1、5.15.1 空间几何体的结构、体积与表面积专项练空间几何体的结构、体积与表面积专项练 第三部分第三部分 2021 内 容 索 引 01 02 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 考向训练考向训练 限时通关限时通关 必备知识必备知识 精要梳理精要梳理 1.空间几何体的表面积与体积 几何 体 侧面积 表面积 体积 圆柱 S 侧=2rl S表=2r(r+l) V=S底h=r2h 圆锥 S 侧=rl S表=r(r+l) V= 1 3S 底h= 1 3r 2h 圆台 S 侧=(r+r)l S 表=(r2+ r2+rl+rl) V=1 3(S 上+S下+ S上S下)h =1 3(r 2+r2+rr)h
2、几何 体 侧面积 表面积 体积 直棱 柱 S 侧=Ch(C 为底面周 长) S 表=S侧+S上 +S下(棱锥的S 上=0) V=S 底h 正棱 锥 S 侧= 1 2Ch(h指斜高) V=1 3S 底h 正棱 台 S 侧= 1 2 (C+C)h(C,C 分别是上、下底面 周长,h指斜高) V=1 3(S 上+S下+ S上S下)h 球 S=4R2 V=4 3R 3 2.几个常用结论 (1)长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a,b,c,则其体对角线即外接球直 径为 2+ 2+ 2. (2)各棱长相等(都为 a)的三棱锥的几个结论: 高为 6 3 a;表面积为 3a2,体积为 2 12a 3;侧棱
3、和底面所成角的正弦值为 6 3 ; 相邻两个面所成二面角的余弦值为1 3;内切球半径为 6 12a,外接球半径为 6 4 a,其比值为 13. (3)正方体与球的几个结论: 设正方体的棱长为 a,则其外接球半径 R= 3 2 a,内切球半径 r= 2,与各 棱相切的球(棱切球)半径为 2 2 a; 设球的半径为 R,则球的外切正方体的边长为 2R,内接正方体的边长 为2 3 3 R. 考向训练考向训练 限时通关限时通关 考向一考向一 空间几何体的侧面积或表面积空间几何体的侧面积或表面积 1.(多选)(2020山东潍坊高三期末,9)等腰直角三角形直角边长为1,现将该三 角形绕其某一边旋转一周,则
4、形成的几何体的表面积可以为( ) A. 2 B.(1+ 2) C.2 2 D.(2+ 2) 答案 AB 解析 如果是绕直角边旋转,形成圆锥,圆锥底面半径为1,高为1,母线就是直 角三角形的斜边,母线长是 2,所以形成的几何体的表面积 S=rl+r2=1 2+12=( 2+1). 如果绕斜边旋转,形成的是两个圆锥,圆锥的半径是直角三角形斜边的高 2 2 , 两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边,母线长是 1,所以形成几何体的表 面积 S=2rl=2 2 2 1= 2. 综上可知,形成几何体的表面积是( 2+1)或 2. 2.(2020四川达州高三二诊,7)如图,四面体各个面都是边长为1的正三角形
5、, 其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上,另一个顶点是上底面圆心,圆柱的 侧面积是( ) A. 2 3 B.3 2 4 C.2 2 3 D. 2 2 答案 C 解析 设圆柱的底面半径为 r,母线长为 l. 因为四面体各个面都是边长为 1 的正三角形,所以 2r= 1 sin60 = 2 3 3 , 解得 r= 3 3 .因为四面体各个面都是边长为 1 的正三角形,所以棱锥的高为 h= 6 3 1= 6 3 ,即圆柱的母线长为 l= 6 3 . 所以圆柱的侧面积为 S=2rl=2 3 3 6 3 = 2 2 3 . 3.(2020全国,理10)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,O1为ABC的
6、外接圆.若O1的面积为4,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为( ) A.64 B.48 C.36 D.32 答案 A 解析 由题意知O1的半径 r=2.由正弦定理知 sin=2r, OO1=AB=2rsin 60=2 3,球 O 的半径 R= 2+ |1|2=4. 球 O 的表面积为 4R2=64. 4.(2020安徽皖西南联盟高三联考,8)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联 方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分 (即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不 相同,一般都是易拆难装.如图1,这是一种常见的鲁班锁玩具,图2是该鲁班
7、锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为( ) A.8(6+6 2 + 3) B.6(8+8 2 + 3) C.8(6+6 3 + 2) D.6(8+8 3 + 2) 答案 A 解析 由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为 2+2 2的正方体截 去了 8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为 2, 侧棱长为 2,则该几何体的表面积为 S=6 (2 + 2 2)2-4 1 2 2 2 +8 1 2 2 3=8(6+6 2 + 3). 5.(2020江苏扬州高三三模,15)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2, AA1=3,O为上底面ABCD的中
8、心,设正四棱柱ABCD-A1B1C1D1与正四棱锥 O-A1B1C1D1的侧面积分别为S1,S2,则 = . 1 2 答案 3 10 5 解析 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,则正四棱柱ABCD- A1B1C1D1的侧面积为S1=423=24. 正四棱锥 O-A1B1C1D1的斜高为 12+ 32= 10, 正四棱锥 O-A1B1C1D1的侧面积为 S2=4 1 2 2 10=4 10. 1 2 = 24 4 10 = 3 10 5 . 考向二考向二 空间几何体的体积空间几何体的体积 6.(2020山东泰安三模,6)我国古代数学名著九章算术中记载:“刍甍者,
9、 下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊 形状的多面体(如图所示),下底面是边长为2的正方形,上棱EF= ,EF平 面ABCD,EF与平面ABCD的距离为2,该刍甍的体积为( ) 3 2 A.6 B.11 3 C.31 4 D.12 答案 B 解析 如图,作 FNAE,FMED,连接 NM,则多面体被分割为棱柱与棱锥部 分,则该刍甍的体积为 VF-MNBC+VADE-NMF=1 3 2(-3 2)2+ 1 2 22 3 2 = 11 3 . 7.(2020山东滨州二模,8)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原 理:“幂势既同,则积不容异.”意思是夹在两个平行
10、平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等, 那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体.如 图,将底面半径都为b,高都为a(ab)的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱(被 挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面,下底面的圆心为顶点)放置于同一平面 上,用平行于平面且与平面相距任意距离d的平面截这两个几何体,截面 分别为圆面和圆环,可以证明S圆=S圆环总成立.据此,椭圆的短半轴长为2,长 半轴长为4的椭球的体积是( ) A.16 3 B.32 3 C.64 3 D.128 3 答案 C 解析 S圆=S圆环总成立,半椭球的体积为 b2a-1 3
11、 b2a=2 3 b2a. 椭球的体积 V=4 3 b2a. 椭圆的短半轴长为 2,长半轴长为 4, 该椭球体的体积 V=4 3 224=64 3 . 8.(多选)(2020山东青岛二中月考,10)沙漏是古代的一种计时装置,它由两个 形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部 容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的 一个沙时.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的 (细管长度忽略不计).假设 该沙漏漏沙的速度为0.02 cm3/s,且细沙全部漏入 下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆
12、锥形沙堆. 以下结论正确的是( ) 2 3 A.沙漏中的细沙的体积为1 024 81 cm3 B.沙漏的体积是128 cm3 C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm D.该沙漏的一个沙时大约是1 985 s(3.14) 答案 ACD 解析 由题图可知,细沙在上部时,细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等 于细沙的高与圆锥的高之比,所以细沙的底面半径 r=2 3 4=8 3(cm),所以细沙 的体积 V1=1 3 r2 2 3 = 1 3 64 9 16 3 = 1 024 81 (cm3),故 A正确;沙漏的体积 V2=2 1 3 2 2 h=2 1 3 428=256 3 (c
13、m3),故 B错误;设细沙流入下 部后的高度为 h1,根据细沙体积不变可知1 024 81 = 1 3 2 2 h1,所以 1 024 81 = 16 3 h1,解得 h12.4 cm,故 C正确;因为细沙的体积为1 024 81 cm3,沙漏 漏沙的速度为 0.02 cm3/s,所以一个沙时为 1 024 81 0.02 = 1 0243.14 81 501 985(s),故 D正确. 9.(2020山东聊城一模,16)点M,N分别为三棱柱ABC-A1B1C1的棱BC,BB1的中 点,设A1MN的面积为S1,平面A1MN截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面面积为 S,五棱锥A1-CC1B1N
14、M的体积为V1,三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,则 1 = ,1 = . 答案 7 12 3 5 解析 如图所示,延长NM交直线C1C于点P,连接PA1交AC于点Q,连接QM.平 面A1MN截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面为四边形A1NMQ. BB1CC1,M为BC的中点, PCMNBM, M为PN的中点. A1MN的面积 S1=1 2 1. QCA1C1, 1 = 1 3 = 1, A1QM的面积为2 3 1= 1 3 1, 1 = 3 5. BMN的面积=1 8 四边形11, 五棱锥 A1-CC1B1NM的体积为 V1=7 8 四棱锥1-11, 而三棱锥 A1-ABC的体积=1
15、3V, 1 = 7 8 2 3 = 7 12. 考向三考向三 与球相关的内切问题与球相关的内切问题 10.(2020辽宁东北育才学校模拟,15)圆锥SD(其中S为顶点,D为底面圆心)的 侧面积与底面积的比是21,若圆锥的底面半径为3,则圆锥SD的内切球的 表面积为 . 答案 12 解析 依题意,圆锥SD(其中S为顶点,D为底面圆心)的侧面积与底面积的比 是21,所以(rl)(r2)=21,解得l=6. 设内切球的半径为 R,则利用轴截面,根据等面积可得1 2 6 62-32= 1 2 (6+6+6)R,解得 R= 3.所以该圆锥内切球的表面积为 4( 3)2=12. 11.(2020天津和平区
16、二模,13)农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯, 粽子又称粽籺,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,传 说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图1,平行四边 形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可 以得到如图2所示粽子形状的六面体.若该六面体内有一球,则该球体积的 最大值为 . 答案 8 6 729 解析 每个三角形面积是 S=1 2 1 3 2 = 3 4 .由对称性可知该六面体是由两 个正四面体合成的,可求出该四面体的高为 1- 3 3 2 = 6 3 ,所以四面体体积 为1 3 3 4 6 3 = 2 12 .所以六面体
17、体积是 2 6 . 由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,需球与六个面都相切.连接球心 和五个顶点,把六面体分成了六个三棱锥.设球的半径为 R,所以 2 6 =6 1 3 3 4 ,解得 R= 6 9 .所以球的体积 V=4 3 R3=4 3 6 9 3 = 8 6 729 . 考向四考向四 与球相关的外接问题与球相关的外接问题 12.(2020天津,5)若棱长为2 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的 表面积为( ) A.12 B.24 C.36 D.144 3 答案 C 解析 2R= (2 3 2)2+ (2 3)2=6,球的表面积为 4R2=36.故选 C. 13.(2020江西上饶
18、三模,5)半径为2的球O内有一个内接正三棱柱,则正三棱 柱的侧面积的最大值为( ) A.9 3 B.12 3 C.16 3 D.18 3 答案 B 解析 如图所示,设正三棱柱上、下底面的中心分别为 O1,O2,底面边长与高 分别为 x,h,则 O2A= 3 3 x.在 RtOAO2中, 2 4 + 2 3 =4,化为 h2=16-4 3x 2. 正三棱柱的侧面积 S=3xh, S2=9x2h2=12x2(12-x2)12 2+12-2 2 2=432, 当且仅当 x= 6时取等号,此时 S=12 3. 14.(2020山东滨州二模,14)已知点A,B,C,D均在球O的球面上,AB=BC=1,
19、AC= ,若三棱锥D-ABC体积的最大值是 ,则球O的表面积 为 . 2 1 3 答案 81 16 解析 设ABC的外接圆的半径为r,AB=BC=1,AC= 2,则AB2+BC2=AC2, ABC 为直角三角形,且 r= 2 2 .SABC=1 2 11=1 2.设三棱锥 D-ABC 体积的 最大值为 V,则 V=1 3 .A,B,C,D 均在球 O 的球面上, D 到平面 ABC 的最大距离 h= 3 = 31 3 1 2 =2,设球 O 的半径为 R,则 R2=r2+(h-R)2,即 R2= 2 2 2 +(2-R)2,解得 R=9 8. 球 O 的表面积为 S=4 9 8 2 = 81
20、16 . 15.(2020山东,16)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,BAD=60. 以D1为球心, 为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 . 5 答案 2 2 解析 如图所示, B1C1D1=B1A1D1=BAD=60且B1C1=C1D1, B1C1D1为等边三角形. B1D1=2.设点 O1是 B1C1的中点,则 O1D1= 3,易证 D1O1平面 BCC1B1,设 P是球面与侧面 BCC1B1交线上任意一点,连接 O1P,则 O1D1O1P, D1P2=D11 2+O1P2,即 5=3+O1P2,O1P= 2.即 P在以 O1 为圆心,以 2为半 径的圆上. 取
21、BB1,CC1的中点分别为 E,F,则 B1E=C1F=O1B1=O1C1=1,EF=2, O1E=O1F= 2,O1E2+O1F2=EF2=4,EO1F=90, 交线 = 1 4 2 2 = 2 2 . 16.(2020山东德州二模,16)九章算术中记载:将底面为直角三角形的直 三棱柱称为堑堵,将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开,得到一个阳马(底 面是长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为 直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中,BB1=BC=2 , AB=2,AC=4,且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑C1-ABC,现将鳖臑C1-ABC沿线BC1翻 折
22、,使点C与点B1重合,则鳖臑C1-ABC经翻折后,与 鳖臑C1-ABB1拼接成的几何体的外接球的表面积 是 . 3 答案 100 3 解析 将鳖臑C1-ABC沿线BC1翻折,使点C与点B1 重合,则鳖臑C1-ABC经翻折后,A点翻折到E 点,A,E关于点B对称,所拼成的几何体为三棱锥 C1-AEB1,如图, 由 BB1=BC=2 3,AB=2,AC=4,可得 AB1= 1 2 + 2=4, B1E= 1 2 + 2=4,即B1AE 为正三角形,所以其外接圆圆心为三角形中 心 O1. 设三棱锥外接球球心为 O,半径为 R,连接 O1O,则 O1O平面 AB1E,连接 OC1,OB1,在OB1C1中作 OMB1C1,垂足为 M,如图,因为 OC1=OB1=R,OM B1C1,所以 M是 B1C1的中点.由矩形 MOO1B1可知 OO1=1 2B1C1= 1 2BC= 3. 因为 O1为AB1E的中心,所以 B1O1=2 3B1B= 2 3 2 3 = 4 3 3 . 在 RtB1OO1中,R= 1 2 + 1 1 2 = 3 + 16 3 = 5 3 3 ,所以三棱锥外接球 的表面积 S=4R2=100 3 .
