1、专题检测卷专题检测卷(一一) 三角函数与解三角形三角函数与解三角形 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(2020 广州一模)sin 80 cos 50 cos 140 sin 10 ( ) A. 3 2 B. 3 2 C.1 2 D.1 2 解析 sin 80 cos 50 cos 140 sin 10 sin 80 cos 50 sin 50 cos 80 sin 30 1 2.故选 D. 答案 D 2.(2020 长沙模拟)已知 为锐角，且 cos (1 3t
2、an 10 )1，则 的值为( ) A.20 B.40 C.50 D.70 解析 由 cos (1 3tan 10 )1， 可得 cos 3sin 10 cos 10 cos 10 1， 即 cos 2sin 40 cos 10 1. 所以 cos cos 10 2sin 40 sin 80 2sin 40 2sin 40 cos 40 2sin 40 cos 40 . 又 为锐角，故 40 .故选 B. 答案 B 3.(2020 重庆模拟)函数 f(x)sin x 2 cos xcos22x 的最小值为( ) A.2 B.1 C.0 D.1 2 解析 f(x)sin x 2 cos xcos
3、22xcos2xcos22xcos2x(2cos2x1)2 4cos4x3cos2x14 cos2x3 8 2 7 16.当 cos 2x1 时，f(x)取得最小值，f(x)min 2.故选 A. 答案 A 4.(2020 湘赣皖十五校联考)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a2c2bcos A，则角 B 的大小为( ) A.2 3 B. 3 C. 6 D.5 6 解析 法一 由正弦定理可得 sin A2sin C2sin Bcos A，即 sin A2sin (AB) 2sin Bcos A，所以 sin A(12cos B)0.因为 sin A0，所以 co
4、s B1 2.又 B(0， )，所以 B2 3 .故选 A. 法二 由余弦定理可得 b2c22bccos Aa2， 又 a2c2bcos A， 所以c 得 a2c2b2ac.又由余弦定理可得 cos Ba 2c2b2 2ac 1 2，B(0，)， 所以 B2 3 .故选 A. 答案 A 5.已知 0， 函数 f(x)sin x 4 在 2， 上单调递减， 则 的取值范围是( ) A. 1 2， 5 4 B. 1 2， 3 4 C. 0，1 2 D.(0，2 解析 由 2x 得， 2 4x 40)，若集合x(0， )|f(x)1含有 4 个元素，则实数 的取值范围是( ) A. 3 2， 5 2
5、 B. 3 2， 5 2 C. 7 2， 25 6 D. 7 2， 25 6 解析 函数 f(x)sin x 3cos x 2 1 2sin x 3 2 cos x 2sin x 3 (0). 由集合x(0，)|f(x)1含有 4 个元素， 得 2sin x 3 1，即 sin x 3 1 2，即 x 3 62k(kZ)或 x 3 7 6 2k(kZ)， 解得 x 6 2k (kZ)或 x 3 2 2k (kZ). 设直线 y1 与 yf(x)的图象在(0，)上从左到右的第 4 个交点为 A，第 5 个交点为 B， 则 xA 3 2 2 ， xB 6 4 .又直线 y1 与 yf(x)的图象在
6、(0， ) 上有且只有 4 个交点，则 xAxB，即 3 2 2 6 4 ，得 7 2 25 6 .故选 D. 答案 D 8.(2020 北京卷)2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日( Day).历史上，求圆 周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔 卡西的 方法是：当正整数 n 充分大时，计算单位圆的内接正 6n 边形的周长和外切正 6n 边形(各边均与圆相切的正 6n 边形)的周长，将它们的算术平均数作为 2 的近似 值.按照阿尔 卡西的方法， 的近似值的表达式是( ) A.3n sin 30 n tan 30 n B.6n sin 30 n tan
7、 30 n C.3n sin 60 n tan 60 n D.6n sin 60 n tan 60 n 解析 设单位圆的内接正 6n 边形的周长为 C1，外切正 6n 边形的周长为 C2，如 图(1)所示，sin 360 12n BC 1 ， BCsin 30 n ，AB2sin 30 n ，C112nsin30 n . 如图(2)所示，tan 360 12n BC 1 ， BCtan30 n ，AB2tan30 n ，C212ntan 30 n . 2C 1C2 2 6n sin 30 n tan30 n ， 3n sin 30 n tan30 n .故选 A. 答案 A 二、多项选择题：本
8、题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选 项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.(2020 泰安三校模拟)要得到 ycos 2x 的图象 C1，需将 ysin 2x 3 的图象 C2 怎样变化( ) A.将 ysin 2x 3 的图象 C2沿 x 轴方向向左平移 12个单位长度 B.将 ysin 2x 3 的图象 C2沿 x 轴方向向右平移11 12 个单位长度 C.先作图象 C2关于 x 轴的对称图象 C3，再将图象 C3沿 x 轴方向向右平移5 12个单 位长度 D.先作图象 C2关于 x 轴的对称图象 C3
9、，再将图象 C3沿 x 轴方向向左平移 12个单 位长度 解析 对于 A， 将 ysin 2x 3 的图象 C2沿 x 轴方向向左平移 12个单位长度，得 到 ysin 2 x 12 3 sin 2x 2 cos 2x 的图象 C1，正确；对于 B，将 y sin 2x 3 的图象 C2沿 x 轴方向向右平移 11 12 个单位长度，得到 y sin 2 x11 12 3 sin 2x3 2 cos 2x 的图象 C1，正确；对于 C，先作图象 C2 关于 x 轴对称的图象，得到 ysin 2x 3 的图象 C3，再将图象 C3沿 x 轴方向 向右平移5 12个单位长度，得到 ysin 2 x
10、5 12 3 sin 2x 2 cos 2x 的图 象 C1，正确；对于 D，先作图象 C2关于 x 轴对称的图象，得到 ysin 2x 3 的 图象 C3，再将图象 C3沿 x 轴方向向左平移 12个单位长度，得到 y sin 2 x 12 3 sin 2x 2 cos 2x 的图象，错误.故选 ABC. 答案 ABC 10.(2020 青岛崂山区模拟)已知函数 f(x)sin x sin x 3 1 4的定义域为m， n(m0)满足 f(x0)f(x01)1 2，且 f(x)在(x0，x01)上有最小值，无最大值.则( ) A.f x01 2 1 B.若 x00，则 f(x)sin 2x
11、6 C.f(x)的最小正周期为 3 D.f(x)在(0，2 022)上的零点的个数最少为 1 346 个 解析 因为 f(x0)f(x01)1 2，且 f(x)在(x0，x01)上有最小值，无最大值，所 以函数 f(x)在区间(x0，x01)的中点处取得最小值，即 f x01 2 1，所以 A 正 确；不妨令 x02k5 6，kZ，(x01)2k 6，kZ，两式相减得 2 3 ，所以 T2 3，B 错误，C 正确；因为 T3，所以函数 f(x)的图象在(0， 2 022)上恰好重复 674 次，当 f(0)0，即 k(kZ)时，f(x)在区间(0，2 022)上 的零点个数至少为 674211
12、 347(个)，D 错误.故选 AC. 答案 AC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.(2020 烟台诊断)已知 tan 2，则 cos 2 2 _. 解析 由题意，得 cos 2 2 sin 22sin cos 2sin cos cos2sin2 2tan 1tan2 22 122 4 5. 答案 4 5 14.(2020 广州一模)定义一种运算 a b c d adbc，将函数 f(x) 2 2sin x 3 cos x 的图 象向左平移 (0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是 _. 解析 f(x)2cos x2 3sin x4cos x
13、 3 ， 依题意 g(x)f(x)4cos x 3 是偶函数(其中 0). 3 k，kZ，则 min2 3. 答案 2 3 15.(2019 浙江卷)在ABC 中，ABC90 ，AB4，BC3，点 D 在线段 AC 上. 若BDC45 ，则 BD_，cosABD_.(本小题第一空 2 分， 第二空 3 分) 解析 如图，易知 sin C4 5，cos C 3 5. 在BDC 中，由正弦定理可得 BD sin C BC sin BDC， BDBC sin C sin BDC 34 5 2 2 12 2 5 . 由ABCABDCBD90 ， 可得 cos ABDcos(90 CBD)sin CBD
14、 sin(CBDC) sin(CBDC) sin C cos BDCcos C sin BDC 4 5 2 2 3 5 2 2 7 2 10 . 答案 12 2 5 7 2 10 16.(2020 新高考山东、海南卷)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的 截面如图所示.O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心， A 是圆弧 AB 与直线 AG 的 切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tan ODC3 5，BHDG，EF12 cm，DE2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距 离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部
15、分的面积为_ cm2. 解析 如图，连接 OA，过 A 作 APEF，分别交 EF，DG，OH 于点 P，Q，R. 由题意知 APEP7 cm， 又 DE2 cm，EF12 cm， 所以 AQQG5 cm，所以AHOAGQ 4. 因为 OAAH，所以AOH 4，所以AOB 3 4 . 设 ARx cm，则 ORx cm，RQ(5x) cm. 因为 tan ODC3 5，所以 tan ODC 5x 7x 3 5， 解得 x2，则 OA2 2 cm. 所以SS扇形AOBSAOHS小半圆1 2 3 4 (2 2)21 242 1 21 25 2 4 (cm2). 答案 5 2 4 四、解答题：本题共
16、 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 10 分)(2020 青岛模拟)在B 3 ， a2， bcos Aacos B 3 1 这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解决相应问题. 已知在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面 积为 S，若 4Sb2c2a2，b 6，且_，求ABC 的面积 S 的大小. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 因为 4Sb2c2a2，cos Ab 2c2a2 2bc ， S1 2bcsin A，所以 2bcsin A2bccos A. 显然 cos A0
17、，所以 tan A1. 又 A 0， 2 ，所以 A 4. 选择B 3. 由 a sin A b sin B，得 a bsin A sin B 2. 又 sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B 6 2 4 ， 所以 S1 2absin C 3 3 2 . 选择a2. 由 a sin A b sin B，得 sin B bsin A a 3 2 . 因为 B 0， 2 ，所以 cos B1 2. 又 sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B 6 2 4 ， 所以 S1 2absin C 3 3 2 . 选择bcos A
18、acos B 31. 由 b 6，A 4，得 acos B1，即 a a2c26 2ac 1. 所以 a262cc2.又 a26c22 6c 2 2 6c22 3c， 所以 62cc26c22 3c，解得 c 31(c0 舍去). 所以 S1 2bc sin A 3 3 2 . 18.(本小题满分 12 分)(2020 北京海淀区调研)已知函数 f(x)2sin(x) 1 0，| 2 ，函数 f(x)的图象上两相邻对称轴之间的距离为 2，_. (1)在函数 f(x)的图象的一条对称轴为直线 x 3，函数 f(x)的图象的一个对 称中心为点 5 12，1 ，函数 f(x)的图象经过点 5 6 ，
19、0 这三个条件中任选一个补充 至横线上，然后确定函数的解析式； (2)若动直线 xt， t0， 与函数 f(x)和函数 g(x)2 3sin xcos x 的图象分别交于 P，Q 两点，求线段 PQ 长度的最大值及此时 t 的值. (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 (1)函数 f(x)的图象上两相邻对称轴之间的距离为 2，得该函数的最小正周期 T 2 2， 2 T 2 2， 此时 f(x)2sin(2x)1. 若选函数 f(x)的图象的一条对称轴为直线 x 3，则 2 3 2k(kZ)， 得 7 6 k(kZ). | 2，当 k1 时， 6， 此时 f(x)2sin 2x
20、 6 1. 若选函数 f(x)的图象的一个对称中心为点 5 12，1 ， 则 5 6 k(kZ)， 得 k 5 6 (kZ). | 2，当 k1 时， 6， 此时 f(x)2sin 2x 6 1. 若选函数 f(x)的图象经过点 5 6 ，0 ， 则 f 5 6 2sin 5 3 10，得 sin 5 3 1 2. | 2， 7 6 5 3 13 6 ， 5 3 11 6 ，解得 6， 此时 f(x)2sin 2x 6 1. (2)由(1)可知，函数 f(x)的解析式为 f(x)2sin 2x 6 1. 令 h(x)f(x)g(x)2sin 2x 6 12 3sin xcos x2 3 2 s
21、in 2x1 2cos 2x 1 3sin 2xcos 2x10， |PQ|h(t)cos 2t1. t0，2t0，2， 当 2t0 或 2t2，即当 t0 或 t 时，线段 PQ 的长取到最大值 2. 19.(本小题满分 12 分)(2020 天津卷)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c.已知 a2 2，b5，c 13. (1)求角 C 的大小； (2)求 sin A 的值； (3)求 sin 2A 4 的值. 解 (1)在ABC 中， 由余弦定理及 a2 2， b5， c 13， 有 cos Ca 2b2c2 2ab 2 2 . 又因为 C(0，)，所以 C 4. (
22、2)在ABC 中， 由正弦定理及 C 4， a2 2， c 13， 可得 sin A asin C c 2 13 13 . (3)由 ac 及 sin A2 13 13 ， 可得 cos A 1sin2A3 13 13 ， 进而 sin 2A2sin Acos A12 13， cos 2A2cos2A1 5 13. 所以 sin 2A 4 sin 2Acos 4cos 2Asin 4 12 13 2 2 5 13 2 2 17 2 26 . 20.(本小题满分 12 分)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 4sin2AB 2 4sin Asin B2 2. (1)
23、求角 C 的大小； (2)已知 b4，ABC 的面积为 6，求边长 c 的值. 解 (1)由已知得 21cos(AB)4sin Asin B2 2， 化简得2cos Acos B2sin Asin B 2， 故 cos(AB) 2 2 . 所以 AB3 4 ，从而 C 4. (2)因为 SABC1 2absin C， 由 SABC6，b4，C 4，得 a3 2， 由余弦定理 c2a2b22abcos C，得 c 10. 21.(本小题满分 12 分)(2019 全国卷)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 asin AC 2 bsin A. (1)求 B； (2)
24、若ABC 为锐角三角形，且 c1，求ABC 面积的取值范围. 解 (1)由题设及正弦定理得 sin AsinAC 2 sin Bsin A. 因为 sin A0，所以 sinAC 2 sin B. 由 ABC180 ，可得 sinAC 2 cosB 2， 故 cosB 22sin B 2cos B 2. 因为 cosB 20，故 sin B 2 1 2，因此 B60 . (2)由题设及(1)知ABC 的面积 SABC1 2acsin B 3 4 a. 由(1)知 AC120 ， 由正弦定理得 acsin A sin C sin（120 C） sin C 3 2tan C 1 2. 由于ABC
25、为锐角三角形，故 0 A90 ，0 C90 . 结合 AC120 ，得 30 C90 ， 所以1 2a2，从而 3 8 SABC 3 2 . 因此，ABC 面积的取值范围是 3 8 ， 3 2 . 22.(本小题满分 12 分)在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 b cacos C 3asin C. (1)求 A； (2)若 a4，求ABC 面积的最大值. 解 (1)由条件及正弦定理得 sin Acos C 3sin Asin Csin Bsin C，因为 B (AC)， 所以 3sin Asin Ccos Asin Csin C， 又 sin C0，所以 3sin
26、Acos A1， 所以 sin A 6 1 2，又 0A，所以 A 3. (2)法一 由(1)得 BC2 3 ，从而 C2 3 B，0B2 3 ， 由正弦定理得 b sin B c sin C a sin A 4 sin 3 8 3， 所以 b 8 3sin B，c 8 3sin C. 所以 SABC1 2bcsin A 1 2 8 3sin B 8 3sin Csin 3 16 3 3 sin B sin 2 3 B 16 3 3 sin B 3 2 cos B1 2sin B 4sin 2B4 3 3 cos 2B4 3 3 . 8 3 3 sin 2B 6 4 3 3 . 因为 62B 6 7 6 ，所以当 2B 6 2， 即 B 3时，SABC 取得最大值，最大值为 4 3. 法二 由(1)知 A 3，又 a4， 由余弦定理得 16b2c22bccos 3， 即 b2c2bc16， 因为 b2c22bc，所以 2bcbc16， 即 bc16，当且仅当 bc4 时取等号. 所以 SABC1 2bcsin A 1 2 3 2 bc 3 4 164 3， 所以 SABC的最大值为 4 3.
