1、知识点五知识点五 用十字相乘法进行因式分解用十字相乘法进行因式分解 1.二次三项式二次三项式 多项式 ax2+bx+c，称为关于 x 的二次三项式，其中 ax2为二次项，bx 为一次项，c 为常 数项.例如， x22x3 和 x2+5x+6 都是关于 x 的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的 因式分解的方法. 提醒提醒(1)在多项式 x26xy+8y2中，如果把 y 看作常数，就是关于 x 的二次三项式，如果 把 x 看做常数，就是关于 y 的二次三项式； (2)在多项式 2a2b27ab+3 中，把 ab 看作一个整体，即 2(ab)27(ab)+3，就是关于 ab 的 二次三项式.
2、同样，多项式(x+y)27(x+y)+12，把 x+y 看作一个整体，就是关于 x+y 的二次三 项式. 2.十字相乘法十字相乘法 借助十字线分解二次三项式ax2+bx+c的系数和常数项， 十字左边相乘等于二次项系数， 右边相乘等于常数项，交叉相乘后相加等于一次项系数，再写成两个二项式积的形式，这种 分解因式的方法叫做十字相乘法.利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式 乘法法则.它的一般规律是： (1)对于二次项系数为 1 的二次三项式 x2+px+q， 如果能把常数项 q 分解成两个因数 a、 b 的积，并且 a+b 为一次项系数 p，那么它就可以运用公式 x2+(
3、a+b)2+ab=(x+a)(x+b)分解因式. 这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”.公式中的 x 可以表示单项式，也可以表示 多项式.当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符 号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号 与一次项系数的符号相同. (2)对于二次项系数不为 1 的二次三项式 ax2+bx+c，如果存在 4 个整数 a1，a2，c1，c2， 使 a1a2=a，c1c2=c，且 a1c2+a2c1=b，那么 ax2+bx+c=a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2=(a1x+c1)(a2x+c2).
4、 它的特征是“拆两头，凑中间” ，这里要确定 4 个常数，分析和尝试都比二次项系数 1 的情况复杂.因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定.学习时要注意符号的规律. 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项 为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时， 应将它分解为两异号因数， 使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相 同. 提醒提醒(1)用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验 证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母，如 5 x2+6x
5、y8y2=(x+2)(5x4)； (2)十字相乘法实质是二项式乘法的逆过程，注意各项系数的符号. 知识点六知识点六 用分组分解法进行因式分解用分组分解法进行因式分解 通过对多项式进行适当的分组，使其符合提公因式法或公式法的结构形式后进行分解， 这种分解因式的方法叫做分组分解法，如 ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y). 提醒提醒(1)分组分解法主要应用于四项及以上的多项式的因式分解； (2)四项式一般分为 “2+2” 式或 “3+1” 式， 后者通常得到(a b)2c2或 c2(a b)2的形式， 再用平方差公式分解；五项式一般采用“3+2”式；六项式一般采用“3+3”式或“3+2+1” 式或“2+2+2”式； (3)如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，统筹思考，通过 适当练习，总结规律，掌握分组的技巧.
