1、7.2.17.2.1 三角函数的定义三角函数的定义 课标阐释 1.理解并掌握任意角的三角函数的定义. 2.能根据任意角的三角函数的定义,分析出三角函数在各象限的符 号,并能根据角的某种三角函数值符号,判断出所在的象限. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 如图所示是光明游乐场的一个摩天轮示意图,它的 中心离地面的高度为h0,它的直径为2R,逆时针方 向匀速转动,转动一周需要360秒. 问题:1.若现在你坐在座舱中,从初始位置OA出发, 过了30秒后,你离地面的高度h为多少?过了45秒呢? 过了t秒呢? 2.建立如图所示直角坐标系,射线OP与单位圆交 于点P,设点P(xP,yP),你能用直角坐标系中角
2、的终 边上的点的坐标来表示锐角的正弦函数吗? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:任意角的正弦、余弦与正切的定义 激趣诱思 知识点拨 对于任意角 来说,P(x,y)是 终边上异于原点的任意一 点,r= x2+ y2,则由三角形相似的知识可知y r 与 x r跟 P 在 终边上的 位置无关,只与角 终边的位置有关.一般地,称y r为角 的正弦,记作 sin ;称x r为角 的余弦,记作 cos .因此 sin = y r,cos = x r. 当角 的终边不在 y 轴上时,同样可知y x与点 P 在 终边上的位置无 关,此时称y x为角 的正切,记作 tan ,即 tan = y x. 由上可知,对于
3、每一个角 ,都有唯一确定的正弦、余弦与之对应;当 k+ 2(kZ)时,有唯一的正切与之对应.角 的正弦、余弦与正切, 都称为 的三角函数. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 已知角 的终边与单位圆交于点 - 3 2 ,-1 2 ,则 sin =( ) A.- 3 2 B.-1 2 C. 3 2 D.1 2 答案B 激趣诱思 知识点拨 微练习 2 如果角 的终边过点 P(2sin 30,-2cos 30),那么 sin =( ) A.1 2 B.-1 2 C.- 3 2 D.- 3 3 解析由题意知 P(1,- 3), 所以 x=1,y=- 3,r=2,即 sin =- 3 2 . 答案C 激趣诱思
4、 知识点拨 知识点二:正弦、余弦与正切在各象限的符号 如果P(x,y)是终边上异于原点的任意一点, , 由r0可知,sin 的正负与终边上点的纵坐标的符号相同,所以,当 且仅当的终边在第一、二象限,或y轴正半轴上时,sin 0;当且仅 当的终边在第三、四象限,或y轴负半轴上时,sin 0;当且 仅当的终边在第二、三象限,或x轴负半轴上时,cos 0;当且仅当的终边在 第二、四象限时,tan 0. r= 2+ 2,则 sin = 激趣诱思 知识点拨 以上结果可用下图直观表示. 名师点析 正弦函数值的符号取决于y轴的符号,它在x轴上方为正, 下方为负;余弦函数值的符号取决于x轴的符号,在y轴右侧为
5、正,左 侧为负;正切函数值符号取决于x轴,y轴的符号,同号为正,异号为负. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 (1)若sin ,cos 都是负数,则是第 象限角. (2)若tan 0,则是第 象限角. 答案(1)三 (2)二或四 激趣诱思 知识点拨 微练习2 判断下列各三角函数值的符号: (1)sin 188;(2)cos - 5 ;(3)tan 160. 解(1)因为 188是第三象限角, 所以 sin 1880. (3)因为 160是第二象限角, 所以 tan 1600,则 r=5a,角 在第二象限,则 sin = = 3 5 = 3 5, cos = = -4 5 =-4 5, tan =
6、= 3 -4=- 3 4; 若 a0,cos 0,故cos sin 0. (2)因为 23,4 3 2 , 3 2 50,cos 40,tan 50. 反思感悟 判断三角函数值在各象限符号的攻略 (1)基础:准确确定三角函数值中各角所在的象限; (2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号; (3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象 限判断错误. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 如果 是第二象限的角,判断sin(cos) cos(sin)的符号. 解 是第二象限的角, -1cos 0,0sin 1. sin(cos )0.sin(cos) cos(
7、sin)0,cos x0, tan x0, 原式=sin sin + cos cos + tan tan=3. 当 x是第二象限的角时,sin x0,cos x0,tan x0, 原式=sin sin + cos -cos + tan -tan =-1. 当 x是第三象限的角时,sin x0,cos x0, 原式= sin -sin + cos -cos + tan tan=-1. 当 x是第四象限的角时,sin x0,tan x0, 原式= sin -sin + cos cos + tan -tan =-1. 综上可知, sin |sin| + cos |cos | + tan |tan |
8、的值为 3或-1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 简单的三角函数的化简求值,因给出的式子中含绝对值 符号,所以要分类讨论,分类一定要全,求值一定要准. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 已知角 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 P(4,y)是角 终边上一点,且 sin =-2 5 5 ,则 y= . 解析因为 sin = 2+2=- 2 5 5 ,且 sin 0,所以 y0,所以 16+2=- 2 5 5 , 则 y2=64.解得 y=-8. 答案-8 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 分类讨论思想在三角函数定义中的应用分类
9、讨论思想在三角函数定义中的应用 典例 已知角的终边落在直线y=2x上,求sin ,cos ,tan 的值. 解当角 的终边在第一象限时,在角 的终边上取点 P(1,2).设点 P 到原点 O 的距离为 r, 则 r=|OP|= 12+ 22= 5, 得 sin = 2 5 = 2 5 5 ,cos = 1 5 = 5 5 ,tan =2 1=2. 当角 的终边在第三象限时,在角 的终边上取点 Q(-1,-2), 则 r=|OQ|= (-1)2+ (-2)2= 5,得 sin = -2 5 =-2 5 5 ,cos = -1 5 =- 5 5 ,tan =-2 -1=2. 探究一 探究二 探究三
10、 素养形成 当堂检测 方法点睛 直线y=2x被点(0,0)分成两条射线,故的终边有两种情况, 需分类讨论. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练已知 sin =3 5,求 cos ,tan 的值. 解sin =3 5 = , 设 y=3a,r=5a(a0), x= 2-2=4a. 当 x=4a 时,cos =4 5,tan = 3 4, 当 x=-4a 时,cos =-4 5,tan =- 3 4. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.已知角的终边经过点(-4,3),则cos =( ) 答案A 2.若tan sin 0,则是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角
11、 C.第三象限的角 D.第四象限的角 答案B A.-4 5 B.3 5 C.3 D.-4 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.判断下列各式的符号(填“”或“”): (1)sin 328 0; 解析(1)因为270328360,所以328是第四象限角,所以sin 3280. 答案(1) (2) (3) (2)cos5 4 0; (3)tan6 7 0. (2)因为 5 4 3 2,所以 5 4 是第三象限角,所以 cos 5 40. (3)因为1 2 6 7,所以 6 7是第二象限角,所以 tan 6 70. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.已知角 的终边经过点 P(
12、-x,-6),且 cos =- 5 13, 则 1 sin + 1 tan = . 解析角 的终边经过点 P(-x,-6),且 cos =- 5 13,cos = - 2+36=- 5 13, 解得 x=5 2, P - 5 2 ,-6 ,sin =-12 13,tan = 12 5 , 则 1 sin + 1 tan =- 13 12 + 5 12=- 2 3. 答案-2 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.角 终边上存在一点 P - 4 5 , 3 5 ,且 cos tan 0.求 sin +cos 的值. 解因为 cos = - 4 5 25 252 =- 4 5 |m|,tan = 3 5 -4 5 =-3 4, 所以cos tan = -4|4 5(-3) = 16| 15 0. 所以 m0.所以 cos =4 5,sin = 3 5 1 2 = 3| 5 =-3 5. 所以 sin +cos =-3 5 + 4 5 = 1 5.
