1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 名称 内容 说明 和差的 导数 f(x)g(x)= f(x)g(x) “”前后一致 积的 导数 f(x) g(x)= f(x)g(x)+f(x)g(x) g(x)=c cf(x)= cf(x) 商的 导数 = g(x)0 f(x) g(x) 2 f( ) ( )- ( ) ( ) g(x) x g x f x g x 1 |导数的运算法则 第2课时 导数的运算法则 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一
2、章 导数及其应用导数及其应用 2 |复合函数的概念及求导法则 1.复合函数的概念 一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称 这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作 y=f(g(x) . 2.复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx=yu ux ,即 y对x的导数等于 y对u的导数 与 u对x的导数 的乘积. 3.常见类型求导速算 (1)y=exf(x),y=ex f(x)+f(x); (2)y= ,y=; (3)(tan x)=cos-2x. ( ) ex f
3、x( )- ( ) ex f x f x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.已知函数f(x)=(x+1)(x+2),则 f(x)=2x+1.( ) 提示:因为f(x)=(x+1)(x+2)=x2+3x+2,所以f(x)=2x+3,故错误. 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” . 2.已知函数y=2ln x-2x,则y=-2xln 2.( ) 提示:y=(2ln x)-(2x)=-2xln 2,故正确. 3.已知函数y=3sin x+cos x,则y=3cos x+sin x.( ) 提示:由y=3sin x+cos x,知y=
4、(3sin x)+(cos x)=3cos x-sin x,故错误. 4.函数f(x)=xex的导数是 f(x)=ex(x+1).( ) 提示:f(x)=(xex)=(ex)x+exx=xex+ex=ex(x+1),故正确. 2 x 2 x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 5.若函数f(x)=,则 f(x)=.( ) 提示:f(x)=,故错误. 6.函数y=log3(x+1)是由y=log3t及t=x+1两个函数复合而成的.( ) 提示:根据复合函数的定义可知,函数y=log3t与t=x+1复合而成函数y=log3(x+1),故 正确.
5、 7.函数f(x)=ln(1-x)的导数是 f(x)=.( ) 2 ex x 3 e (2) x x x 22 4 (e )-e () xx xx x 2 4 e (-2 ) x xx x 3 e ( -2) x x x 1 1-x 提示:f(x)=(1-x)=- ,故错误. 1 1-x 1 1-x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1 |复合函数求导 复合函数求导,需要注意的两个方面 (1)正确区分所给函数是不是复合函数.基本初等函数中,如果用一个含有变量的式 子代替自变量,得到的新函数式一般是复合函数.例如y=ex中,用2x-1代替x
6、,得到新函 数u=e2x-1,则新函数是由指数函数与一次函数合成的复合函数. (2)若是复合函数,能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.这个问题与上面 互逆,需要准确把握幂函数、指数函数、对数函数,以及三角函数等基本初等函数 的概念. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 复合函数求导的步骤 导师点睛 确定复合函数关系的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外 及内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数,逐步确定复 合过程. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数
7、及其应用 ()求下列函数的导数. (1)y=e2x+1;(2)y=; (3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x. 3 1 (2 -1)x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 解析解析 (1)函数y=e2x+1可看作函数y=eu和u=2x+1的复合函数, yx=yu ux=(eu) (2x+1)=2eu=2e2x+1. (2)函数y=可看作函数y=和u=2x-1的复合函数, yx=yu ux=() (2x-1)=-6u-4=-6(2x-1)-4=-. (3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=
8、1-x的复合函数, yx=yu ux=(5log2u) (1-x)=. (4)函数y1=sin3x可看作函数y1=u3和u=sin x的复合函数,函数y2=sin 3x可看作函数y2= 3 1 (2 -1)x -3 u -3 u 4 6 (2 -1)x -5 ln2u 5 ( -1)ln2x sin v和v=3x的复合函数, yx=(u3) (sin x)+(sin v) (3x)=3u2 cos x+3cos v=3sin2xcos x+3cos 3x. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练1()求下列函数的导数. (1)
9、y=;(2)y=log2(2x+1); (3)y=ecos x+1;(4)y=sin2. 解析解析 (1)y=(1-2x2, 设y=,u=1-2x2, 则y=()(1-2x2)= (-4x)=-(1-2x2 (-4x) =2x(1-2x2. (2)设y=log2u,u=2x+1,则yx=yu ux=. (3)设y=eu,u=cos x+1, 2 1 1-2x 2 3 x 1 -2 ) 1 -2 u 1 -2 u 3 -2 1 - 2 u 1 2 3 -2 ) 3 -2 ) 2 ln2u 2 (21)ln2x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应
10、用 则yx=yu ux=eu (-sin x) =-ecos x+1sin x. (4)y=, 设t=cos,u=4x+, 则t=cos u, tuux=-4sin u=-4sin. 所以y=2sin. 2 1-cos 4 3 2 x 2 4 3 x 2 3 2 4 3 x 2 4 3 x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 2 |利用导数的运算解决综合问题 在数学中,导数的应用非常广泛,利用导数的运算解决综合问题,目前主要应用如下: (1)求在某点处的切线方程; (2)已知切线的方程或斜率求切点; (3)涉及切线问题的综合应用. 处理方法
11、 对函数进行求导,若切点已知,则求出切线的斜率、切线方程;若切点未知,则先设 出切点,用切点表示切线的斜率,再根据条件求出切点坐标.总之,在解决此类问题时 切点起着至关重要的作用. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4. (1)求曲线C在点(1,-4)处的切线方程; (2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他交点?若有,求出交点;若没有,说明理由. 解析解析 (1)y=12x3-6x2-18x, yx=1=-12, 即曲线C在点(1,-4)处的切线的斜率为-12, 所求切线方程为y+4=-12(x
12、-1), 即12x+y-8=0. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 (2)有其他交点. 切线方程与曲线C的方程联立得方程组 整理,得3x4-2x3-9x2+12x-4=0, x3(3x-2)-(3x-2)2=0, (x+2)(3x-2)(x-1)2=0, 解得x1=-2,x2=,x3=x4=1. 将x=-2代入切线方程12x+y-8=0,得y=32; 432 3-2-94, 12-80, yxxx xy 2 3 将x=代入切线方程12x+y-8=0,得y=0. 综上,除切点(1,-4)外,还有两个交点(-2,32)和. 2 3 2 ,0
13、3 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 易错警示 在(1)中,求曲线C在点(1,-4)处的切线方程是一条,如果改为求过点(1,-4)的切线方 程,可能有多条,需要注意.解题时应区别是“在某点”处还是“过某点”,前者可以 按照(1)的方法进行解决,如果是后者,则需要设出切点,求出切点后进行解决,至于 有几条切线,则需要看所求的切点个数. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练2()已知函数f(x)=ax2+bx+3(a0),其导函数为 f(x)=2x-8. (1)求a,b的值
14、; (2)设函数g(x)=exsin x+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 解析解析 (1)因为f(x)=ax2+bx+3(a0), 所以f(x)=2ax+b, 又f(x)=2x-8, 所以a=1,b=-8. (2)由(1)可知g(x)=exsin x+x2-8x+3, 所以g(x)=exsin x+excos x+2x-8, 所以g(0)=e0sin 0+e0cos 0+20-8=-7. 又g(0)=3, 所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0), 即7x+y-3=0.
