1、第一部分第一部分 系统复习系统复习 第二十四讲 相似图形2 k2 一、相似图形的性质 1已知两个相似三角形的相似比为k，则对应高的 比为k，对应中线的比为k，对应角平分线的比为k，周 长的比为_，面积的比为_ 2相似多边形的周长比等于_，相似多边形 的面积比等于相似比的_ 知识回顾 k 平方 相似比 二、位似图形的有关概念 1定义：如果两个图形不仅形状相同，而且每组对应顶点 所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫作 _，这个点叫作_，这时的相似比又称为 _ 位似图形的位置有两种形式： 两个位似图形的位置可以在位似中心的同侧，也可以在位 似中心的异侧(位似图形是位置特殊的相似图形，具有相
2、似图 形的所有性质) 2性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的_ 之比等于位似 位似图形 知识回顾 位似中心 位似比 距离 课堂精讲 考点1 相似三角形的性质 例1 (2019 常州)若ABCABC，相似比为12，则 ABC与ABC的周长的比为( ) A21 B12 C41 D14 【答案】B (2)(2019 锦江区二模)两个相似三角形的最短边分别为4 cm 和2 cm，它们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长 为( ) A18 cm B24 cm C28 cm D30 cm 【答案】B 课堂精讲 考点2 相似多边形的性质及运用 例2 (1)下列多边形一定相似的是( ) A两个平
3、行四边形 B两个菱形 C两个矩形 D两个正方形 【分析】根据多边形相似的定义“对应角相等，对应边成比例的 两个多边形相似”；除三角形相似可以单独用对应角相等或者对应 边成比例来判定相似之外，边数大于三的多边形都必须同时用角和 边的条件共同判定相似，因为多边形不具有三角形一样的稳定性 【答案】D (2)如果两个相似多边形面积的比为15，则它们的相似比为( ) A125 B15 C12.5 D1 【答案】D 课堂精讲 例3 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC120 mm，高AD 80 mm，把它加工成正方形零件，如图1，使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点分别在AB，AC上 (1)求证：A
4、EFABC； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件，如图2，当EG宽为多少时，矩形有最 大面积？最大面积是多少？ 【分析】此题是相似和四边形综合题，主要考查了正方形的性质， 矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出 AEFABC. 课堂精讲 【解】(1)证明：EGHF是正方形，EFBC. AEFABC. (2)设 EGEFx， AEFABC， EF BC AK AD. x 120 80 x 80 ，解得 x48. 正方形零件的边长为 48 mm (3)设 EGa，EGHF 为矩形，EFBC. AEFABC. EF BC AK AD. EF 120 80a
5、 80 .EF1203 2a. 矩形面积 Sa 1203 2a 3 2a 2120a3 2(a40) 22400. 当 a40 时，矩形面积最大，最大面积是 2400 mm2. 即当 EG40 mm 时，矩形面积最大，最大面积是 2400 mm2. 课堂精讲 考点3 图形的位似 例4 (1)(2019 百色)如图，ABC与ABC是以坐标原点O为位 似中心的位似图形，若点A(2，2)，B(3，4)，C(6，1)，B(6，8)，则 ABC的面积为_ 【答案】18 (2)(2019 滨州)在平面直角坐标系中，ABO 三个顶点的坐标 分别为 A(2，4)，B(4，0)，O(0，0)以原点 O 为位似中
6、心，把 这个三角形缩小为原来的1 2，得到CDO，则点 A 的对应点 C 的坐 标是_ 课堂精讲 【答案】(1，2)或(1，2) 课堂精讲 例 5 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分 别是 A(2，2)，B(4，0)，C(4，4) (1)请画出ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的A1B1C1； (2)以点 O 为位似中心，将ABC 缩小为原来的1 2，得到A2B2C2， 请在 y 轴右侧画出A2B2C2，并求出A2C2B2的正弦值 课堂精讲 【分析】(1)将A，B，C三点分别向左平移6个单位，再顺次连 接三点，即可得到A1B1C1；(2)连接OA，OC，分别取OA，OB
7、， OC的中点即可画出A2B2C2，把ACB放在直角三角形中，即可 求出A2C2B2的正弦值 【解】(1)如图所示 (2)A2B2C2如图所示 延长CB，过点A作CB延长线的垂线， 垂足为D.由图示和题意，可知点D坐标为 (4，2)，AD2，DC6， ACAD2DC22 10. sinACDAD AC 2 2 10 10 10 . sinA2C2B2sinACD 10 10 . 课堂精练 考点4 相似三角形判定与性质的综合运用 例6 (1)如图1，已知ACBDCE90，ACBC4，CECD， AE2，CAE45，求AD的长； (2)如图2，已知ACBDCE90，ABCDECCAE 30，AC2
8、，AE4，求AD的长 课堂精练 【分析】 (1)连接 BE， 证明ACDBCE， 得到 ADBE； 在 RtBAE 中，AB4 2，AE2，求出 BE，得到答案；(2)连 接 BE，证明ACDBCE，得到AD BE AC BC 3 3 ，求出 BE 的 长，得到 AD 的长 课堂精练 【解】(1)如图 1，连接 BE. ACBDCE90 ， ACBACEDCEACE，即BCEACD. 在ACD 和BCE 中， ACBC， ACDBCE， DCEC， ACDBCE.ADBE. ACBC4，AB4 2. BACCAE45 ，BAE90 . 在 RtBAE 中，AB4 2，AE2， BEAB2AE2
9、6.AD6. 课堂精练 (2)如图 2，连接 BE. 在 RtACB 中，ABCCED30 ，tan 30 AC BC CD CE 3 3 . ACBDCE90 ，BCEACD. 在ACD 和BCE 中，AC BC CD CE，ACDBCE， ACDBCE.AD BE AC BC 3 3 . BAC60 ，CAE30 ，BAE90 . 又 AB2AC4，AE4 3， BE AB2AE28.AD 3 3 BE8 3 3 . 当堂过关 1.(2019 西藏)如图，在ABC中，D，E分别为AB，AC边上的中点， 则ADE与ABC的面积之比是( ) A14 B13 C12 D21 A 当堂过关 2(2
10、019 沈阳)已知ABCABC，AD和AD是它们的对应中 线，若AD10，AD6，则ABC与ABC的周长比是 ( ) A35 B925 C53 D259 C 当堂过关 3如图，在ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且 DEAC，若SBDE4，SCDE16，则ACD的面积为( ) A64 B72 C80 D96 C 当堂过关 4如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE， BD交于点F，SDEFSABF425，则DEEC( ) A25 B23 C35 D32 B 当堂过关 5如图，以点O为位似中心，将ABC缩小后得到ABC， 已知OB3OB，则ABC与ABC的面积比为( )
11、 A13 B14 C15 D19 D 当堂过关 6小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体， 影子的大小与光源到物体的距离有关因此，他们认为：可 以借助物体的影子长度计算光源到物体的距离于是，他们 做了以下尝试 (1)如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30 cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的 横向影子AB，DC的长度和为6 cm那么灯泡离地面的高度 为_； 180 cm 点击见（1）详细过程 当堂过关 (2)不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30 cm的正方形框架按 图2摆放，请计算此时横向影子AB，DC的长度和为多少？ (3)有n个边长为a的
12、正方形按图3摆放，测得横向影子AB，DC的长 度和为b，求灯泡离地面的距离(写出解题过程，结果用含a，b， n的代数式表示) 当堂过关 解：(1)设灯泡离地面的高度为 x cm ADAD， PADPAD，PDAPDA. PADPAD. AD AD PN PM，即 30 36 x30 x ，解得 x180. 当堂过关 (2)设横向影子 AB，DC 的长度和为 y cm 同理可得 60 60y 150 180，解得 y12 cm (3)ADAD，PADPAD. AD AD PN PM. 设灯泡离地面距离为 x.由题意，得 PMx，PNxa，ADna，ADnab， na nab xa x 1a x，
13、 即a x1 na nab.x na2ab b . 课后精练（A组） 1(2019 赤峰)如图，D，E分别是ABC边AB，AC上的点， ADEACB，若AD2，AB6，AC4，则AE的长是( ) A1 B2 C3 D4 C 课后精练（A组） 2(2018 自贡)如图，在ABC中，点D，E分别是AB，AC 的中点，若ADE的面积为4，则ABC的面积为( ) A8 B12 C14 D16 D 课后精练（A组） 3下列关于位似图形的表述： 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； 位似图形一定有位似中心； 如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线 都经过同一个点，那么这两个图形是
14、位似图形； 位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比 其中正确命题的序号是( ) A B C D A 课后精练（A组） 4(2019 邵阳)如图，以点O为位似中心，把ABC放大为 原图形的2倍得到ABC，以下说法中错误的是( ) AABCABC B点C、点O、点C三点在同一直线上 CAOAA12 DABAB C 课后精练（A组） 5(2019 黔东南州)如图，在一斜边长30 cm的直角三角形木 板(即RtACB)中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E 在斜边AB上，点F在边AC上，若AFAC13，则这块木 板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为( ) A200 cm2 B17
15、0 cm2 C150 cm2 D100 cm2 D 课后精练（A组） 6(2018 资阳)已知：如图，ABC的面积为12，点D，E分别是 边AB，AC的中点，则四边形BCED的面积为_ 9 7(2019 本溪)在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是 A(4， 2)， B(5， 0)， 以点 O 为位似中心， 相似比为1 2， 把ABO 缩小， 得到A1B1O， 则点 A 的对应点 A1的坐标为_ (2，1)或(2，1) 课后精练（A组） 8(2018 莱芜)已知ABC 中，ABAC，BAC90 ，D， E 分别是 AB，AC 的中点，将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转一 个角度(0 9
16、0 )得到ADE，连接 BD，CE，如图 1. (1)求证：BDCE； (2)如图 2，当 60 时，设 AB 与 DE交于点 F，求BF FA 的值 课后精练（A组） 解：(1)证明：ABAC，D，E 分别是 AB，AC 的中点， ADBDAEEC. 由旋转的性质可知：DADEAE， ADAD，AEAE， ADAE. 在BDA 和CEA 中， ABAC， BADCAE， ADAE， BDACEA(SAS)BDCE. 课后精练（A组） (2)如图，连接 DD.DAD60 ，ADAD， ADD是等边三角形 ADDADD60 ，DDDADB. DBDDDB30 .BDA90 . DAE90 ，BA
17、E30 .BAEABD. 又BFDAFE，BFDAFE. BF AF BD AE BD AD. 在 RtABD中，tanBADBD AD 3， BF FA 3. 课后精练（A组） 9如图 1，已知ABC 中，ACBC，点 D，E，F 分别是 线段 AC，BC，AD 的中点，BF，ED 的延长线交于点 G，连接 GC. (1)求证：ABGD； (2)如图 2，当 CGEG 时，求AC AB的值 课后精练（A组） 解：(1)D，E 分别是线段 AC，BC 的中点， DE 为ABC 的中位线 DEAB，即 EGAB.FDGA. F 为线段 AD 的中点，AFDF. 在ABF 与DGF 中， AFDG
18、， AFDF， AFBDFG， ABFDGF(ASA)ABGD. 课后精练（A组） (2)DE 为ABC 的中位线， DE1 2AB，CE 1 2BC 1 2AC. DGAB，EGDEDG3 2AB. DEAB，GECCBA. ACBC，CGEG，GE BC GC AC. GECCBA. CE AB CG AC EG AC，即 1 2AC AB 3 2AB AC .AC AB 3. 10如图，在直角梯形 ABCD 中，DCAB，DAB90 ，AC BC，ACBC，ABC 的平分线分别交 AD，AC 于点 E，F，则BF EF 的值是( ) A. 21 B2 2 C. 21 D. 2 课后精练（
19、B组） C 课后精练（B组） 11(2019 沈阳)如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE 4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EGEF，交CB的延长 线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB5，CF2， 则线段EP的长是_. 【提示】如图，作FHPE于H. 由勾股定理中求出EF，再证明CEFFEP， 可得EF2EC EP. 13 2 2 课后精练（B组） 12如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x 轴和y轴正半轴上，点B的坐标是(5，2)，点P是CB边上一动点(不 与点C，B重合)，连接OP，AP，过点O作射线OE交AP的延长线于
20、点E，交CB边于点M，且AOPCOM，令CPx，MPy. (1)当x为何值时，OPAP? (2)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在点P的运动过程中，是否存在x，使OCM的面积与ABP的 面积之和等于EMP的面积？若存在，求出x的值；若不存在， 请说明理由 课后精练（B组） 解：(1)由题意知，OABC5，ABOC2， BOCM90 ，BCOA. 若 OPAP， 则OPCAPBAPBPAB90 . OPCPAB.OPCPAB. CP AB OC PB ，即x 2 2 5x. 解得 x14，x21(不合题意，舍去) 当 x4 时，OPAP. 课后精练（B组） (2)BCOA，CP
21、OAOP. AOPCOM，COMCPO. OCMPCO，OCMPCO. CM CO CO CP ，即xy 2 2 x.yx 4 x(2x5) (3)假设存在 x 符合题意 过点 E 作 EDOA 于点 D，交 MP 于点 F，如图则 DFAB2. OCM 与ABP 面积之和等于EMP 的面积， SEOAS 矩形OABC251 25ED. 课后精练（B组） ED4，EF2. PMOA，EMPEOA. EF ED MP OA，即 2 4 y 5.解得 y 5 2. 由(2)yx4 x，得 x 4 x 5 2. 解得 x15 89 4 ，x25 89 4 (舍去) 在点 P 的运动过程中，存在 x5
22、 89 4 ， 使OCM与ABP面积之和等于EMP的面积 课后精练（B组） 13如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF1， 点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG， 直线EG，FG交直线AC于点M，N. (1)写出图中与BEF相似的三角形； (2)证明其中一对三角形相似； (3)设BEx，MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变 量x的取值范围； (4)若AE1，试求GMN的面积 课后精练（B组） 解：(1)BEFAMECFNGMN. (2)证明：在BEF与AME中， BA60， AEMAME120. GEF60， AEMBEF120. BEFAME. BE
23、FAME. 课后精练（B组） (3)(i)当点 E 在线段 AB 上，点 M，N 在线段 AC 上时， BEFAME， BE AM BF AE，即 x AM 2 3x.AM x23x 2 . 同理可证BEFCFN， BE CF BF CN，即 x 1 2 CN.CN 2 x. ACAMMNCN，3x 23x 2 y2 x. yx 33x26x4 2x (1x3) 课后精练（B组） (ii)当点 E 在线段 AB 上，点 G 在ABC 内时，如图 1， 同上可得：AMx 23x 2 ，CN2 x， ACAMCNMN， 3x 23x 2 2 xy. yx 33x26x4 2x (0 x1) 课后精
24、练（B组） (iii)当点 E 在线段 BA 的延长线上时，如图 2， AMx 23x 2 ，CN2 x， ACMNCNAM，3y2 x x23x 2 . yx 33x26x4 2x (x3) 综上，yx 33x26x4 2x (0 x1)或 yx 33x26x4 2x (x1) 课后精练（B组） (4)(i)当 AE1，GMN 是边长为 1 等边三角形时， SGMN1 21 3 2 3 4 . (ii)当 AE1，GMN 是有一个角为 30 的直角三角形时， x4，y4 3342644 24 9 2， NG 3 3 MN 3 3 9 2 3 3 2 . SGMN1 2 3 3 2 9 2 27 3 8 . 故若 AE1，GMN 的面积为 3 4 或27 3 8 .
