1、7.3.37.3.3 余弦函数的性质与图像余弦函数的性质与图像 课标阐释 1.理解余弦函数的性质,会求余弦函数的周期、单调区间及最值. 2.能正确使用“五点法”“图像变换法”作出余弦函数y=cos x和 y=Acos(x+)的图像,能体会正弦曲线和余弦曲线的关系,并能利 用余弦函数的图像和性质来解决相关的综合问题. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰电掣、有惊无险的 快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多原理,人们在设计过 山车时巧妙地运用了这些原理.一个基本的过山车构造中,包含了 爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径. 问题:1.函数y
2、=cos x的图像也像过山车一样“爬升”“滑落”,这是 y=cos x的什么性质? 2.过山车爬升到最高点,接着滑落到最低点,然后再爬升,对应y=cos x的什么性质?y=cos x在什么位置取得最值? 激趣诱思 知识点拨 知识点一:余弦函数的性质与图像 1.余弦函数:对于任意一个角x,都有唯一确定的余弦cos x与之对应, 所以y=cos x是一个函数,一般称为余弦函数. 2.余弦函数的性质与图像 性质与图像 y=cos x 定义域 R 值域 -1,1 周期性 最小正周期为2 奇偶性 偶函数 单调性 在-+2k,2k(kZ)上递增;在2k,2k+(kZ) 上递减 激趣诱思 知识点拨 3.余弦
3、曲线:函数y=cos x的图像称为余弦曲线. 激趣诱思 知识点拨 微练习1 (多选)对于余弦函数y=cos x的图像,有以下描述,其中正确的有 ( ) A.将0,2内的图像向左、向右无限延展 B.与y=sin x的图像形状完全一样,只是位置不同 C.与x轴有无数个交点 D.关于y轴对称 激趣诱思 知识点拨 解析余弦函数y=cos x的图像,是将0,2内的图像向左、向右无限 “重复”得到的,不是延展,因为延展可能是拉伸,故A错误;正弦函数 y=sin x的图像向左平移 个单位,会与y=cos x的图像重合,故B正确; 当x=k+ (kZ)时,y=cos x=0,故余弦函数y=cos x的图像与x
4、轴有 无数个交点,故C正确;余弦函数y=cos x是偶函数,其图像关于y轴对 称,故D正确. 答案BCD 2 2 激趣诱思 知识点拨 微练习2 函数y=2cos x-1的最大值是 ,周期是 ,单调 递增区间为 . 答案1 2 2k-,2k,kZ 激趣诱思 知识点拨 知识点二:余弦型函数y=Acos(x+)(A0,0)的性质 函数 y=Acos(x+)(A0,0) 定义域 R 值域 -A,A,最小值为-A,最大值为A 周期性 最小正周期 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知函数 f(x)=sin x- 2 (xR),下面结论错误的是( ) A.函数 f(x)是奇函数 B.函数 f
5、(x)的最小正周期为 2 C.函数 f(x)在区间 0, 2 上单调递增 D.函数 f(x)的图像关于直线 x=0 对称 激趣诱思 知识点拨 解析 f(x)=sin x- 2 =-cos x f(x)=-cos x 是偶函数,A 错误;f(x)=-cos x 的最小正周期T=2,B正确;y=cos x在 0, 2 上单调递减,故f(x)=-cos x 在 0, 2 上单调递增,C 正确;由图像(图像略)知 f(x)=-cos x 的图像 关于直线 x=0 对称,D 正确. 答案A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 例 1(1)(2020 辽宁葫芦岛高
6、一检测)函数 f(x)=5cos 3x+4 5 的一个单 调递减区间是( ) A. -4 15 , 2 15 B. -4 15 , 15 C. - 15 , 2 15 D. -2 5 , 15 (2)(2020 山东济南高一检测)设 a=cos 12,b=sin 41 6 ,c=cos7 4 ,则( ) A.acb B.cba C.cab D.bca 分析(1)先求出函数在定义域上的单调递减区间,再验证. (2)利用诱导公式化到一个单调区间,再利用单调性比较. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析(1)f(x)=5cos 3x+4 5 , 由 2k3x+4 5 +2k(kZ), 得
7、2 3 4 15x 2 3 + 15(kZ), 所以 -4 15 , 15 是 f(x)的一个单调递减区间. (2)sin41 6 =sin 8-7 6 =-sin7 6 =sin 6=cos 3,cos 7 4 =cos 2- 4 =cos - 4 =cos 4, 因为 y=cos x 在 0, 2 上单调递减, 所以 cos 12cos 4cos 3,即 acb. 答案(1)B (2)A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.余弦型函数单调区间的求法 (1)如果x的系数为负,则利用诱导公式变为正. (2)将x+看作整体,代入到余弦函数的单调区间解出x的范围. (3)若求
8、具体的或一个范围内的单调区间,则给k赋值,即可求出符合 条件的单调区间. 2.关于三角函数值比较大小 利用诱导公式,统一成正弦或余弦函数,统一化到一个单调区间内, 利用单调性比较大小. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 函数 y=1 2cos 6-2x 的单调递增区间是 . 解析函数 y=1 2cos 6-2x = 1 2cos 2x- 6 , 令-+2k2x- 62k,kZ, 解得-5 12+kx 12+k,kZ, 所以函数 y=1 2cos 2x- 6 的单调递增区间是 -5 12+k, 12+k ,kZ. 答案 -5 12+k, 12+k ,kZ 探究一 探究二
9、探究三 素养形成 当堂检测 余弦函数的奇偶性、对称性余弦函数的奇偶性、对称性 例 2(1)(2020 甘肃天水高一检测)函数 y=3cos 2x- 3 图像的一条对 称轴可以是( ) A.x=-2 3 B.x=2 3 C.x=-5 12 D.x=5 12 (2)(2020 山东济宁高一检测)函数 y=3cos 2x+4(xR)是( ) A.最小正周期为 的偶函数 B.最小正周期为 2 的偶函数 C.最小正周期为 的奇函数 D.最小正周期为 2 的奇函数 (3)已知 是常数,如果函数 y=5cos 1 2 + 的图像关于点 4 3 ,0 中 心对称,那么|的最小值为 . 探究一 探究二 探究三
10、素养形成 当堂检测 分析(1)令 2x- 3=k,解出 x 后验证. (2)根据周期公式和偶函数的定义解题. (3)将4 3 代入,令 2 4 3 += 2+k 表示出 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析(1)根据函数 y=3cos 2- 3 的图像,要求函数的对称轴方程,令 2x- 3=k(kZ),解得 x= 2 + 6(kZ),当 k=1 时,一条对称轴可以是 x=2 3 . (2)函数 f(x)=3cos 2x+4,由于 xR,f(-x)=3cos(-2x)+4=f(x),故函数为 偶函数,最小正周期为 T=2 2 =. (3)函数的图像关于点 4 3 ,0 中心对称,
11、所以 f 4 3 =5cos 1 2 4 3 + =5cos 2 3 + =0,即2 3 +=k+ 2(kZ),解得 =k- 6(kZ),当 k=0 时,=- 6.所以|的最小值为 6. 答案(1)B (2)A (3) 6 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 关于余弦型函数y=Acos(x+)的对称问题 (1)令 x+=k 可解出对称轴,令 x+= 2+k可解出对称中心. (2)若已知 x= 是对称轴,(,0)是对称中心,则代入 ,得 +=k或 2+k,可求 或 . (3)特别地,当 =k,kZ 时,函数为偶函数;当 = 2+k,kZ 时,函数 为奇函数. 探究一 探究二 探
12、究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2(1)(2020 湖南娄底高一检测)函数 f(x)=3cos 4 + 5 6 图 像的一个对称中心是( ) A. 12 ,0 B. 6 ,0 C. 3 ,0 D. 5 6 ,0 (2)若函数 f(x)=cos 3 + 是奇函数,其中 0,则 = . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析(1)对于函数 f(x)=3cos 4 + 5 6 的图像,令 4x+5 6 =k+ 2,求得 x= 4 12,当 k=1 时得函数 f(x)的一个对称中心是 6 ,0 . (2)因为函数 f(x)=cos 3 + 是奇函数,可得 f(x)=sin 3,又 0,
13、则 = 2. 答案(1)B (2) 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 与余弦函数有关的值域问题与余弦函数有关的值域问题 例 3 求下列函数的值域. (1)y=-2cos x-1; (2)y=2cos 2 + 3 ,x - 6 , 6 ; (3)y=cos2x-3cos x+2; (4)y= 2-cos 2+cos. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)因为-1cos x1, 所以-2-2cos x2. 所以-3-2cos x-11. 所以 y=-2cos x-1 的值域为-3,1. (2)因为- 6x 6,所以 02x+ 3 2 3 . 所以-1 2cos 2 +
14、 3 1. 所以 y=2cos 2 + 3 ,x - 6 , 6 的值域为(-1,2). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (3)令 t=cos x,因为 xR,所以 t-1,1. 所以原函数化为 y=t2-3t+2= - 3 2 2 1 4. 所以二次函数图像开口向上,直线 t=3 2为对称轴. 所以 t-1,1为函数的单调递减区间. 所以 t=-1 时,ymax=6;t=1 时,ymin=0. 所以 y=cos2x-3cos x+2 的值域为0,6. (4)y= 2-cos 2+cos = -(2+cos)+4 2+cos = 4 2+cos-1. 因为 12+cos x3,所以
15、4 3 4 2+cos4. 所以1 3 4 2+cos-13. 所以 y= 2-cos 2+cos的值域为 1 3 ,3 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求值域或最大值、最小值问题的一般依据及方法 (1)sin x,cos x的有界性,即|sin x|1,|cos x|1; (2)sin x,cos x的单调性,通常结合函数图像来解决; (3)化为sin x=f(y)或cos x=f(y),再利用|f(y)|1来确定; (4)通过换元转化为二次函数问题,换元时注意变量范围的一致性. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 求下列函数的值域. (1)y
16、=sin2x+2cos x-2; (2)y=sin2x-cos x,x - 4 , 4 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)y=sin2x+2cos x-2 =-cos2x+2cos x-1=-(cos x-1)2. -1cos x1,-4-(cos x-1)20, 函数 y=sin2x+2cos x-2 的值域为-4,0. (2)y=sin2x-cos x=1-cos2x-cos x =- cos + 1 2 2 + 5 4. - 4x 4, 2 2 cos x1, 当 x= 4,即 cos x= 2 2 时,ymax=1- 2 2 ; 当 x=0,即 cos x=1 时
17、,ymin=-1.故函数 y=sin2x-cos x,x - 4 , 4 的值域 为 -1, 1- 2 2 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 应用数形结合法解三角不等式应用数形结合法解三角不等式 典例 求 cos 2 + 3 1 2的 x 的取值范围. 审题视角先用数形结合法解不等式 cos u1 2,再利用整体代换法求 出 x 的取值范围. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解令 2x+ 3=u,由图知,满足 cos u 1 2的 u 的取值范围是 2 + 3,2k+ 5 3 ,kZ, 则 2k+ 32x+ 32k+ 5 3 ,kZ, 解得 kxk+2 3 ,kZ,即
18、 x 的取值范围为 k,k+2 3 ,kZ. 方法点睛 结合函数图像解不等式,可使抽象问题直观化. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练求函数 y= 2sin2 + cos-1的定义域. 解为使函数有意义,需满足 2sin2x+cos x-10, 即 2cos2x-cos x-10,解得-1 2cos x1. 由余弦函数的图像(如图), 可得 2- 2 3 2 + 2 3 ,Z . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.函数 y=cos + 3 ,x 0, 2 的值域是( ) A. - 3 2 , 1 2 B. - 1 2 , 3 2 C. 3 2 ,1 D. 1 2
19、 ,1 解析0 x 2, 3x+ 3 5 6 , 因此- 3 2 cos + 6 1 2. 答案A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.函数f(x)=cos(sin x)( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 解析函数的定义域为R,f(-x)=cossin(-x)=cos(-sin x) =cos(sin x)=f(x),所以函数f(x)=cos(sin x)是偶函数. 答案B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.(多选)已知函数f(x)=cos x,下列结论不正确的是( ) A.函数y=f(x)的最小正周期为2 B.
20、函数y=f(x)在区间(-,0)内单调递减 C.函数y=f(x)的图像关于x=轴对称 D.把函数y=f(x)的图像向左平移 个单位可得到y=sin x的图像 2 解析由题意,函数f(x)=cos x其最小正周期为2,故A正确.函数在 (-,0)上单调递增,故B不正确;函数的对称轴方程是x=k(kZ),当 k=1时,x=,故C正确;把函数的图像向左平移 个单位可得 y=cos x+ 2 =-sin x 的图像,故 D 不正确,应选 BD. 答案BD 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.函数 y=-cos 2 - 3 的单调递增区间是 ,对称轴方程 为 . 答案 4 + 2 3 ,4 + 8 3 (kZ) x=2k+2 3 (kZ) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.曲线 C1:y=cos 2 + 4 经过怎样的变换可以变化到曲线 C2:y=cos 3- 6 ?请写出一种变换方法. 解曲线 C1变化为 C2需要两次变换,按先伸缩后平移法. 第一次,横坐标变为原来的2 3,纵坐标不变,得曲线 C1:y1=cos 3 + 4 ; 第二次,设将曲线 C1平移 个单位能得到 C2,则 3+ 4=- 6,得 =- 5 36, 负号代表向右平移,故第二次,将曲线 C1向右平移5 36个单位,得曲线 C2.
