1、. 第一讲 因式分解 例 1：解：由多项式的乘法法则易得)()( 2 dcxbaxbdxbcadacx? 3（3）+217 ) 32)(13(376 2 ?xxxx 例 2：解： 原式)()( 2222 baxbax? )()()(baxbaxbaxbax? 例 3：解：原式) 3103()44(4 22 ?yyxyx ) 3)(13()44(4 2 ?yyxyx )3(2)13(2?yxyx )32)(132(?yxyx 点评：以上三例均是利用十字相乘来因式分解，其中例 3 中有 x、y，而我们将其整理 x 的二次三项式。故又称“主元法” 。 例 4：解：如果要分解的因式的形式是，唯一确定的
2、，那么可以考虑利用待定系数法 )3)(32(932 22 yxyxyxyx? 则可设)3)(32(20314932 22 nyxmyxyxyxyx?（m、n 待定） 原式mnynmxnmyxyx?)33()2(932 22 比较系数得 ? ? ? ? ? ? ? ? 20 333 142 mn nm nm 解得 m4，n5 3 2 1 -3 x2 (ab)2 x2 (ab)2 2x (3y1) 2x y3 . 原式)53)(432(?yxyx （2）在例 3 中利用了十字相乘法，请同学们用待定系数法解决。 例 5：解： （1） )61)(1() 1(6) 1)(1()66() 1(76 223
3、3 ?xxxxxxxxxxx )7)(1( 2 ?xxx 或)7)(1() 1(7) 1)(1()77()(76 233 ?xxxxxxxxxxxx 或 )7)(1( ) 1)(1(6) 1)(1(7)66()77(76 2 2333 ? ? xxx xxxxxxxxxxx 解： （2）1 5 ? xx) 1() 1() 1()( 232225 ?xxxxxxxx ) 1() 1)(1( 222 ?xxxxxx ) 1)(1( 232 ?xxxx 例 6：解：把1987576 23 ?xxx用含有13 2 ? xx的代数式表示 32 1990 339 198739 26 198757613 2
4、 2 23 232 ? ? ? ? ? x xx xx xx xxxxx 19901990) 13)(32(1987576 223 ?xxxxxx 课堂练习答案：课堂练习答案： 1、 （1）)()()()( 2222 yxyxyxyxyxyxzyx? （2）) 1)(1)(1)(1(?babababa （3）)42)(2)(14( 2 ?mmmm . 2、 （1）)22)(22( 22 ?xxxx （2）)8)(1( 2 ?xxx 3、 （1）) 1)(23(?yxyx （2）)23)(12(?yxyx 4、1 5、2? a b 第二讲 分式 例题解析答案： 例 1：解：原式 2 2 |)|1
5、 ( )1 ()1 ( x xx ? ? 当0?x且1?x时，原式x?1 当0?x且1?x时，原式 x x ? ? 1 )1 ( 2 例 2：解：观察各分母的特点知，式中第一、二项，第三、四项分别组合通分较容易 原式 44 22 44 2 2222 32 )()(ba ba ba b baba b baba a ? ? ? ? ? ? ? ? 0 11 )( 222244 22 2222 22 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? bababa ba baba ba 例 3：解：设a m n ?，b n m ?，则1?ab 原式 2)( 3 2 2233 22 ? ? ? ? ? ba ba
6、 baba ba ba abba baabba abba ? ? ? ? ?2 )(3 2 22 33 22 . 22 222 3 2 )( )( )( nm nm ba ba ba ba ba ba ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 4：解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规 律 cabacaba baca caba bc bcacaba cb ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11 )( )()( )( 2 因此不难看出，拆项后通分更容易 原式 )()()(bcac ba abcb ac caba cb ? ? ? ? ? ? ? ? )
7、( )()( )( )()( )( )()( bcac acbc abcb cbab caba baca ? ? ? ? ? ? ? ? acbcacabcbcaba? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2111111 例 5：解：1?abc， bc a 1 ?，将式中的 a 全换成 bc 1 原式 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?c bc c c bbc b bcbc b bc 1 111 1 ? ? ? ? ? ?bcb bc bcb b bcb 例 6：解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从 而将分式化成整式。 解：令k x zyx y
8、zyx z zyx ? ? ? ? ? ? ，则 ? ? ? ? ? ? ? ? kxzyx kyzyx kzzyx 由，得)(zyxkzyx? 当0?zyx时1?k . 即1? ? ? ? ? ? x zyx y zyx z zyx zyx2?，yzx2?，xzy2? 原式8 222 ? ? xyz yxz 为0?zyx时，zyx?，xzy?，yxz? 原式1? ? xyz xyz 课堂练习答案： 1、 5 12 ?x 2、5 3、 23 1 2 ?m 4、8 或1 5、1 6、0 第三讲 图形变换 例题解析答案 例 1：解： （1）将1 2 ? xy的图象沿 y 轴向下平移 2 个单位即得
9、1 2 ? xy的图象； （2）将1 2 ? xy的图象向右平移一个单位，再向上平移 2 个单位，即得 3) 1( 2 ? xy的图象； （3）将xy2?的图象向右平移 3 个单位即得 3 2 ? ? x y的图象； （4）将 x y 2 3?的图象向左平移 2 3 个单位即得 32 3 ? ? x y的图系。 例 2：解：由图象可知应选择 C 例 3：解：略 例 4：解：) 1( ?xfy的图象是)(xfy ?的图象向左平移一个单位得到的 . )(xfy ?的图象必过（4，2） ，则与)(xfy ?图象关于 x 轴对称的图象中过（4， 2） 。故选 B。 例 5：解：画出函数|34| 2 ?
10、xxy的象如右图 则可知： 当0?k时方程无解 当0?k时方程有两解 当10? k时方程有四解 当1?k的方程有三解 当1?k的方程有两解 故：当0?k时，方程有一解 当0?k或1?k时有两解 当1?k时有三解 当10? k时有四解 例 6：请同学们仿照例 5 的方法给出解答。 课堂练习答案： 1、D 2、D 3、略 4、01?x 5、C 第四讲 三角形的“五心” 例题解析答案 例 1：解：答案依次为： 1：1：1； cba 1 : 1 : 1 ； CBAc o s:c o s:c o s； CBAc o s 1 : c o s 1 : c o s 1 例 2：解：内心 例 3：解： 2 1
11、x y 0 -1 1 2 3 1 2 3 . 例 4：解：26 例 5：解：D 例 6：分析：设 AC 交 DE 于 G，可推出 G 为ABD 的重心，EGA90，故可求 出 EGA S?及 SABCD。 解：设 AC、BD 交于 G，连 BD 交 AC 于 O（如图） 由ABCD 知 BODO，OAOC 而 BEAE 故 G 为ABD 的重心 有4 3 1 ?EDEG，3 2 1 3 2 3 2 ?ACAOAG 而 EA5，故 222 AGEGEA?,EGA90， AEG S?6 1863? ?ABGADE S EG ED S 36182? ?ADEABD S AE AB S SABCD2
12、ABD S?72 课堂练习答案： 1、6.5， 3 1 4 2、2 3、 2 2 ? 4、72 5、A 6、略 第五讲 几何中的著名定理 例题解析答案： 例 1：证明：过点 D 作ACDE ?,ABDF ?垂足分别为 E、F 12 DEDF DFABS ABD ? ? 2 1 DEACS ACD ? ? 2 1 . AC AB DEAC DFAB S S ACD ABD ? ? ? ? ? ? 2 1 2 1 又 DC BD S S ACD ABD ? ? ? AC AB DC BD 证明 2：如图，过点 C 作 DA 的平行线交 BA 的延长线于点 E，由平行线分线段成比 例定理得 DC B
13、D AE AB 又12，23，14 34 ACAE DC BD AE AB 这就是三角形内角平分线定理 例 2：这是三角形外角平分线定理，请同学们仿照上 面的方法给予证明。 例 3：证明：过点 A 作BCAE ?，垂足为 E，则 122 BEAEAB?, 222 ECAEAC? )()()(22 222222222 DEBDDEBDDEADECBEAEACAB? 222222 2222DEBDDEADACAB? )(2 2222 BDADACAB? 这就是三角形中的中线长定理 例 4： 证明：此题的证明方法有很多，如过点 C 作 CG/AB 交 FD 于点 G， AF CG AE CE ? F
14、B CG DC BD FB AF AF CG DC BD FB AF FB CE DC BD ? A B D C E 4 1 2 3 A B C D 1 2 A B D E C A F B C E G D . 又 BD CD FB CG ? 1? FB AF EA CE DC BD 注：梅涅劳斯的逆定理：如果在ABC 的三边 BC，CA，AB 或其延长线上有点 D、 E、F 且1? FB AF AE CE DC BD ，则 D、E、F 三点共线。 例 5： CO BO NOCO NOBO S S NC BN ? ? ? ? 4 3 AO CO POAO COPO S S PA CP ? ? ?
15、 ? 6 5 1? PA CP NC BN MB AM 同样，塞瓦定理有逆定理，设 M、P、N 分别在ABC 的边 AB、BC、AC 上且满足 1? PA CP NC BN MB AM 则 AN、BP、CM 相交于一点。 课堂练习答案：略 第六讲 圆 例题讲解答案 例 1：证明：连 PQ、QB 内四边形 ABQP 内接于圆 QBARPQ 又SB 为切线，AB 为直径 ABSAQB90，故QBAQSB RPQQSB P、Q、S、R 四点共圆 例 2：解：在 AB 上截取 BEBC，连结 OC，OD，DE，CE。 A M B N C P 0 1 2 3 4 5 6 A D C O E B A B
16、Q S R P . BEC 2 1 （180B） ABCD 内接于圆， 180BADC BEC 2 1 ADC 又 DA，DC 为半圆切线， 2 1 ADCADOODC BECODC，即 C、E、O、D 四点共圆。 AEDOCD 2 1 BCD 2 1 （180A） ， ADE180AAED180A 2 1 （180A） 2 1 （180 A） ADEAED， ADAE ABAEBEADBC。 例 3：解答：连接 OB,OC,BC，则 OBAB,OCAC, A，B，O，C 四点共圆，BR/AQ， GBR=BAQ,而GBR=BCR, BAQ=BCR,即BAM=BCM,A,B,M，C 四点共圆，但
17、 A，B，C 三点确定 一个圆， A，B，C，O，M 五点共圆。 例 4：解： （1）连接 AB , 2 EADEBE? BE EA DE BE ? EF BDEABE，DBEBAD PA 切O 于点 A，EPAB A B G P C O M Q A P B D O E C . DBE+EBAD+PAB PADBDA，PDPA （2）PA 切O 于点 A，PCPBPA? 2 D 为 PC 中点，PC2PD，PDPA， PDPBPD2 2 ?,DP2PB， B 为 PD 中点，DC2BD， 2 22BDBDBDDCBDDEAD? 例 5：解答：连 PO 交 AB 于 H，设 DEx，则) 3(2
18、 2 ?xPCPEAP， 在 RtAPH 中， 222 PHAHAP? ) 3(2 22 ?xPHAH 在 RtPHD 中， 222 )2( ?xDHPH 由相交弦定理，知DCEDDBAD? 而 22 )()(DHAHDHAHDHAHDBAD? 1 22 ?xDHAH 由可知，) 3(2)2( 2 ?xxx， DE 2 317? ?x 课堂练习答案：略 第七讲 一次函数和一次不等式 A C D P O H E B . 【典例分析】 例 1 12 ?xy 例 2 B 例 3 7 例 4 2 1 ?k 例 5 解：由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 76 3 918 102 322 z y z x zyx zyx x+y+z=4 3 2 ?z， 又 由 x0，y0 得： 7 6 9?z 故当 z=-9 时，10 max ?T，当 7 6 ?z时， 7 32 min ?T 例 6
