1、7.4.27.4.2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 第三部分第三部分 2021 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 关键能力关键能力 学案突破学案突破 3 核心素养微专题核心素养微专题( (八八) ) 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.圆锥曲线的弦长 (1)直线方程的设法,已知直线过定点(x0,y0),设直线方程为y-y0=k(x-x0),若已 知直线的纵截距为(0,b),设直线方程为y=kx+b,若已知直线的横截距为(a,0), 设直线方程为x=ty+a; |AB|= 1 + 2 |x1-x2|= 1 + 1 2|y1-y
2、2|, 如何求|x1-x2|,若 x1,x2是 ax2+bx+c=0 的两根,x1+x2=- ,x1x2= , 方法一:|x1-x2|= (1+ 2)2-412; 方法二:利用求根公式,|x1-x2|= -+ 2 - 2 = | . (2)弦长公式,斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时, 2.处理中点弦问题常用的求解方法 (1)已知 AB 是椭圆 2 2 + 2 2 =1(ab0)的一条弦,其中点 M 的坐标为(x0,y0).运用 点差法求直线 AB 的斜率,设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),A,B 都在椭圆上,则有 1 2 2 + 1 2 2
3、= 1, 2 2 2 + 2 2 2 = 1, 两式相减得 1 2- 2 2 2 + 1 2-22 2 =0, ( 1+2)(1-2) 2 + (1+2)(1-2) 2 =0, 1 -2 1-2=- 2(1+2) 2(1+2)=- 20 20,故 kAB=- 20 20. (2)已知 AB 是双曲线 2 2 2 2 =1(a0,b0)的一条弦,且 A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦 的中点 M(x0,y0),则用点差法同理可得 kAB= 2 0 20. (3)已知 AB 是抛物线 y2=2px(p0)的一条弦,且 A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,弦的中点 M(x0,
4、y0),则 1 2 = 21, 2 2 = 22,两式相减得 1 2 2 2=2p(x1-x2), (y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2), 1 -2 1-2 = 2 1+2 = 0,即 kAB= 0. 3.圆锥曲线中常见的最值、范围、证明问题 (1)求解范围问题的方法 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数 的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件, 把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的 过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即 可,同时要特别注意变量的取值范围. (2)圆锥曲线
5、中常见的最值问题及解题方法 两类最值问题:()涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;() 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关 的一些问题. 两种常见解法:()几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及 意义,则考虑利用图形性质来解决;()代数法,若题目的条件和结论能体现 一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值 常用基本不等式法、配方法或导数法解决. (3)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几 何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直 线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中
6、的一些数量关系(相等或 不等). 解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位 置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算 等进行证明. 常用的证明方法有: 证 A、B、C 三点共线,可证 kAB=kAC或 = ; 证直线 MAMB,可证 kMA kMB=-1 或 =0; 证|AB|=|AC|,可证A点在线段BC的垂直平分线上. 关键能力关键能力 学案突破学案突破 热点一热点一 圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题 【例1】(2020百校联考,理21)已知圆O:x2+y2=r2(r0),椭圆C: =1 (ab0)的短半轴长等于圆O的半径,且过C右焦
7、点的直线与圆O相切于点 D . (1)求椭圆C的方程; (2)若动直线l与圆O相切,且与椭圆C相交于不同的两点A,B,求原点O到弦 AB的垂直平分线距离的最大值. 2 2 + 2 2 1 2 , 3 2 解 (1)如图,设椭圆的右焦点为 F,由于直线 FD与圆 O相切于点 D,所以 FOD是以ODF为直角的直角三角形.因为切点的坐标为 D(1 2 , 3 2 ), 所以 tan DOF= 3,所以DOF=60.由条件知 r2= 1 2 2 + 3 2 2 =1, 所以圆的半径 r=1,b=1. 所以在 RtFOD中, 1 |=cos 60, 所以|OF|=2.从而 a2=b2+c2=5. 所以
8、椭圆 C的方程为 2 5 +y2=1. (2)(方法一) 利用斜率构建目标函数 设点O到弦AB的垂直平分线的距离为d,若直线l垂直于x轴,则弦AB的垂 直平分线为x轴,所以d=0; 若直线l垂直于y轴,则l与椭圆C只有一个交点,不符合题意. 若直线l不与坐标轴垂直,设直线l的方程为y=kx+m(k0),因为l与圆O 相切,所以 | 1+2=1,即|m|= 1 + 2.由 = + , 2 5 + 2= 1, 消去 y 得 (1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,易验证 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=- 10 1+52,y1+y2=k(x1+x2)+2m=
9、2 1+52. 所以 AB 中点的坐标为 - 5 1+52 , 1+52 , 所以弦 AB 的垂直平分线方程为 y- 1+52=- 1 x+ 5 1+52 , 即 x+ky+ 4 1+52=0.所以 d= 4 1+52 1+2 . 将|m|= 1 + 2代入,得 d= 4 1+52 1+2 = |4| 1+52 = 4 1 |+5| 4 2 5 = 2 5 5 ,当且仅当 |k|= 5 5 ,|m|= 30 5 时,取等号.综上所述,点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大 值为2 5 5 . (方法二) 利用点的坐标构建目标函数 设点O到弦AB的垂直平分线距离为d, 若直线l垂直于x轴,则弦AB
10、的垂直平分线为x轴,所以d=0; 若直线l垂直于y轴,则l与椭圆C只有一个交点,不符合题意. 若直线l不与坐标轴垂直,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点坐标为 M(x0,y0),x00,y00,由点 A,B 在椭圆上,得 1 2 5 + 1 2 = 1, 2 2 5 + 2 2 = 1, -,得1 5(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,即 kAB= 1-2 1-2=- 1 5 1+2 1+2=- 0 50,直线 l 的 方程为 y-y0=kAB(x-x0),化简得 x0 x+5y0y-0 2-502=0. 因为直线 l 与圆 O 相切,所以 1= |-
11、0 2-502| 0 2+2502 ,即0 2+502 = 0 2 + 250 2, 又因为弦 AB 的垂直平分线方程为 y-y0=50 0 (x-x0),即 5y0 x-x0y-4x0y0=0,所以 d= |-400| 0 2+2502 = |400| 0 2+502 = 4 |0 0|+| 50 0 | 4 2 5 = 2 5 5 ,当且仅当0 2=502 = 3 2时,取等 号. 综上所述,点 O 到弦 AB 的垂直平分线的距离的最大值为2 5 5 . 解题心得目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型 【对点训练1】(2020陕西渭南高三模拟,21)已知直线l:x-y+1=0与焦点为F
12、 的抛物线C:y2=2px(p0)相切. (1)求抛物线C的方程; (2)过点F的直线m与抛物线C交于A,B两点,求A,B两点到直线l的距离之和 的最小值. 解 (1)由 - + 1 = 0, 2= 2, 消去 x,得 y2-2py+2p=0, 直线l:x-y+1=0与抛物线C相切,=4p2-8p=0,解得p=2或p=0(舍去). 抛物线C的方程为y2=4x. (2)由于直线 m不平行于 x轴,故可设直线 m的方程为 x=ty+1,由 = + 1, 2= 4, 消去 x,得 y2-4ty-4=0,1=16t2+160,设 A(x1,y1),B(x2,y2), y1+y2=4t,x1+x2=4t
13、2+2, 线段 AB的中点 M的坐标为(2t2+1,2t).设点 A到直线 l 的距离为 dA,点 B 到直线 l 的距离为 dB,点 M 到直线 l的距离为 d, 则 dA+dB=2d=2 |2 2-2+2| 2 =2 2|t2-t+1|=2 2 - 1 2 2 + 3 4 , 当 t=1 2时,可使 A,B两点到直线 l 的距离之和最小, 距离之和的最小值为3 2 2 . 热点二热点二 圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题 【例 2】 (2020 山东济宁一模,20)已知椭圆 C: 2 2 + 2 2=1(ab0)的离心率为 3 3 , 且椭圆 C 过点 3 2 , 2 2 . (1)
14、求椭圆C的标准方程; (2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A,B两点,且与圆:x2+y2=2交于 E,F两点,求|AB| |EF|2的取值范围. 解 (1)由已知可得 = 3 3 ,即 c2= 2 3 ,又 c2=a2-b2,所以 a2=3 2b 2, 所以椭圆 C 的方程为 2 3 2 2 + 2 2 =1,将点 3 2 , 2 2 代入方程,得 (3 2) 2 3 2 2 + ( 2 2 ) 2 2 =1, 解得 b2=2,则 a2=3 2b 2=3,所以椭圆 C 的标准方程为 2 3 + 2 2 =1. (2)由(1)知椭圆的右焦点为(1,0). 若直线 l 的斜率不存在,则直线
15、l 的方程为 x=1,易知 A 1,2 3 3 ,B 1,-2 3 3 , E(1,1),F(1,-1),所以|AB|=4 3 3 ,|EF|2=4,|AB| |EF|2=16 3 3 ; 若直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直 线 l 与椭圆方程得 2 3 + 2 2 = 1, = (-1), 可得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,则 x1+x2= 6 2 2+32,x1x2= 3 2-6 2+32, 所以|AB|= (1 + 2)(1-2)2= (1 + 2) 62 2+32 2 -4 32-6 2+32 = 4
16、3(2+1) 2+32 , 因为圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= | 2+1,所以|EF| 2=4 2- 2 2+1 =4( 2+2) 2+1 ,所以 |AB| |EF|2=4 3( 2+1) 2+32 4( 2+2) 2+1 =16 3( 2+2) 2+32 = 16 3 3 2+2 2+2 3 = 16 3 3 1 + 4 3 2+2 3 , 因为 k20,+),所以|AB| |EF|2 16 3 3 ,16 3 ,综上,|AB| |EF|2的取值范围是 16 3 3 ,16 3 . 解题心得范围问题的解题策略 解决有关范围问题时,先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等),寻 找
17、不等关系,其方法有: (1)利用判别式或几何性质来构造不等式,从而确定所求范围; (2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两 个参数之间建立等量关系或不等关系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出所求范围; (4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围; (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从 而确定所求范围(如本例); (6)利用已知,将条件转化为几个不等关系,从而求出参数的范围. 【对点训练2】已知A,B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧),且|AB|=a(a0), 过A,B分别作x轴的垂线,与抛物线y2=2px(p0)
18、在第一象限分别交于D,C两 点. (1)若a=p,点A与抛物线y2=2px的焦点重合,求直线CD的斜率; (2)若O为坐标原点,记OCD的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,求 的取 值范围. 1 2 解 (1)由题意知 A 2 ,0 ,则 B 2+a,0 ,D 2,p , 则 C 2+a, 2 + 2 ,又 a=p,所以 kCD= 3 - 3 2 - 2 = 3-1. (2)设直线 CD的方程为 y=kx+b(k0),C(x1,y1),D(x2,y2),由 = + , 2= 2, 得 ky2-2py+2pb=0,所以 =4p2-8pkb0,得 kb0,y1y2=2 0,可知 k0,b0,
19、因为|CD|= 1 + 2|x1-x2|=a 1 + 2,点 O 到直线 CD 的距离 d= | | 1+2, 所以 S1=1 2 a 1 + 2 | 1+2 = 1 2ab.又 S2= 1 2(y1+y2) |x1-x2|= 1 2 2 a= , 所以1 2 = 2,因为 0kb 2,所以 0 1 2 b0)的焦距为 4, 且过点 -1, 14 2 . (1)求椭圆E的方程; (2)设A(0,b),B(0,-b),C(a,b),O(0,0),过B点且斜率为k(k0)的直线l交E于另一 点M,交x轴于点Q,直线AM与直线x=a相交于点P.证明:PQOC. (1)解 由题可知2c=4,即c=2.
20、 椭圆的左、右焦点分别为(-2,0),(2,0), 由椭圆的定义知2a = (-1 + 2)2+ 14 2 2 + (-1-2)2 + 14 2 2 =4 2, a=2 2,b2=a2-c2=4,椭圆 E 的方程为 2 8 + 2 4 =1. (另解:由题可知 1 2 + 7 22 = 1, 2-2= 4, 解得 2 = 4, 2= 8.) (2)证明 易得 A(0,2),B(0,-2),C(2 2,2),直线 l:y=kx-2 与椭圆 x2+2y2=8 联立, 得(2k2+1)x2-8kx=0, xM= 8 22+1,从而 M 8 22+1 , 4 2-2 22+1 ,Q 2 ,0 .直线
21、AM 的斜率为 42-2 22+1-2 8 22+1 =- 1 2, 直线 AM 的方程为 y=- 1 2x+2.令 x=2 2,得 P 2 2,- 2 +2 , 直线 PQ 的斜率 kPQ= - 2 +2 2 2-2 = - 2+2 2 2-2 = 2( 2-1) 2( 2-1) = 2 2 , 直线 OC 的斜率 kOC= 2 2 2 = 2 2 , kPQ=kOC,显然直线 PQ 与 OC 不重合,从而 PQOC. 解题心得(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:证明点、直线、曲线 等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两 条直线平行或垂直等;证明直线与圆锥曲线
22、中的一些数量关系(相等或不 等). (2)解决证明问题时,主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的 位置关系等,通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计 算等进行证明. 【对点训练3】(2020北京海淀一模,20)已知椭圆C: =1(ab0) 的离心率为 ,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),A1BA2的面积为2. (1)求椭圆C的方程; (2)设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线A1B与直线A2M交于点P,直 线A1M与直线A2B交于点Q.求证:BPQ为等腰三角形. 2 2 + 2 2 3 2 (1)解 由题 = 3 2 , = 2, 2= 2+ 2, 解
23、得 = 2, = 1. 所以椭圆方程为 2 4 +y2=1. (2)证明 设直线 A2M的方程为 y=k(x-2) 0 且 1 2 , 直线 A1B的方程为 y=1 2x+1. 由 = (-2), = 1 2 + 1,解得点 P( 4+2 2-1 , 4 2-1).由 = (-2), 2 4 + 2= 1, 得(4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0, 则 2xM=16 2-4 42+1 .所以 xM= 8 2-2 42+1,yM= -4 42+1. 即 M( 8 2-2 42+1 , -4 42+1).1 = -4 42+1 82-2 42+1+2 =- 1 4 . 于是直线 A1M
24、 的方程为 y=- 1 4(x+2),直线 A2B 的方程为 y=- 1 2x+1. 由 = - 1 4 ( + 2), = - 1 2 + 1, 解得点 Q 4+2 2-1 , -2 2-1 .于是 xP=xQ,所以 PQx 轴.设 PQ 中 点为 N,则 N 点的纵坐标为 4 2-1+ -2 2-1 2 =1.故 PQ 中点在定直线 y=1 上.从上边可 以看出点 B 在 PQ 的垂直平分线上,所以|BP|=|BQ|, 所以BPQ 为等腰三角形. 核心素养微专题核心素养微专题( (八八) ) 解析几何中的最值、范围问题 【例1】(2020湖南长沙高三模拟,理16)在平面直角坐标系xOy中,
25、已知点 P(3,0)在圆C:x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点, 若ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围是 . 答案 (3-2 7,3-2 33+2 3,3+2 7) 解析 由题意得圆的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=32, 所以圆心坐标为 C(m,2),r=4 2. SABC=1 2r 2sin ACB=16sin ACB,当ACB=90时,S取得最大值 16. 此时ABC为等腰直角三角形,|AB|= 2r=8, 所以点 C到直线 AB的距离为 d=4. 由以上可得 4|PC|4 2即 16(m-3)2+2232, 解得 3-2
26、7m3-2 3或 3+2 3 m(2+1)2或 a2+(2a-4+1)2(2-1)2, 解得圆心 M横坐标的取值范围为(-,0) 12 5 , + . 【例2】(2020河南中原名校高三模拟,14)已知F是抛物线y2=4x的焦点,M是 这条抛物线上的一个动点,P(3,1)是一个定点,则|MP|+|MF|的最小值 是 . 答案 4 解析 设点M在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|, 要求|MP|+|MF|的最小值,即求|MP|+|MD|的最小值.当D,M,P三点共线 时,|MP|+|MD|最小,为3-(-1)=4,所以|MP|+|MF|的最小值是4. 核心素养分析解决此题关键是用“直观想象”画出抛物线草图,再用“逻辑推 理”结合抛物线定义分析确定点P的位置,使得|MP|+|MF|取得最小值. 【跟踪训练2】(2020安徽定远重点中学高三模拟,15)设P是双曲线 =1上一点,M,N分别是两圆:(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN| 的最大值为 . 2 9 2 16 答案 9 解析 设两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1的圆心分别为A,B,则A,B正好为双 曲线两焦点, |PM|-|PN|PA|+2-(|PB|-1) =|PA|-|PB|+3=23+3=6+3=9,即最大值为9.
