1、6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 课标阐释 思维脉络 1.进一步理解分类加法计数原理 和分步乘法计数原理的联系与区 别.(逻辑推理) 2.会综合应用这两个计数原理解 决问题.(数学运算) 激趣诱思 知识点拨 电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞 猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由 主持人抽奖决定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中 各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的选择? 激趣诱思 知识点拨 两个计数原理的联系与区别 1.联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、 最重要的方法. 激趣诱思
2、知识点拨 2.区别 类型 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别 一 完成一件事共有n类方案,关 键词是“分类” 完成一件事共有n个步骤,关键 词是“分步” 区别 二 每类方案中的每种方法都能 独立地完成这件事,它是独 立的、一次的且每种方法得 到的都是最后结果,只需一 种方法就可完成这件事 除最后一步外,其他每步得到的 只是中间结果,任何一步都不能 独立完成这件事,缺少任何一步 也不能完成这件事,只有各个步 骤都完成了,才能完成这件事 区别 三 各类方案之间是互斥的、并 列的、独立的 各步之间是关联的、独立的,“ 关联”确保不遗漏,“独立”确保 不重复 激趣诱思 知识点拨 名师点析处理具体
3、问题时,一是合理分类,准确分步:分类时,要不重 不漏;分步时,要合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰.对于一些较 复杂的题目,往往既要分类又要分步. 二是特殊优先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的计数问题 时,应优先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其 他位置. 激趣诱思 知识点拨 微思考 分类“不重不漏”的含义是什么? 提示:分类时,首先要根据问题的特点确定一个分类标准,然后在这 个标准下进行分类.一般地,标准不同,分类的结果也不同;其次,分类 时要注意满足一个基本要求:完成这件事的任何一种方法必须属于 且只能属于某一类方案.简单地说,就是应用分类加法计数原理时 要做到“不重
4、不漏”. 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1)某小组有8名男生、6名女生,从中任选男生、女生各一名去参加 座谈会,则不同的选法有( ) A.48种 B.24种 C.14种 D.12种 (2)一项工作可以用两种方法完成,有3人会用第1种方法完成,有5人 会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这项工作,不同的选法种 数是( ) A.8 B.15 C.16 D.30 (3)用数字2,3组成四位数,且数字2,3都至少出现一次,这样的四位数 共有 个. 激趣诱思 知识点拨 解析:(1)从8名男生中任意挑选一名参加座谈会,有8种不同的选法; 从6名女生中任意挑选一名参加座谈会,有6种不同的选法.由分步 乘法
5、计数原理知,不同选法共有86=48(种).(2)第1类,从会第1种方 法的3人中选1人,有3种不同的选法;第2类,从会第2种方法的5人中 选1人,有5种不同的选法,共有5+3=8(种)不同的选法.(3)可用排除 法,这个四位数每一位上的数只能是2或3,则这样的四位数共有24个. 而题目要求数字2,3都至少出现一次,所以全是2或全是3的四位数 不满足,即满足要求的四位数有24-2=14(个). 答案:(1)A (2)A (3)14 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 组数问题组数问题 例1用0,1,2,3,4五个数字, (1)可以组成多少个三位数字的电话号码? (2)可以组成多少个三位数
6、? (3)可以组成多少个能被2整除的无重复数字的三位数? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:(1)三位数字的电话号码,百位上的数字可以是0,数字也可以重 复,每个位置上的数字都有5种取法,可以组成555=53=125(个) 三位数字的电话号码. (2)三位数的百位上的数字不能为0,但可以有重复数字,首先考虑百 位上的数字的取法,除0外共有4种取法,个、十位上的数字可以取0, 因此,可以组成455=100(个)三位数. (3)被2整除的数即偶数,个位数字可取0,2,4,因此,可以分两类,一类 是个位数字是0,可以组成43=12(个)三位数;一类是个位数字不是 0,则个位上的数字有2
7、种取法,即2或4,再考虑百位上的数字,因为0 不能是百位上的数字,所以有3种取法,十位有3种取法,因此有 233=18(个)三位数.因而有12+18=30(个)三位数.即可以组成30 个能被2整除的无重复数字的三位数. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位 奇数? 解:完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分四步:第1步定 个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法;第2步定千位,把1,2,3,4中除 去用过的一个数,在剩下的3个数中任取一个,有3种方法;第3步,第4 步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位,有3种方法,再排十
8、位,有 2种方法.由分步乘法计数原理知共能组成2332=36(个)无重 复数字的四位奇数. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 对于组数问题应掌握的原则 (1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键. 一般按特殊位置分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策 略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解. (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高 位. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数 字的三位数,其中奇数的个数为( ) A.24 B.18 C.
9、12 D.6 解析:由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况: 奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析 (3种情况),之后十位(2种情况),最后百位(2种情况),共12种情况;如 果是第二种偶奇奇的情况,则个位(3种情况),十位(2种情况),百位(不 能是0,一种情况),共6种.因此总共有12+6=18(种)情况.故选B. 答案:B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 抽取抽取(分配分配)问题问题 例2高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践, 其中甲工厂必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则不同的 分配方案有( ) A.16种 B.1
10、8种 C.37种 D.48种 思路分析:解决此类问题可以用直接法先分类再分步,也可用排除 法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解析:(方法一 直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类. 第1类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种; 第2类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂,其分配方 案有33=9(种); 第3类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分配 方案有333=27(种). 综上所述,不同的分配方案共有1+9+27=37(种). (方法二 间接法) 先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工厂无人去的 情况,即有444-333
11、=37(种)不同的分配方案. 答案:C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 解决抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法 或图表法. (2)当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法:直接使用分类加 法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按 分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.间接法.去掉限 制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取 方法数即可. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练2 7名学生中有3名学生会下象棋但不会下围棋,有2名学 生会下围棋但不会下象棋,另2名学生
12、既会下象棋又会下围棋.现从 中选出会下象棋和会下围棋的学生各1人参加比赛,共有多少种不 同的选法? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2 名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理 得N1=32=6(种). 第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名 既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法 计数原理得N2=32=6(种). 第3类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛, 同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计 数原理得N3=22=
13、4(种). 第4类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛, 另一名参加围棋比赛,有N4=2种. 综上,由分类加法计数原理可知,不同选法共有 N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18(种). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 涂色问题涂色问题 例3将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个 小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以 反复使用,共有多少种不同的涂色方法? 思路分析:注意考虑不相邻区域颜色是否相同. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:第1个小方格可以从五种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同 的涂法. 当
14、第2个、第3个小方格涂不同颜色时,有43=12(种)不同的涂 法,第4个小方格有3种不同的涂法,由分步乘法计数原理可知有 5123=180(种)不同的涂法. 当第2个、第3个小方格涂相同颜色时,有4种涂法,由于相邻两格 不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步乘法计数原 理可知有544=80(种)不同的涂法. 由分类加法计数原理可得共有180+80=260(种)不同的涂法. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例中的区域改为如图所示,其他条件均不变,则不同的 涂法共有多少种? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解:依题意,可分两类:不同色;同色. 第1
15、类,不同色,则所涂的颜色各不相同,我们可将这件 事情分成四步来完成. 第1步涂,从5种颜色中任选一种,有5种涂法; 第2步涂,从余下的4种颜色中任选一种,有4种涂法; 第3步涂与第4步涂时,分别有3种涂法和2种涂法. 于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法为5432=120(种). 第2类,同色,则不同色,我们可将涂色工作分成三步来完 成. 第1步涂,有5种涂法;第2步涂,有4种涂法;第3步涂,有3种涂 法. 于是由分步乘法计数原理得,不同的涂法有543=60(种). 综上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(种). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 解决涂色(种植)
16、问题的一般思路 涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有几种常用方法: (1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析. (2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类 加法计数原理分析. (3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题. 种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理计数或按种 植品种恰当选取情况分类,用分类加法计数原理计数. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练3如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱柱 ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂 色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻
17、的面均不同色,则不同的涂色方案 共有 种. 解析:先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,再涂三棱柱的三个侧面,由分 步乘法计数原理,共有3212=12(种)不同的涂法. 答案:12 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 元素重复选取的计数问题元素重复选取的计数问题 典例(1)5名学生从4项体育项目中选取一项参赛,若每一名学生只能 参加一项,则有多少种不同的参赛方法? (2)若5名学生争夺4项比赛冠军(每一名学生参赛项目不限,没有并 列冠军),则冠军获得者有几种不同情况? 解:(1)每名学生都可从4项体育项目中选一项,有4种选法,故5名学 生的参赛方法有44444=45=1 024(种). (2
18、)每个冠军皆有可能被5名学生中任1人获得,则冠军获得者的不同 情况有5555=54=625(种). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 解答这类问题,切忌死记公式“mn”和“nm”.而应弄清哪类 元素必须用完,从而以它为主进行分析,再用分步乘法计数原理求 解.实际上,哪类元素允许重复选取,就以哪类元素的个数为幂的底 数. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶 数的不同取法的种数为( ) A.30 B.20 C.10 D.6 解析:从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两个不同的数字相加,和为偶
19、数 可分为两类,取出的两数都是偶数,共有3种取法;取出的两数都 是奇数,共有3种取法.故由分类加法计数原理得,共有N=3+3=6(种) 取法. 答案:D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两个端 点异色,若只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法共有( ) A.48种 B.72种 C.96种 D.108种 解析:设四棱锥为P-ABCD. 当A,C颜色相同时,先染P有4种方法,再染A,C有3种方法,然后染B有 2种方法,最后染D也有2种方法.根据分步乘法计数原理知,共有 4322=48(种)方法;当A,C颜色不相同时,先染P有4种方法
20、,再 染A有3种方法,然后染C有2种方法,最后染B,D都有1种方法.根据分 步乘法计数原理知,共有43211=24(种)方法.综上,共有 48+24=72(种)方法.故选B. 答案:B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.(2020甘肃靖远第四中学高二期中)我校兼程楼共有5层,每层均有 两个楼梯,由一楼到五楼的走法有( ) A.10种 B.16种 C.25种 D.32种 解析:走法共分四步,一层到二层2种,二层到三层2种,三层到四层2 种,四层到五层2种,一共24=16(种).故选B. 答案:B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4.某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人 会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有多少种不 同的选法? 解:由题意可知,在艺术小组9人中,有且仅有1人既会钢琴又会小号 (把该人记为甲),只会钢琴的有6人,只会小号的有2人.把从中选出会 钢琴与会小号各1人的方法分为两类.第1类,甲入选,另1人只需从其 他8人中任选1人,故这类选法共8种;第2类,甲不入选,则会钢琴的只 能从6个只会钢琴的人中选出,有6种不同的选法,会小号的也只能 从只会小号的2人中选出,有2种不同的选法,所以这类选法共有 62=12(种).因此共有8+12=20(种)不同的选法.
