1、. 分分 解解 因因 式式 因式分解的主要方法有： 提取公因式法、 公式法、 分组分解法、 十字相乘法， 另外还应了解求根法。 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22 ()()ab abab?； （2）完全平方公式 222 ()2abaa bb? 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 2233 () ()abaa bbab?； （2）立方差公式 2233 () ()abaa bbab?； （3）三数和平方公式 2222 ()2 ()abcabca bb ca c?； （4）两数和立方公式 33223 ()33abaa ba bb?； （5）两数差
2、立方公式 33223 ()33abaa ba bb? 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 说明：前面有*的供选用 1提取公因式法与分组分解法、公式法 例 1 分解因式： （1）2（yx）2+3（xy） （2）mn（mn）m（nm）2 22 22 3223 2 92 4424 5 6 ()(1) xyxy aabbab xx yxyy ab aabb ? ? ? ? （3） （4） （ ） （ ） 2十字相乘法 例 2 分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3） 22 ()xab xyaby?； （4）1xyxy? ? 解： （1）如图 121，将二次项 x2分解
3、成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有 x23x2(x1)(x2) 1 2 x x 图 121 1 2 1 1 图 122 2 6 1 1 图 123 ay by x x 图 124 . 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 121 中的 两个 x 用 1 来表示（如图 122 所示） （2）由图 123，得 x24x12(x2)(x6) （3）由图 124，得 22 ()xab xyaby?()()xay xby? （4）1xyxy? ?xy(xy)1 (x1) (y+1
4、) （如图 125 所示） * *例例 3 3 因式分解： （双十字相乘法） 22 22 2 (1)282143 (2)534 (3)2 xxyyxy xyxy xyyxy ? ? ? 3关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解 （求根法） 若关于若关于 x 的方程的方程 2 0(0)axbxca?的两个实数根是的两个实数根是 1 x、 2 x，则二次三项式，则二次三项式 2 (0)axbxc a?就可分解为就可分解为 12 ()()a xxxx?. 例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1） 2 21xx?； （2） 22 44xxyy? 解： （1）令 2 2
5、1xx?=0，则解得 1 12x ? ?， 2 12x ? ?， 2 21xx?=( 12)( 12)xx ? ? ? ? ? ? ? =(12)(12)xx? ? ? （2）令 22 44xxyy?=0，则解得 1 ( 22 2)xy? ? ?， 1 ( 2 2 2)xy? ? ?， 22 44xxyy?=2(12) 2(12) xy xy? 1 1 x y 图 125 . 练 习 1选择题： （1）多项式 22 215xxyy?的一个因式为 （ ） （A）25xy? （B）3xy? （C）3xy? （D）5xy? （2）若 2 1 2 xmxk?是一个完全平方式，则k等于 （ ） （A）
6、2 m （B） 2 1 4 m （C） 2 1 3 m （D） 2 1 16 m （3）不论a，b为何实数， 22 248abab?的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数 2填空： （1） 22 1111 () 9423 abba?（ ） ； （2）(4m? 22 )164(mm? )； (3 ) 2222 (2)4(abcabc? ) 3分解因式： （1）5（xy）3+10（yx）2 ? 2 2 22 2cababc?（ ） ? 422 2 3 2x xyxxyxy yx?（ ） 4 432 2 a a?（ ） （5）8a3b3； （6）x26x8； （7）4(1)(2 )xyy yx? （8） 42 4139xx?； . ? 4224 2 22 9 20337 10510596 aa bb xxxx ? ? （ ） （ ） *（11） 22 35294xxyyxy? ? *（12） 22 2456xxyyxy? 4在实数范围内因式分解： （1） 2 53xx? ； （2） 2 2 23xx?； （3） 22 34xxyy?； （4） 222 (2 )7(2 ) 12xxxx? 5分解因式：x2x(a2a)
