1、7.17.1 直线、圆、圆锥曲线小题专项练直线、圆、圆锥曲线小题专项练 第三部分第三部分 2021 考 情 分 析 2020年的山东新高考数学卷对解析几何这一部分共命制了3道题:多 选题9,利用对参数的讨论来确定圆锥曲线及圆锥曲线的方程;填空题 13,已知直线过抛物线的焦点,求弦长.此题重点考察了直线与圆锥曲 线的位置关系,所以可以先求出直线方程,再与抛物线方程联立直接 求解.另外,此题还可以利用二级结论直接求解(倾斜角为的直线过 抛物线y2=2px的焦点,则弦长l= ).解答题22,考查椭圆的方程,以 及直线与椭圆的位置关系、直线过定点等问题.从试卷的出题数量 和分值占比上来说,圆锥曲线仍然
2、是高考的重点和热点,是高考中每 年必考的内容.主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质、 直线与圆锥曲线的位置关系等内容.对圆锥曲线方程与性质的考查, 以选择题、填空题为主,对直线与圆锥曲线的位置关系的考查,常与 其他知识交汇命题,多以解答题的形式出现.在核心素养方面主要考 查逻辑推理和数学运算. 2p 2 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 考向训练考向训练 限时通关限时通关 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1l2k1=k2,l1l2k1k2=-1. 2.两点 A(x1,y1),B(x2,y2)之间的
3、距离|AB|= (2-1)2+ (2-1)2. 3.点(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=| 0+0+| 2+2 (A2+B20). 4.圆的方程:(1)标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r. (2)一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0). (3)以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1) (x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 5.圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆: 2 2 + 2 2 =1(ab0)(焦点在 x 轴上)或 2 2 + 2 2=1(ab0)(焦点在 y 轴 上); (2)双
4、曲线: 2 2 2 2 =1(a0,b0)(焦点在x轴上)或 2 2 2 2=1(a0,b0)(焦点在y 轴上); (3)抛物线:y2=2px(p0),y2=-2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0). 6.熟记重要结论 (1)焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角 形,F1PF2=,PF1F2的面积为 S,则在椭圆 2 2 + 2 2 =1(ab0)中 当 P 为短轴端点时, 最大. S=1 2|PF1|PF2| sin =b 2tan 2=c|y0|,当|y0|=b 时,即点 P 为短轴端点时,S 取最 大值,最大值为 bc. 焦点三
5、角形的周长为2(a+c). (2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点,F1,F2分别为双曲线的 左、右焦点,则 12 = 2 tan 2 ,其中 为F1PF2. (3)设 AB 是过抛物线 y2=2px(p0)焦点 F 的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2= 2 4 ,y1y2=-p2; 弦长|AB|=x1+x2+p= 2 sin2( 为弦 AB 所在直线的倾斜角); 1 | + 1 | = 2 ; 以弦 AB 为直径的圆与准线相切. 考向训练考向训练 限时通关限时通关 考向一考向一 直线、圆直线、圆 1.(2020天津,12)已知直线x- y+8=0和圆x2+y2
6、=r2(r0)相交于A,B两点.若 |AB|=6,则r的值为 . 3 答案 5 解析 如图. |AB|=6, |AD|=3. 圆x2+y2=r2的圆心为(0,0). 圆心到直线的距离 CD= |8| 1+3=4,AC=5,即 r=5. 2.(2020全国,理5)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线 2x-y-3=0的距离为( ) A. 5 5 B.2 5 5 C.3 5 5 D.4 5 5 答案 B 解析 由题意可知,圆心在第一象限.设圆心为(a,a)(a0),则(2-a)2+(1-a)2 =a2,解得a=1或a=5.当a=1时,圆心为(1,1),此时圆心到直线2x-y-3=0的
7、距离 为 d1=|2-1-3| 5 = 2 5 5 . 当 a=5 时,圆心为(5,5),此时圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为 d2=|25-5-3| 5 = 2 5 5 . 综上,圆心到直线 2x-y-3=0 的距离为2 5 5 .故选 B. 3.(2020全国,文8)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 B 解析 直线y=k(x+1)过定点(-1,0),当过点(0,-1)与点(-1,0)的直线与直线 y=k(x+1)垂直时,点(-1,0)到直线y=k(x+1)的距离最大,故最大距离等于(0,-1) 和(-1,0)两点之间的
8、距离,为 故选B. 2 4.(2020全国,文6)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦 的长度的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 圆的方程可化为(x-3)2+y2=9. 因为 (1-3)2+ (2-0)2=2 20,b0)对称,则1 + 3 的最小值 是( ) A.2 3 B.20 3 C.4 D.16 3 答案 D 解析 由圆x2+y2+2x-6y+1=0知其标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,由题意知直 线ax-by+3=0经过圆心(-1,3),即-a-3b+3=0,a+3b=3(a0,b0). 1 + 3 = 1 3(a+3
9、b) 1 + 3 =1 3 1+3 + 3 +9 1 3 10+2 3 3 =16 3 , 当且仅当3 = 3 ,即 a=b=3 4时取等号,故选 D. 6.(多选)设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3),且与圆C交于A,B两 点,若|AB|=2 ,则直线l的方程为( ) A.3x+4y-12=0 B.3x+4y+12=0 C.x=0 D.4x+3y+9=0 3 答案 AC 解析 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,联立得方程组 = 0, 2+ 2-2-2-2 = 0,解得 = 0, = 1- 3 或 = 0, = 1 + 3 |AB|=2 3,符合题意.当
10、直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx+3, 圆 x2+y2-2x-2y-2=0 即(x-1)2+(y-1)2=4,圆心为 C(1,1),圆的半径 r=2,易知 圆心 C(1,1)到直线 y=kx+3 的距离 d=|-1+3| 2+1 = |+2| 2+1, d2+ | 2 2 =r2, (+2)2 2+1 +3=4,解得 k=-3 4, 直线 l 的方程为 y=-3 4x+3,即 3x+4y-12=0. 综上,直线l的方程为3x+4y-12=0或x=0.故选AC. 考向二考向二 圆锥曲线方程、性质圆锥曲线方程、性质 类型一 椭圆 7.(2019全国,理10)已知椭圆C的焦点为
11、F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交 于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( ) A. 2 2 +y2=1 B. 2 3 + 2 2 =1 C. 2 4 + 2 3 =1 D. 2 5 + 2 4 =1 答案 B 解析 如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m. 由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m. 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n. 由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|, 得 - = 2, + = 2,解得 = 3 2 , = 2 . |AF1|=a,|AF2|=a.点
12、 A 为(0,-b). 2 = 1=b. 过点 B作 x轴的垂线,垂足为点 P.由题意可知OAF2PBF2. 又|AF2|=2|F2B|,|OF2|=2|F2P|.|F2P|=1 2.又 2 = | |2| = | 1 2 =b,|BP|=1 2b. 点 B 3 2 , 1 2b .把点 B坐标代入椭圆方程 2 2 + 2 2=1中,得 a 2=3.又 c=1,故 b2=2. 所以椭圆方程为 2 3 + 2 2 =1. 8.(2020石家庄一模,5)如图,已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦 点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的标准方程为( ) A.
13、 2 36 + 2 16=1 B. 2 40 + 2 15=1 C. 2 49 + 2 24=1 D. 2 45 + 2 20=1 答案 C 解析 根据题意,设椭圆的右焦点为M,连接PM, 则|FM|=2|OF|=10,因为|OP|=|OF|=|OM|, 所以PFM=FPO,OMP=OPM, 又由PFM+OMP+FPO+OPM=180, FPO+OPM=90, 即PFPM.又由|FM|=10,|PF|=6, 则|PM|= 100-36=8, 则 2a=|PF|+|PM|=14,则 a=7,又由 c=5,则 b2=a2-c2=49-25=24,则椭圆的方程 为 2 49 + 2 24=1.故选
14、C. 9.(2020 安徽蚌埠模拟)已知椭圆 C: 2 2 + 2 2 =1(ab0)的左、右焦点为 F1,F2, 离心率为 3 3 ,过 F2的直线 l 交 C 于 A,B 两点,若AF1B 的周长为 4 3,则 C 的 方程为( ) A. 2 3 + 2 2 =1 B. 2 3 +y2=1 C. 2 12 + 2 8 =1 D. 2 12 + 2 4 =1 答案 A 解析 AF1B的周长为 4 3,且AF1B的周长为 |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a, 4a=4 3,a= 3.离心率为 3 3 , = 3 3 ,c=1, b2=a2-c2=3-1=2,椭圆
15、C的方程为 2 3 + 2 2 =1.故选 A. 10.(2020 北京丰台一模,15)已知双曲线 M:x2- 2 3 =1 的渐近线是边长为 1 的菱 形 OABC 的边 OA,OC 所在直线.若椭圆 N: 2 2 + 2 2 =1(ab0)经过 A,C 两点, 且点 B 是椭圆 N 的一个焦点,则 a= . 答案 3+1 2 解析 根据题意,可作出如图所示的图形,设点D为椭圆的另一个焦点,连接 AD,双曲线 M:x2- 2 3 =1 的渐近线方程为 y= 3x, AOB=60,菱形 OABC 的边长为 1, 点 A 的坐标为 1 2 , 3 2 ,B(1,0),D(-1,0), |AD|=
16、 1 2 + 1 2 + 3 2 2 = 3, 而|AB|=1,由椭圆的定义可知,|AB|+|AD|=2a,a= 3+1 2 . 类型二 双曲线 11.(多选)(2020山东潍坊一模,9)已知双曲线 =sin2(k,kZ),则 不因改变而变化的是( ) A.焦距 B.离心率 C.顶点坐标 D.渐近线方程 2 4 2 2 答案 BD 解析 双曲线 2 4 2 2 =sin2(k,kZ),可化为 2 4sin2 2 2sin2=1. a2=4sin2,b2=2sin2.c2=6sin2,e2=1+ 2 = 3 2,渐近线 y= x= 2 2 x.故选 BD. 12.(2020 天津,7)设双曲线
17、C 的方程为 2 2 2 2 =1(a0,b0),过抛物线 y2=4x 的 焦点和点(0,b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与l 垂直, 则双曲线 C 的方程为( ) A. 2 4 2 4 =1 B.x2- 2 4 =1 C. 2 4 -y2=1 D.x2-y2=1 答案 D 解析 双曲线 2 2 2 2 =1的渐近线方程为 y= x,y 2=4x的焦点坐标为 (1,0),l 为 + 1=1,即 y=-bx+b, -b=- 且-b =-1, a=1,b=1.故选 D. 13.(2018 全国,理 11)已知双曲线 C: 2 3 -y2=1,O 为坐标原点,F 为
18、C 的右焦点, 过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M,N.若OMN 为直角三角形, 则|MN|=( ) A.3 2 B.3 C.2 3 D.4 答案 B 解析 由条件知 F(2,0),渐近线方程为 y= 3 3 x, 所以NOF=MOF=30,MON=6090. 不妨设OMN=90,则|MN|= 3|OM|. 又|OF|=2,在 RtOMF中, |OM|=2cos 30= 3,所以|MN|=3. 14. (2020 山东淄博一模,15)如图,A1,A2分别是双曲线 C:x2- 2 =1(a0)的左、 右 顶点,以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点M,直线MA2交另一条渐近 线于
19、点 N,若1 ,则 a= ,若 F2为双曲线右焦点,则MF2O 的 周长为 . 答案 3 3+ 7 解析 1 ,MA1NO,NOA2=MA1O,又NOA2=MOA1, MOA1=MA1O. 又 OA1=OM,MA1O=OMA1,MA1O是等边三角形, = 3,可得 a=3; 则 M - 1 2 , 3 2 .则MF2O的周长为:1+2+ - 1 2 -2 2 + 3 2 2 =3+ 7. 类型三 抛物线 15.(2020全国,文7)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于 D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为( ) A. 1 4,0 B. 1 2,0 C.(1,0)
20、D.(2,0) 答案 B 解析 抛物线C关于x轴对称,直线x=2垂直于x轴,又ODOE, ODE是等腰直角三角形.不妨设点D在第一象限,则点D的坐标为(2,2), 将其代入y2=2px,得p=1,所以抛物线C的焦点坐标为 1 2,0 . 16.(2019全国,文9)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆 =1的一 个焦点,则p=( ) A.2 B.3 C.4 D.8 2 3 + 2 答案 D 解析 y2=2px 的焦点坐标为 2,0 ,椭圆 2 3 + 2 =1 的焦点坐标为 ( 3- ,0), 3p-p= 2 4 ,解得 p=8,故选 D. 17.(2020安徽安庆二模,10)已知抛物线C
21、:y2=2px(p0)的焦点为F,准线与x轴 交于点 K,过点 K 作圆 - 2 2 +y2= 2 4 的切线,切点分别为 A,B.若|AB|= 3,则 p 的值为( ) A.1 B. 3 C.2 D.3 答案 C 解析 如图,连接 FA,因为 F就是圆(x- 2) 2+y2= 2 4 的圆心, 所以 FAKA,且|FA|= 2. 又|KF|=p,所以AKF=30,那么AKB=60, 所以AKB是等边三角形,所以|AB|=|AK|= 3 2 p. 又|AB|= 3,所以 p=2.故选 C. 18.(多选)(2020山东淄博一模,9)已知抛物线y2=2px(p0)上一点M到其准线 及对称轴的距离
22、分别为3和2 ,则p的值可以是( ) A.2 B.6 C.4 D.8 2 答案 AC 解析 设 P 点(x0,y0),由 P 在抛物线上,所以0 2=2px0,由抛物线的方程可得准 线的方程为 x=- 2,由题意可得 x0+ 2=3,|y0|= 20=2 2,解得:p=2 或 4,故选 AC. 19.(2018全国,理16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为 k的直线与C交于A,B两点,若AMB=90,则k= . 答案 2 解析 设直线 AB:x=my+1,联立 = + 1, 2= 4 y2-4my-4=0, y1+y2=4m,y1y2=-4. 而 =(x1+1,y
23、1-1)=(my1+2,y1-1), =(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1). AMB=90, =(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1) =(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5=4m2-4m+1=0. m=1 2 .k= 1 =2. 20.(2020北京石景山一模,14)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,M是C上一 点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= . 答案 3 解析 抛物线 C:y2=4x的焦点 F(1,0).M为 FN的中点, M的横坐标为1 2,则|FM|= 1 2+1= 3 2, |FN|=2|FM|=2 3 2=3.
