1、第第1 1课时课时 两角和与差的正弦两角和与差的正弦 课标阐释 1.掌握两角和与差的正弦公式. 2.能运用两角和与差的正弦公式化简、求值、证明. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 在实际生活中,很多的最优化问题都可以转化为三角函数来解决, 如停车场的设计、通信电缆的铺设、航海、测量等都有三角函数 的影子.求解三角函数问题,都需要三角函数公式转化,今天我们学 习两角和与差的正弦、正切公式及其应用,感受三角函数公式的魅 力. 激趣诱思 知识点拨 知识点一:两角和与差的正弦公式 S+:sin(+)=sin cos +cos sin . S-:sin(-)=sin cos -cos sin . 名师点析
2、(1)S与C一样,对任意角,都成立,是恒等式. (2)明确S与C的区别:sin()=sin cos cos sin ,cos()=cos cos sin sin . 对比公式要注意形式与符号的特点. (3)两角和与差的正弦、余弦公式之间的联系: 激趣诱思 知识点拨 微练习 sin 105= . 解析 sin 105=sin(60+45) =sin 60cos 45+cos 60sin 45= 3 2 2 2 + 1 2 2 2 = 6+ 2 4 . 答案 6+ 2 4 微判断 (1)sin(-)=sin cos -cos sin .( ) (2)sin +sin =sin(+).( ) (3)
3、sin(+-15)=sin(-15)cos +cos(-15)sin .( ) 答案(1) (2) (3) (4) (4)sin 15+cos 15= 2sin 60. ( ) 激趣诱思 知识点拨 知识点二:旋转变换公式 已知点P(x,y),与原点的距离保持不变,逆时针旋转角到点P(x,y), 知识点三:化一公式(辅助角公式) 形如asin +bcos (a,b都不为零)的式子引入辅助角可变形为 Asin(+)的形式,有时也可变形为Acos(+)的形式. asin +bcos = a2 + b2 a a2+b2 sin + b a2+b2cos . 令 cos = a a2+b2,sin =
4、b a2+b2, 则原式= a2+ b2(sin cos +cos sin )= a2 + b2sin(+). 其中 的值由 tan =b a确定, 的终边所在的象限由点(a,b)来确定. 则 x = xcosysin, y = xsin + ycos. 激趣诱思 知识点拨 微练习 函数 f(x)= 3sin x+cos x 的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 f(x)= 3sin x+cos x=2sin x+ 6 .易知 2sin x+ 6 -2,2,故函 数 f(x)的最大值为 2. 答案B 激趣诱思 知识点拨 微记忆 (1)sin xcos x= 2sin x 4
5、; (2)cos xsin x= 2cos x 4 ; (3)sin x 3cos x=2sin x 3 ; (4)cos x 3sin x=2cos x 3 ; (5) 3sin xcos x=2sin x 6 ; (6) 3cos xsin x=2cos x 6 . 由以上不难发现,两角和与差的余弦、正弦公式的逆用也可看成是 化一公式的运用,只不过在做题过程中用到的大都是一些特殊值、 特殊角. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 给值求值给值求值 分析若将cos(+)展开,再联立平方关系求sin 的值运算量大,利用 角的变换=(+)-,两边同时取正弦比较简便. 例 1 已知 , 均
6、为锐角,且 sin = 35 6 ,cos(+)=-1 4,求 sin . 解sin = 35 6 , 为锐角,cos =1 6. cos(+)=-1 40,且 , 均为锐角, 2+. sin(+)= 1- - 1 4 2 = 15 4 ,sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin = 15 4 1 6 + 1 4 35 6 = 15+ 35 24 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 给值求值问题的解题策略 在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当 地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化 异角为同角,具体做法是
7、: (1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究在例1中,试求. 解由例 1 知,sin = 15+ 35 24 . 0, 2 ,=arcsin 15+ 35 24 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用两角和与差的正弦公式化简利用两角和与差的正弦公式化简 例2化简下列各式: (1)sin + 3 +2sin - 3 3cos 2 3 - ; (2)sin(2+) sin -2cos(+). 分析(1)各式中角的形式无法统一,且没有明显的拼角关系
8、,所以只 能利用两角和与差的公式展开后寻求解决办法. (2)观察三个角之间的关系,知2+=+(+),所以首先考虑角的代 换,再利用两角和与差公式化复角为单角. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)原式=sin xcos 3+cos xsin 3+2sin xcos 3-2cos xsin 3 3cos2 3 cos x- 3sin2 3 sin x =1 2sin x+ 3 2 cos x+sin x- 3cos x+ 3 2 cos x-3 2sin x = 1 2 + 1- 3 2 sin x+ 3 2 - 3 + 3 2 cos x=0. (2)原式=sin(+)+-2c
9、os (+)sin sin =sin(+)cos-cos (+)sin sin =sin(+)- sin = sin sin. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 化简三角函数式的标准和要求 (1)能求出值的应求出值; (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少; (3)使三角函数式的次数尽可能低; (4)使分母中尽量不含三角函数式和根式. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 将下列式子写成 Asin(x+)的形式. 2 4 sin 4 - + 6 4 cos 4 - . 解 2 4 sin 4 - + 6 4 cos 4 - = 2 2 1 2
10、sin 4 - + 3 2 cos 4 - = 2 2 sin 4 - cos 3 + cos 4 - sin 3 = 2 2 sin 4 - + 3 = 2 2 sin 7 12 - =- 2 2 sin - 7 12 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 辅助角公式的应用辅助角公式的应用 例 3(1)cos - 3sin 化简的结果可以是( ) A.2sin 6- B.1 2cos 3+ C.1 2sin 3- D.2cos 6- (2)若函数 f(x)=5cos x+12sin x 在 x= 时取得最小值,则 cos 等于 ( ) A. 5 13 B.- 5 13 C.12 1
11、3 D.-12 13 分析利用辅助角公式进行变形. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析(1)cos - 3sin =2 1 2cos - 3 2 sin =2 sin 6cos -cos 6sin =2sin 6- . (2)f(x)=5cos x+12sin x=13 5 13cos x+ 12 13sin x =13sin(x+),其中 sin = 5 13,cos = 12 13,由题意知 +=2k- 2(kZ)得 =2k- 2-(kZ), 所以 cos =cos 2k- 2- =cos 2+ =-sin =- 5 13. 答案(1)A (2)B 反思感悟 把形如 y=as
12、in x+bcos x 的式子化为 y= 2+ 2sin(x+), 可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2(1)函数 f(x)=sin x-cos x,x 0, 2 的最小值为( ) A.-2 B.- 3 C.- 2 D.-1 (2)已知 sin x+ 3 =1 3,则 cos x+cos 3-x 的值为( ) A.- 3 3 B. 3 3 C.-1 3 D.1 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析(1)f(x)= 2sin x- 4 ,因为 0 x 2,所以- 4x- 4 4, - 2 2 sin x- 4
13、2 2 ,所以 f(x)的最小值为-1. (2)cos x+cos 3-x =cos x+ 1 2cos x+ 3 2 sin x=3 2cos x+ 3 2 sin x = 3 sin x+ 3 = 3 3 . 答案(1)D (2)B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 一题多解一题多解两角和与差的正弦求解两角和与差的正弦求解 典例 在ABC 中,sin A+cos A= 2 2 ,求 sin A 的值. 解(方法一)sin A+cos A= 2cos(A-45)= 2 2 , cos(A-45)=1 2. 又 0A180,A-45=60,A=105. sin A=sin 105=s
14、in(45+60) =sin 45cos 60+cos 45sin 60= 2+ 6 4 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (方法二)sin A+cos A= 2sin(A+45)= 2 2 , sin(A+45)=1 2. 0A180,A+45=150,A=105. sin A=sin 105=sin(45+60) =sin 45cos 60+cos 45sin 60= 2+ 6 4 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (方法三)sin A+cos A= 2sin(A+45)= 2 2 , sin(A+45)=1 2. 0A180,90A+45180. cos(A+
15、45)=- 1- 1 2 2 =- 3 2 . sin A=sin(A+45)-45 =sin(A+45)cos 45-cos(A+45)sin 45 =1 2 2 2 - 3 2 2 2 = 2+ 6 4 . 方法点睛 熟悉三角公式是一题多解的基础. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练化简:cos 3 + +sin 6 - . 解(方法一)原式=cos 3cos -sin 3 sin +sin 6cos -cos 6sin =1 2cos - 3 2 sin +1 2cos - 3 2 sin =cos - 3sin =2 1 2 cos- 3 2 sin =2cos 3
16、+ . (方法二)原式=cos 3 + +sin 2 - 3 + =cos 3 + +cos 3 + =2cos 3 + . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.sin 54sin 66+cos 126sin 24=( ) A.- 3 2 B.-1 2 C.1 2 D. 3 2 解析 sin 54sin 66+cos 126sin 24 =sin 54cos 24-cos 54sin 24=sin(54-24)=sin 30=1 2. 答案C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2. 6sin 15+ 2cos 15的值是( ) A. 2 2 B.- 2 2 C.2 D.-
17、2 解析原式=2 2( 3 2 sin 15+1 2cos 15) =2 2(sin 15cos 30+cos 15sin 30) =2 2sin(15+30) =2 2sin 45=2. 答案C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.已知 cos =-3 5, 2 , ,则 sin + 3 = . 解析由题得,sin =4 5,sin + 3 =sin cos 3+cos sin 3 = 1 2sin + 3 2 cos =1 2 4 5 + 3 2 - 3 5 = 4-3 3 10 . 答案4-3 3 10 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.sin(+30)-sin(-30) cos = . 解析 sin(+30)-sin(-30) cos =sincos30 +cossin30 -(sincos30 -cossin30 ) cos =2cos sin30 cos =2sin 30=1. 答案1
