1、. 4.二次函数二次函数 初中数学里，二次函数是重点内容，是（河南省）中考的压轴题，是热点；高中数学里， 二次函数是基础内容，相关知识要求熟练掌握这本没有什么毛病，但问题在于初高中数学 对二次函数的着力点不同：中考不要求记忆顶点坐标公式，不要求掌握两根式（解析式的一 种形式） ，不常求解二次函数在给定范围上的最值问题（绝不是重点） ，殃及的还有一元二次 方程的韦达定理 （不要求记忆） 而这些在高中老师眼里统统都是常识， 必须熟练， 熟练， 再熟练！二次函数虽是中考压轴题，但也只是一个载体（仅提供点的坐标关系） ，在此基础 上讨论几何图形的相关问题，最终还是几何，二次函数也就是个空壳儿 4.1
2、基本知识，基本公式，基本基本知识，基本公式，基本方法方法 在学习高中数学之前，有必要复习关于二次函数的基本知识、基本公式和基本方法必 修 1 里常将其他函数（根式函数，指数函数，对数函数等）与二次函数复合，求解值域，判 断单调性、奇偶性等，最终均又回到二次函数的相关问题，所以二次函数是基本功 1.基本知识基本知识 二次函数 2 ()0yaxbxc a?的图象是抛物线，对称轴为直线 2 b x a ? ?，顶点坐标 为 2 4 , 24 bacb aa ? ? ? ? ，a的符号决定开口方向当判别式 2 40bac? ?时，函数图象与 x轴有两个不同的交点,0 2 b a ? ? ? ? ? ?
3、 ；当 2 40bac? ?时，函数图象与x轴相切于点 ,0 2 b a ? ? ? ? 函数图象与y轴总交于点(0, )c 2.基本公式基本公式 形如 2 yaxbxc?（a，b，c是常数，0a ?）的函数叫做x的二次函数这表明 所有二次函数的解析式都可写成 2 yaxbxc?的形式，故称其为一般式我们可对它做 如下变形： 22 222 22 bbbb a xxca xxca aaa yaxbx a c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 4 24 bacb a x aa ? ? ? ? ， 这个变形叫做配方记 2 b h a ? ?， 2 4 4 acb k a ? ?
4、，则上式即 ? 2 ya xhk?， 其中?, h k就是二次函数图象的顶点，故这种形式的解析式称为顶点式由顶点式发现，二 . 次函数? 2 ya xhk?的图象可由 2 yax?的图象平移得到（h决定图象的左右平移，k 决定图象的上下平移） ，故它们的图象只是位置不同而已（形状、大小完全相同） 在 顶 点 式 中 ，令 2 2 4 0 24 bacb ya x aa ? ? ? ? ， 得 2 2 2 4 24 bbac x aa ? ? ? ? ， 当 2 40bac? ?时，得 2 4 22 bbac x aa ? ? ?，则 2 1 4 2 bbac x a ? ? ?， 2 2 4
5、2 bbac x a ? ? ?， 这就是一元二次方程的求根公式，而且 22 12 44 22 bbacbbacb xx aaa ? ? ? ? ?， ? 22 22 12 2 4 44 224 bbac bbacbbacc x x aaaa ? ? ? ? ?， 这就是一元二次方程的韦达定理（根与系数的关系） 进一步有 ? 222 121212 bc yaxbxca xxa xxxxx xa xxxx aa ? ? ? ? ? ， 这也是二次函数解析式的一种形式，称为两根式 从两根式里我们清楚地看到（当 2 40bac? ?时）二次函数的图象与 x 轴交于两点 ? 1,0 x和? 2,0 x
6、，它们之间的距离 222 12 444 22 bbacbbacbac xx aaaa ? ? ? ?， 或者 ? 2 2 22 12121212 44 4 bcbac xxxxxxx x aaa ? ? ? ? 3.基本方法基本方法 上面的推导过程用到了配方法、 十字相乘法和一些乘法公式， 其中配方配方是一种很重要的 代数变形手段，1.1 节就已领略到了高中，将圆的一般方程化为标准方程时需要配方，不 等式的证明有时也要配方 课堂例题课堂例题 例例 1 若二次函数 2 253yxx?与x轴交于点? 1,0 x，? 2,0 x，求下列代数式的值： （1） 12 xx?； （2） 22 12 11
7、xx ?； （3） 33 12 xx? . 解解：由题意知， 12 ,x x是方程 2 2530xx? ?的两根，则 12 5 2 xx? ?， 12 3 2 x x ? ? （1）? 2 22 12121212 537 44 222 xxxxxxx x ? ? ? ? ? ? ； （2） ? ? 2 2 22 1212 12 222222 1212 12 53 2 21137 22 9 3 2 xxx xxx xxx x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ； （3）? ? ? 2 3322 121211 2212121 2 3xxxxxx xxxxxxx x ? ? ?
8、 2 553215 3 2228 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 注： 此题中二次函数只是一件外衣， 实际考察了韦达定理、 完全平方公式、 立方和公式， 但由二次函数与 x 轴的交点到一元二次方程的根需要转化，这体现了函数与方程的思想 例例 2 已知二次函数的图象经过点?1, 22? ?，?0, 8?，?2,8，求二次函数的解析式 解解：设二次函数的解析式为? 2 0yaxbxc a?，将点?1, 22? ?，?0, 8?，?2,8 代入得 22 8 842 abc c abc ? ? ? ? ? ? ? ，解得 2 12 8 a b c ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，
9、所以二次函数的解析式为 2 2128yxx? 注：此题所用的方法称为待定系数法，当已知函数类型求函数解析式时运用在必修 1 求函数解析式时会再次用到，只是那时的条件更加抽象 例例 3 求证：不论 a 取什么实数，二次函数 2 2yxaxa? ?的图象都与 x 轴相交于 两个不同的点，并求出这两点间距离最小时的二次函数的解析式 证明证明： 判别式? 2 22 4248240aaaaa? ?， 所以二次函数的图象 与 x 轴总相交于两个不同的点，它们之间的距离为? 2 24a? ?，当2a ?时取最小 值42?，此时二次函数的解析式为 2 2yxx? 注：同学们做题时不要把公式 12 xx a ?
10、 ?中的a与此题的a混淆了 例例 4 当0x ?时，求式子 1 yx x ?的最小值 解解：当0x ?时，配方得 ? 22 2 2 111 2yxxx xxx ? ? ? ? ? ? ， . 当 1 0x x ?即 1 x x ?，1x ?时取等号，故y的最小值为 2 注：此题中的函数 1 yx x ?称为双钩函数，因其图象是两个对勾这里先用配方法求 得双钩函数（当0x ?时）的最小值，至于图象、单调性、奇偶性等问题就留到必修 1 里讲 解另外，此题的配方有一定难度把正数x看作它的算术平方根x的平方，这样的技 巧在高中数学必修 5 里可用来推导基本不等式：对于任意的正数, a b，有 ? 22
11、2 22ababababab?， 当ab?即ab?时取等号所以此题也可用基本不等式直接求解 因为0x ?， 1 0 x ?，所以 11 22xx xx ?，当 1 x x ?即1x ?时取得 例例 5 已知某二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，你能判断当自变量x等于 2 21aa?和 2 223aa?时，哪个（函数值）y更大吗？ 解解：配方得 2 22 1717 21220 216848 a aaaa ? ? ? ? ? ， 2 22 1515 223220 4222 aaaaa ? ? ? ? ? 由题意知， 该二次函数的图象在y轴右侧是上升的， 即y随着自变量x的增大而增大 所 以要比较
12、哪个y更大，只需比较 2 21aa?与 2 223aa?的大小作差得 ? 22 2 21223323 3 aaaaaa ? ? ? ? ? ， 分类讨论如下： 当 2 3 a ?时， 22 21223aaaa? ?，故x 2 21aa?时y更大； 当 2 3 a ?时， 22 21223aaaa? ?，故两个y一样大； 当 2 3 a ?时， 22 21223aaaa? ?，故x 2 223aa?时y更大 注：此题改编自一道高中题“已知? ?f x是 R 上的偶函数，且在区间?,0?上单调递 增，若? 22 21223faafaa?，求a的取值范围” ，把抽象的? ?f x换为熟悉的 . 二次
13、函数，把单调递增说成是y随x的增大而增大（这就是初中的说法） ，把确定的不等式 改为不确定的大小比较，考察了分类讨论思想的运用 课后作业课后作业 1.已知二次函数的图象经过点?1,0，?0, 1?，?2,5，求二次函数的解析式 2.二次函数 2 yaxbxc?当1x ?时取得最大值 3，它的图象在x轴上截得的线段长 为 4，求该二次函数的解析式 3.把二次函数 2 yxbxc?的图象向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函 数 2 yx?的图象，求bc的值 注：在分式型函数的图象一节已提及图象的平移变换，这里当作复习 4.请画出函数 2 1yx?的图象 注：此题涉及分段函数、图象的翻折变换，也可放在绝对值型函数的图象一节 5.试说明不论, x y取什么实数，多项式 22 223xyxy?的值总是正数 6.当0x ?时，求式子 1 yx x ?的最大值 7.已知一次函数?0ykxb k?，你能判断当自变量x等于a和 2 1a ?时，哪个y更 大吗？ 8.已知某二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，你能判断当自变量x等于1和 2 23aa?时，哪个（函数值）y更大吗？
