1、6.3.2 二项式系数的性质 课标阐释 思维脉络 1.能记住二项式系数的性质,并能 灵活运用性质解决相关问题.(数学 运算) 2.会用赋值法求二项展开式系数 的和,注意区分项的系数和二项式 系数.(数学抽象) 激趣诱思 知识点拨 如图所示,在一块木板上钉一些正六棱柱形的小木块,在它们中间 留下一些通道,从上面的漏斗直通到下部的长方形框,并用一块玻 璃挡住.把小弹子倒在漏斗里,它首先会通过中间的一个通道落到 第二层(有几个通道就算第几层)的六棱柱上面,之后,再落到第二层 中间的一个六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再之后, 它又会落到下一层的三个通道之一里边去,以此类推,最终落 到下边的长
2、方形框中.求一下C 0 + C 1 + C 2+C +C -1 + C =2n 个小弹子通过 n+1 层通道落到各长方形框里的可能情况. 激趣诱思 知识点拨 二项式系数的性质 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 n m = n n-m. 2.增减性与最大值 当 kn+1 2 时,n k随 k 的增加而减小.当 n 是偶数时,中间的一项n n 2取得最大值;当 n 是奇数 时,中间的两项n n-1 2 与n n+1 2 相等,且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和 n 0 + n 1 + n 2+ n n=2n. 激趣诱思 知识点拨 名师点析二项式系数与二项展开式中某一项
3、的系数是不同的概念, 特别地,(a+b)n(a0,b0)的展开式中,各项的系数即为对应的各二 项式系数;(a-b)n(a0,b0)的展开式中,各项的系数的绝对值即为对 应的二项式系数. 激趣诱思 知识点拨 微思考 令 f(k)=n k,k0,1,2,n,则直线 k=n 2将函数 f(k)的图象分成对称的 两部分,即直线 k=n 2是图象的对称轴,由此我们得到结论:当 k= n 2时,n k 最大.这个结论正确吗? 提示:不正确.当 n 是偶数时,n k最大;当 n 是奇数时, n n-1 2 = n n+1 2 最大. 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1)在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大
4、的项为 ,在 (a+b)9的展开式中,二项式系数最大的项为 . (2)A=n 0 + n 2 + n 4+与 B= n 1 + n 3 + n 5+的大小关系是( ) A.AB B.A=B C.AB D.不确定 激趣诱思 知识点拨 解析:(1)因为(a+b)8的展开式中有 9 项,所以中间一项的二项式系数 最大,该项为8 4a4b4=70a4b4. 因为(a+b)9的展开式中有 10 项,所以中间两项的二项式系数最大,这 两项分别为9 4a5b4=126a5b4, 9 5a4b5=126a4b5. (2)(1+1)n=n 0 + n 1 + n 2+nn=2n, (1-1)n=n 0 n 1
5、+ n 2-+(-1)n n n=0, n 0 + n 2 + n 4+= n 1 + n 3 + n 5+=2 n-1 ,即 A=B. 答案:(1)70a4b4 126a5b4与126a4b5 (2)B 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 求二项展开式中系数或二项式系数最大的项求二项展开式中系数或二项式系数最大的项 例1已知(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中 二项式系数最大的项和系数最大的项. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:T6=C 5 (2x)5,T7=C6 (2x)6,依题意有 C 5 25=C6 26,解得 n=8. 在(1+2x)8的展开式中,二项
6、式系数最大的项为 T5=C8 4 (2x)4=1 120 x4. 设第 k+1 项的系数最大,则有 C8 2 C8 -1 2-1, C8 2 C8 +1 2+1, 解得5k6. k=5或k=6(k0,1,2,8). 系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 求二项展开式中系数的最值的方法 (1)若二项展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等,可转化为 确定二项式系数的最值来解决. (2)若二项展开式的系数为 f(k)=C m g(k) 的形式. 如求(a+bx)n(a,bR)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系 数法,设其展开
7、式的各项系数分别为A1,A2,An+1,且第k+1项系数 最大,应用 +1 +2, +1 解出 k,即得系数最大的项. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练1已知 + 2 2 的展开式中,只有第6项的二项式系数最 大. (1)求该展开式中所有有理项的个数; (2)求该展开式中系数最大的项. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:(1)由题意可知 2+1=6, n=10. Tk+1=C10 10- 2 2kx-2k=C10 2k 10-5 2 (0k10,且 kN),要求该展开式 中的有理项,只需令10-5 2 Z. k=0,2,4,6,8,10.有理项的个数为 6. (2)设第 Tk
8、+1项的系数最大, 则 C10 2 C10 -12-1, C10 2 C10 +12+1,即 2 1 11- , 1 10- 2 +1 , 解不等式组得19 3 k22 3 . kN,k=7. 展开式中系数最大的项为 T8=C10 7 27 -25 2=15 360- 25 2. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 二项式系数和问题二项式系数和问题 例2已知(2x-1)5=a0 x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值: (1)a0+a1+a2+a5; (2)|a0|+|a1|+|a2|+|a5|; (3)a1+a3+a5. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:(1
9、)令x=1,得a0+a1+a2+a5=1. (2)令x=-1,得-35=-a0+a1-a2+a3-a4+a5. 由(2x-1)5的通项 Tk+1=C5 (-1)k 2 5-k x 5-k ,知 a1,a3,a5为负值, 所以|a0|+|a1|+|a2|+|a5| =a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243. (3)由a0+a1+a2+a5=1, -a0+a1-a2+a5=-35,得2(a1+a3+a5)=1-35. 所以 a1+a3+a5=1-3 5 2 =-121. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究 在本例条件下,求下列各式的值: (1)a0+a2+a4; (2)a1+a
10、2+a3+a4+a5; (3)5a0+4a1+3a2+2a3+a4. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:(1)因为a0+a1+a2+a5=1, -a0+a1-a2+a5=-35. 所以 a0+a2+a4=1+3 5 2 =122. (2)因为a0是(2x-1)5展开式中x5的系数, 所以a0=25=32. 又因为a0+a1+a2+a5=1, 所以a1+a2+a3+a4+a5=-31. (3)因为(2x-1)5=a0 x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5, 所以两边求导数得10(2x-1)4=5a0 x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4. 令x=1得5a0+4a1+3a
11、2+2a3+a4=10. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR,m,nN*)的式子求其展开 式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对 (ax+by)n(a,bR,nN*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1即可. (2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式中各项系数之 和为f(1), 奇数项系数之和为 a0+a2+a4+=(1)+(-1) 2 , 偶数项系数之和为 a1+a3+a5+=(1)-(-1) 2 . 探究一 探究二 素养形成 当堂
12、检测 变式训练2在(2x-3y)9的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和; (3)所有奇数项系数之和. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:设(2x-3y)9=a0 x9+a1x8y+a2x7y2+a9y9. (1)二项式系数之和为C9 0 + C9 1 + C9 2+C99=29=512. (2)各项系数之和为a0+a1+a2+a9, 令x=1,y=1, 所以a0+a1+a2+a9=(2-3)9=-1. (3)令x=1,y=-1,可得 a0-a1+a2-a9=59, 又a0+a1+a2+a9=-1, 将两式相加可得 a0+a2+a4+a6+a8=5 9-1 2 =9
13、76 562, 即所有奇数项系数之和为976 562. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 用二项式定理证明不等式用二项式定理证明不等式 典例求证:2 1+1 n1 时, 1+1 n=1+C1 1 + C 2 1 2 + C 3 1 3+C 1 =1+1+C 2 1 2+C 1 2, 所以 1+1 n2 成立. 因为C 1 = (-1)(-2)(-+1) ! 1 !, 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 所以 1+1 n=1+C1 1 + C 2 1 2+C 1 1+1+ 1 2! + 1 3!+ 1 !2+ 1 2 + 1 22+ 1 2-1 =2+ 1 21-( 1 2) -1 1-1 2
14、 =2+1- 1 2 n-1 =3- 1 2 n-13.所以 2 1+1 n3 成立. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 方法点睛 证明 1+1 n3 需对 1+1 n 的展开式的所有项求和.将 二项展开式的通项C 1 进行放大,转化为可求和的式子是证明的 关键. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为( ) A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项 解析:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.故 系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项. 答案:C 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 2.已知C 0+2C1+22C2+2
15、nC=729,则C1 + C 3 + C 5的值等于( ) A.64 B.32 C.63 D.31 解析:由已知(1+2)n=3n=729,解得 n=6.则C 1 + C 3 + C 5 = C6 1 + C6 3 + C6 5=32. 答案:B 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 3.(2020辽宁高二期中)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项 式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A.212 B.211 C.210 D.29 解析:因为(1+x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,所 以C 3 = C 7,解得 n=10,所以二项式(1+x)10 中奇数项的
16、二项式系数和 为1 22 10=29. 答案:D 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 4.已知 1 4+2x n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于 37,则展 开式中二项式系数最大的项的系数为 . 解析:由C 0 + C 1 + C 2=37,得 1+n+1 2n(n-1)=37,解得 n=8(负值舍去), 则第 5 项的二项式系数最大,T5=C8 4 1 44(2x) 4=35 8 x4,该项的系数为 35 8 . 答案:35 8 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 5.已知 1 2+2x n,若展开式中第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数 成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数. 解:C 4 + C 6=2C5,n=7 或 n=14, 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4和 T5, T4的系数为C7 3 1 2 423=35 2 ,T5的系数为C7 4 1 2 324=70; 当 n=14 时,展开式中二项式系数最大项是 T8,T8的系数为 C14 7 1 2 727=3 432.
