x0)为切点; (2)切线的斜率k=f(x0); (3)切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0). 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 曲线f(x)过点P(x0, f(x0)的切线方程 (1)该点可能是切点,也可能不是切点; (2)如果点P不是切点,则切线可能不止一条,与切点个数有关; (3)求切线方程的一般步骤: 设出切点(x1, f(x1); 求出曲线y=f(x)在点(x1, f(x1)处的导数 f(x1); 写出切线方程:y-f(x1)=f(x1)(x-x1),将(x0, f(x0)代入,求得x1; 将x1代入切线方
6、程,化简得切线方程. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()已知曲线y=x3+. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程. 解析 (1)点P(2,4)在曲线y=x3+上,且y= = =x2, 在点P(2,4)处的切线的斜率为yx=2=22=4, 曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 1 3 4 3 1 3 4 3 0 lim x 33 14 14 ( )- 33 33 xxx x 0 lim x 223 1 ( )( ) 3 xxxxx x 0 lim x
7、 22 1 ( ) 3 xxxx 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 (2)设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,则切线的斜率为 y =, 切线方程为y-=(x-x0), 即y= x-+, 点P(2,4)在切线上, 4=2-+,即-3+4=0, +-4+4=0, 即(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, (x0+1)(x0-2)2=0, 解得x0=-1或x0=2(二重根), 故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0. 3 0 14 33 x 2 0 x 2 0 x 2 3 3 0 x 4 3 2 0 x 2
8、3 3 0 x 4 3 3 0 x 2 0 x 3 0 x 2 0 x 2 0 x 2 0 x 1 3 4 3 3 00 14 , 33 xx 0 x x 2 0 x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练1()求过点(-1,0)与曲线y=x2+x+1相切的直线方程. 解析解析 设切点为(x0,+x0+1), 则切线的斜率为 2 0 x k= =2x0+1. 又k=, 所以2x0+1=, 解得x0=0或x0=-2. 当x0=0时,切线的斜率k=1,过点(-1,0)的切线方程为y-0=x+1,即x-y+1=0. 当x0=-2时,
9、切线的斜率k=-3,过点(-1,0)的切线方程为y-0=-3(x+1),即3x+y+3=0. 综上,所求切线方程为x-y+1=0或3x+y+3=0. 0 lim x 22 0000 ( )( )1-(1) xxxxxx x 2 00 0 (1)-0 -(-1) xx x 2 00 0 1 1 xx x 2 00 0 1 1 xx x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 2 | 利用导数的几何意义解决相关问题 1.函数y=f(x)在x=x0处的导数 f(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0, f(x0)处的切 线的斜率. 2.不能以是
10、否与曲线只有一个公共点判断直线是不是切线. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()已知直线l:y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,求切点坐标及a的值. 解析解析 设直线l与曲线相切于点P(x0,y0),则y=3x2-4x. 由导数的几何意义,得k=y=3-4x0=4,解得x0=-或x0=2, 切点坐标为或(2,3). 当切点为时,有=4+a, a=. 0 lim x 3232 ( ) -2( )3-(-23) xxxxxx x 0 x x 2 0 x 2 3 2 49 -, 3 27 2 49 -, 3 27 49 27 2 -
11、3 121 27 当切点为(2,3)时,有3=42+a, a=-5. 因此切点坐标为或(2,3),a的值为或-5. 2 49 -, 3 27 121 27 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练2()已知曲线f(x)=x2-1在x=x0处的切线与曲线g(x)=1-x3在x=x0处的切 线互相平行,求x0的值. 解析解析 对于曲线f(x)=x2-1, k1=2x0. 对于曲线g(x)=1-x3, k2= =-3. 由题意得2x0=-3,解得x0=0或x0=-. 0 lim x 00 ( )- () f xx f x x 0 lim x 00 ( )- () g xx g x x 0 lim x 33 00 1-( ) -(1-) xxx x 2 0 x 2 0 x 2 3
