1、7.1.27.1.2 弧度制及其与角度制的换算弧度制及其与角度制的换算 课标阐释 1.理解弧度制的定义. 2.掌握角度制与弧度制的换算公式,并能熟练地进行角度与弧度的 换算,熟记特殊角的弧度数. 3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式,并会运用其解决问题. 4.会用信息技术进行弧度制与角度制的换算. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 在日常生活中,一个量常常需要用不同的方法来度量,以此来满足我 们不同的需要.如右图,日晷是我国古代利用日影角度的变化来度量 时间的一种仪器.现在,我们普遍使用的时钟,是用时针、分针和秒针 角度的变化来确定时间的.无论采用哪种方法,度量一个确定的量所 得到的数量必须是
2、唯一确定的.在初中,我们学习过利用角度来度量 角的大小,那么对于角,除了角度制,还可以用其他的方法来度量吗? 答案是肯定的,下面我们就来学习角的另一种度量办法. 激趣诱思 知识点拨 知识点一:弧度制 1.弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角,记作1 rad,这种 以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制. 2.弧度数 弧长与半径比值的这个常数为圆心角的弧度数. 激趣诱思 知识点拨 微练习 下列叙述中,正确的是( ) A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度等于半径长的弧 C.1弧度是1度的弧与1度的角之和 D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一 种度
3、量单位 答案D 激趣诱思 知识点拨 知识点二:角度制与弧度制的换算 1.因为半径为 r 的圆周长为 2r,所以周角的弧度数是2r r =2,于是 360=2 rad,因此 180= rad.由此得到弧度制与角度制的换算公 式:设一个角的角度数为 n,弧度数为 ,则 n 180 = . 激趣诱思 知识点拨 2.特殊角的弧度数. 激趣诱思 知识点拨 名师点析 角度制与弧度制是两种不同的度量单位,在表示角时,两 种不能混用,例如 =k 360+ 6(kZ),=2k+30(kZ)的写法都 是不规范的,应写为 =k 360+30(kZ),=2k+ 6(kZ). 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)1弧度的
4、角比1的角要大.( ) (2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.( ) (3)160化为弧度数是 rad.( ) 答案(1) (2) (3) 8 9 激趣诱思 知识点拨 微练习 下列换算结果错误的是( ) A.60化成弧度是 3 B.-10 3 化成角度是-600 C.-150化成弧度是-7 6 D. 12化成角度是 15 解析-150化成弧度是-5 6,故 C 项错误. 答案C 激趣诱思 知识点拨 知识点三:扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r,弧长为l,为其圆心角,则 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1)在应用公式l=r和 时,要注意的单位是弧 度. (2)在运用公式时,根据已
5、知的是角度数还是弧度数,选择合适的公 式代入. (3)由,r,l,S中的两个量可以求出另外的两个量. S=1 2lr= 1 2r 2 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知扇形AOB的圆心角为120,半径长为6,则 的长 为 ;弓形ACB的面积为 . 解析由 =120=2 3 ,r=6,得 l=r=6 2 3 =4,即 的长为 4. 过点 O作 ODAB 于点 D(图略),易知OBA=30,OD=1 2OB=3. DB= 62-32=3 3, AB=6 3.SAOB=1 2 6 3 3=9 3. 易知 S扇形=1 2lr= 1 2 4 6=12. S弓形=S扇形-SAOB=12-9 3. 答案 4
6、12-9 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 弧度制的概念弧度制的概念 例1下面各命题中,是假命题的为 .(填序号) “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位;1度的角是周 角的 ,1弧度的角是周角的 ;根据弧度的定义,180一定等 于弧度;无论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与所在圆 的半径的长短有关. 解析根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的 大小均与所在圆的半径的长短无关,而是与圆心角的大小有关,所 以是假命题. 答案 1 360 1 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1下列说法正确的是( ) A.1弧度的角与1度的角大小是相等
7、的 B.用弧度制表示角时,都是正角 C.在大小不等的圆中,1弧度的圆心角所对的弧的长度是不同的 D.用角度制和弧度制表示角时,单位都可以省略不写 答案C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 角度制与弧度制的互化角度制与弧度制的互化 例 2(1)将 11230化为弧度为 . 将-5 12 rad 化为角度为 . (2)已知 =15,= 10,=1,=105,= 7 12,试比较 , 的大小. (1)解析因为 1= 180 rad,所以 11230= 180 112.5 rad= 5 8 rad. 因为 1 rad= 180 , 所以-5 12 rad=- 5 12 180 =-75. 答
8、案5 8 rad -75 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2)解(方法一):化为弧度 =15=15 180 = 12,=105=105 180 = 7 12. 显然 12 101 7 12.故 =. (方法二):化为角度 = 10 = 10 180 =18,=157.30, =7 12 180 =105. 显然,151857.30105. 故 =. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 角度制与弧度制互化的关键与方法 (1)关键:抓住互化公式 rad=180是关键; (3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度. (2)方法:度数 180=弧度数;弧度数 1
9、80 =度数; 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练2将下列角度与弧度进行互化: (1)511 6 = . (2)-7 12= . (3)10= . (4)-855= . 解析(1)511 6 =511 6 180 =15 330. (2)-7 12=- 7 12 180 =-105. (3)10=10 180 = 18. (4)-855=-855 180=- 19 4 . 答案(1)15 330 (2)-105 (3) 18 (4)-19 4 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 扇形面积公式、弧长公式的应用扇形面积公式、弧长公式的应用 例3已知扇形的周长为10 cm,
10、则当扇形的半径和圆心角各取何值时, 扇形的面积最大? 解设扇形的半径为 r cm,则弧长为(10-2r)cm, 由题意得 S=1 2(10-2r) r=-r 2+5r =- - 5 2 2 + 25 4 , 所以当 r=5 2 cm 时,Smax= 25 4 cm2. 此时 l=10-2r=5 cm,则 = = 5 5 2 =2 rad. 综上所述,当扇形的半径为5 2 cm,且圆心角为 2 rad 时,扇形的面积最 大. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 弧度制下解决扇形相关问题的步骤 (1)明确弧长公式和扇形的面积公式:l=r, (这里必 须是弧度制下的角) (2)分析
11、题目的已知量和待求量,灵活选择公式. (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解. S=1 2r 2 和 S=1 2lr. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究本例变为:扇形面积为10,当半径r为多少时,扇形的周长最 短? 解设扇形的弧长为 l,周长为 y,由题意知,S=1 2lr=10,则 lr=20(0r10), 周长y=l+2r=2 + 10 ,易证函数y=2 + 10 在(0, 10)内单调递减, 在( 10,10)内单调递增. 故当 r= 10时,ymin=4 10. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 一题多解与弧度有关的实际应用问题一题多解与弧度有关的实
12、际应用问题 典例 在一般的时钟上,自0时开始到分针与时针再一次重合,分针 所转过的角的弧度数是多少?(不考虑旋转方向) 解(方法一)自 0 时(此时时针与分针重合,均指向 12)开始到分针与时 针再一次重合,设时针转过了 x 弧度,则分针转过了(2+x)弧度,而时 针转 1 弧度相当于经过6 h= 360 min,分针转 1 弧度相当于经过30 min, 故有360 x=30 (2+x),解得 x=2 11,故到分针与时针再一次重合时,分针 转过的弧度数是2 11+2= 24 11 . (方法二)设再一次重合时,分针转过的弧度数为 ,则 =12(-2)(再 一次重合时,时针比分针少转了一周,且
13、分针的旋转速度是时针的 12 倍),解得=24 11 ,故到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是 24 11 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 两种方法得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只 不过解题的角度不同而已.方法一是根据时针与分针所走的时间相 等列出方程求解;而方法二则从时针与分针所转过的弧度数入手, 当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数比时针所转过的 弧度数多2,利用时针和分针的旋转速度之间的关系列出方程求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.1 920转化为弧度数是( ) A.16 3 B.32 3 C.16 3 D.32 3
14、解析 1 920=1 920 180 = 32 3 . 答案D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.与 1角终边相同的角的集合是( ) A. = 360 + 180 ,Z B. = 360 + 180 ,Z C. = 2 + 180 ,Z D. = 2 + 180 ,Z 解析角的表示必须保持度量单位一致,即角度制与弧度制不能混用, 排除 A;而 180角与 角对应,于是 1角与 180角对应,故选 C. 答案C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.终边在第四象限的对角线上的角的集合是( ) A. = 4 + ,Z B. = - 4 + ,Z C. = 4 + 2,Z D. = - 4 + 2,Z 答案D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.若2弧度的圆心角所对的弧长是4 cm,则这个圆的半径 r= ,圆心角所在的扇形面积是 . 答案2 cm 4 cm2 解析由 = ,得 4 =2,解得 r=2,S= 1 2lr=4 cm 2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数. 解设扇形的半径为 R,弧长为 l,则 2R+l=4. 根据扇形面积公式 S=1 2lR,得 1 2lR=1. 联立 2 + = 4, 1 2 = 1, 解得 R=1,l=2, 所以 = = 2 1=2.
