1、第第2 2课时课时 两角和与差的正切两角和与差的正切 课标阐释 1.理解两角和与差的正切公式的推导过程. 2.掌握两角和与差的正切公式的结构特征,能正用、逆用和变形用 公式进行化简、求值和证明. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 我们知道,在测量不可达建筑物时,一般要用到三角函数的方法.例 如要测量中央电视塔的高度,就要在地面上选一条基线,以基线为 边构造出直角三角形,利用正切函数以及两角和与差的正切值计算 而得.那么两角和与差的正切公式是怎样的呢? 激趣诱思 知识点拨 知识点:两角和与差的正切公式 T+:tan(+)= + 1-, T-:tan(-)= - 1+. 名师点析 (1)在两角和与差的
2、正切公式中, 和 的取值应使分母 不为零.公式T+和T-中,需k+ 2(kZ),k+ 2(kZ),且前者需 满足 +k+ 2(kZ),后者需满足 -k+ 2(kZ). (2)当 tan ,tan ,tan(+)或 tan(-)中的任一个值不存在时,不能使 用公式 T+或 T-处理某些相关问题,但可改用诱导公式或其他方 法.例如,化简tan 2 - ,因为tan 2不存在,所以不能用公式T-,但可改 用诱导公式来化简:tan 2 - = sin 2- cos 2- = cos sin = 1 tan. 激趣诱思 知识点拨 微练习 tan 105= . 解析 tan 105=tan(45+60)=
3、tan45 +tan60 1-tan45 tan60 =-2- 3. 答案-2- 3 微判断 (1)tan +tan =tan(+). ( ) (2)tan(-)= tan -tan 1+tantan对于一切 , 均成立. ( ) (3)tan(+)(1-tan tan )=tan +tan . ( ) (4) 1-tan 1+tan=tan 5 4 - . ( ) 答案(1) (2) (3) (4) 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用公式化简求值利用公式化简求值 例 1 求下列各式的值: (1)tan 15; (2)1- 3tan75 3+tan75 ; (3)tan 23+t
4、an 37+ 3tan 23tan 37. 分析把非特殊角转化为特殊角如(1)及公式的逆用如(2)与活用 如(3),通过适当的变形变为可以使用公式的形式,从而达到化简或 求值的目的. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)tan 15=tan(45-30) = tan45 -tan30 1+tan45tan30 = 1- 3 3 1+ 3 3 = 3- 3 3+ 3=2- 3. (2)1- 3tan75 3+tan75 = 3 3 -tan75 1+ 3 3 tan75 = tan30 -tan75 1+tan30 tan75 =tan(30-75)=tan(-45) =-tan
5、 45=-1. (3)tan(23+37)=tan 60=tan23 +tan37 1-tan23 tan37 = 3,tan 23+tan 37= 3(1-tan 23tan 37).原式= 3(1-tan 23tan 37)+ 3tan 23tan 37= 3. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 (1)公式T+,T-是变形较多的两个公式,公式中有tan tan ,tan +tan (或tan -tan ),tan(+)(或tan(-).三者知二可表 示或求出第三个. (2)一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式
6、训练 1 求下列各式的值: (1) cos75 -sin75 cos75 +sin75; (2)tan 36+tan 84- 3tan 36tan 84. 解(1)原式= 1-tan75 1+tan75 = tan45 -tan75 1+tan45 tan75 =tan(45-75)=tan(-30) =-tan 30=- 3 3 . (2)原式=tan 120(1-tan 36tan 84)- 3tan 36tan 84 =tan 120-tan 120tan 36tan 84- 3tan 36tan 84 =tan 120=- 3. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 条件求值条件
7、求值(角角)问题问题 例2如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴 为始边作两个锐角,它们的终边分别与 单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标 分别为 (1)求tan(+)的值; (2)求+2的值. 分析先由任意角的三角函数定义求出cos ,cos ,再求sin ,sin ,从 而求出tan ,tan ,然后利用T+求tan(+),最后利用 +2=(+)+,求tan(+2)进而得到+2的值. 2 10 , 2 5 5 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解由条件得 cos = 2 10,cos = 2 5 5 , , 为锐角, sin =7 2 10 ,sin = 5 5 ,
8、tan =7,tan =1 2. (1)tan(+)= tan+tan 1-tan tan = 7+1 2 1-71 2 =-3. (2)tan(+2)=tan(+)+ = tan(+)+tan 1-tan (+)tan = -3+1 2 1-(-3)1 2 =-1, , 为锐角,0+23 2 ,+2=3 4 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.通过先求角的某个三角函数值来求角. 2.选取函数时,应遵照以下原则: (1)已知正切函数值,选正切函数. 3.给值求角的一般步骤: (1)求角的某一三角函数值. (2)确定角的范围. (3)根据角的范围写出所求的角. (2)已
9、知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是 0, 2 ,选 正、 余弦皆可;若角的范围是(0,),选余弦较好;若角的范围为 - 2 , 2 , 选正弦较好. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2(1)已知 2 , ,sin =3 5,求 tan + 4 的值. (2)如图所示,三个相同的正方形相接,试计算 + 的大小. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)因为 sin =3 5,且 2 , , 所以 cos =-4 5, 所以 tan =sin cos = 3 5 -4 5 =-3 4, 故 tan + 4 = tan+tan 4 1-tan tan
10、4 = -3 4+1 1- -3 4 = 1 7. (2)由题图可知 tan =1 3,tan = 1 2,且 , 均为锐角,所以 tan(+)= tan+tan 1-tan tan = 1 3+ 1 2 1-1 3 1 2 =1. 因为 +(0,),所以 += 4. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 两角和与差的正切公式的变形应用两角和与差的正切公式的变形应用 分析化简条件求出tan A,tan C求出角A,C判断形状 例 3 已知ABC 中,tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3, 且 3tan A+ 3tan B+1=tan Atan B,判断ABC 的形状.
11、解由 tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C)=tan +tan tantan-1 = 3- 3tantan tantan-1 =- 3, 又 0A180,A=120.由 tan C=tan-(A+B)=tan +tan tantan-1 = tan+tan 3tan+ 3tan = 3 3 , 又 0C180, C=30,B=30. ABC 是顶角为 120的等腰三角形. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 公式 T+的逆用及变形应用的解题策略 (1)“1”的代换:在 T+中,如果分子中出现“1”常利用 1=tan 45来代 换,以达到化简求值的目的,如 1-ta
12、n 1+tan=tan 4 - ; 3tan + 3 1-tan = 3tan + 4 . (2)整体意识:若化简的式子中出现了“tan tan ”及“tan tan ”两 个整体,常考虑 tan()的变形公式. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究例题中把条件改为“tan B+tan C- 3tan Btan C=- 3, 且 3 3 tan A+ 3 3 tan B+1=tan Atan B”,结果如何? 解由 tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C)=tan +tan tantan-1 = 3tantan- 3 tantan-1 = 3. 又 0A180,所以
13、A=60. 由 tan C=tan-(A+B)=tan +tan tan tan-1 = tan +tan 3 3 tan+ 3 3 tan = 3. 又 0C180,所以 C=60,所以 B=60. 所以ABC 是等边三角形. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 活用公式求值活用公式求值 在运用两角和与差的正切公式时,要注意公式的正用、逆用、变形 用. 如:T可变形为如下几个公式 tan tan =tan()(1tan tan ); 1tan tan =tantan tan () . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 典例 不查表求值. (2)tan 17+tan 28+t
14、an 17tan 28; (3)tan 17tan 43+tan 17tan 30+tan 43tan 30. (1)1+tan75 1-tan 75 ; 解(1)1+tan75 1-tan75 = tan45 +tan75 1-tan45 tan75 =tan(45+75)=- 3. (2)tan 17+tan 28+tan 17tan 28=tan(17+28) (1-tan 17tan 28)+tan 17tan 28=1. (3)原式=tan 17tan 43+ 3 3 (tan 17+tan 43)=tan 17tan 43+ 3 3 tan(17+43)(1-tan 17tan 4
15、3)=1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 (1)利用tan 45=1代入求解;(2)(3)利用正切公式的变形 公式求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.若 sin =3 5,tan(+)=1,且 是第二象限角,则 tan 的值是( ) A.4 3 B.-4 3 C.7 D.1 7 解析 是第二象限角, cos =-4 5,tan =- 3 4,tan =tan(+)-= tan(+)-tan 1+tan(+)tan=7. 答案C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.tan 15+tan 75=( ) A.4 B.2 3 C.1 D.2 解析
16、因为 tan 15=tan(45-30)= tan45 -tan30 1+tan45 tan30 =2- 3, tan 75=tan(45+30)=tan45 +tan30 1-tan45 tan30 =2+ 3, 所以 tan 15+tan 75=4,故选 A. 答案A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.若 tan + 4 =- 3 5,则 tan = ,tan - 4 = . 解析 tan + 4 = tan+tan 4 1-tan tan 4 = tan+1 1-tan =-3 5,tan =-4. tan - 4 = tan -1 1+tan = -5 -3 = 5 3. 答案-4 5 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.计算(1+tan 10)(1+tan 35)= . 解析tan 45=tan(10+35)=tan10 +tan35 1-tan10 tan35 =1, tan 10+tan 35=1-tan 10tan 35. (1+tan 10)(1+tan 35)=1+tan 10+tan 35+tan 10tan 35=2. 答案2 5.若 tan(+)=5,tan 2=-4 7,求 tan(-)的值. 解 tan(-)=tan2-(+) = tan2 -tan(+) 1+tan2 tan(+)=3.
