1、7.4 数学建模活动:周期现象的描述 课后篇巩固提升 基础达标练 1.单摆离开平衡位置 O的位移 s(单位:cm)和时间 t(单位:s)的函数关系为 s=6sin 2t+ ,则单摆在摆 动时,从最右边到最左边的时间为( ) A.2 s B.1 s C. s D. s 解析由题意,知周期 T= =1 s,从最右边到最左边的时间是半个周期,为 s. 答案 C 2.某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测,发现每个季度的平均单价 y(每平方米 的价格,单位:元)与第 x季度之间近似满足 y=500sin(x+)+9 500(0),已知第 1 季度和第 2 季度的 平均单价如下表所示. x
2、1 2 y 10 000 9 500 则此楼群在第 3 季度的平均单价大约是( ) A.10 000 元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元 解析因为 y=500sin(x+)+9 500(0),所以当 x=1时,500sin(+)+9 500=10 000;当 x=2 时,500sin(2+)+9 500=9 500, 即 所以 易得 3+=- +2k,kZ. 又当 x=3 时,y=500sin(3+)+9 500, 所以 y=9 000. 答案 C 3.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(x+)+b A0,0,| 的模型波
3、动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 9千元,7月份价格最低为 5千元,根据 以上条件可确定 f(x)的解析式为( ) A.f(x)=2sin x- +7(1x12,xN+) B.f(x)=9sin x- (1x12,xN+) C.f(x)=2 sin x+7(1x12,xN+) D.f(x)=2sin x+ +7(1x12,xN+) 解析令 x=3可排除 D,令 x=7 可排除 B,由 A= - =2 可排除 C;或由题意,可得 A= - =2,b=7,周期 T= =2 (7-3)=8,则 = , f(x)=2sin x+ +7. 当 x=3 时,y=9, 2sin + +7=9, 即
4、 sin + =1. |0,0,0 ,函数图像如图所示,则 = . 解析根据图像,知 ,0 , ,0 两点的距离刚好是 个周期, 所以 T= . 所以 T=1,则 = =2. 因为当 t= 时,函数取得最大值, 所以 2 += +2k,kZ, 又 00,t0),由已知周期为 12分钟,可知 = ,即 = . 所以 y=40.5-40cos t(t0). (2)令 y=40.5-40cos t=60.5, 得 cos t=- , 所以 t= 或 t= , 解得 t=4或 t=8, 故第四次距离地面 60.5米时,用时为 12+8=20(分钟). 2.已知弹簧上挂着的小球做上下振动,它与平衡位置(
5、静止时的位置)的距离 h(单位:cm)和时间 t(单 位:s)的函数关系式为 h=3sin 2t+ . (1)求小球开始振动的位置; (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间; (3)经过多长时间小球往返振动一次? (4)每秒内小球能往返振动多少次? 解(1)令 t=0,得 h=3sin ,所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置 cm处. (2)由题意知,当 h=3 时,t的最小值为 ,即小球第一次上升到最高点的时间为 s. 当 h=-3时,t的最小值为 ,即小球第一次下降到最低点的时间为 s. (3)T= =,即经过约 s 小球往返振动一次. (4)f= ,即每秒内小球往返振
6、动 次. 素养培优练 某港口水深 y(单位:米)是时间 t(0t24,单位:时)的函数,记作 y=f(t),下面是某日水深的数据. t/ 时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/ 米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Asin t+b(A0,0)的图像. (1)试根据以上数据,求出函数 y=f(t)的近似解析式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底高出海底的距离为 5米或 5 米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船 底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底与水面的距离)为 6.5米,如果该船希望在同一天内安全进 出港,那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)? 解(1)由已知数据,描出曲线如图: 易知函数 y=f(t)的周期 T=12,振幅 A=3,b=10, 则 = ,y=3sin t+10(0t24). (2)由题意,该船进出港时,水深应不小于 5+6.5=11.5 米, 由 y11.5 得 3sin t+1011.5,即 sin t . 0t24,0 t4. 由得 t 或 t . 化简得 1t5或 13t17. 该船最早能在凌晨 1时进港,最晚在 17 时出港,在港内最多可停留 16 小时.
