1、7.4 二项分布与超几何分布 课标阐释 思维脉络 1.理解 n 重伯努利试验及二项分布.(数 学抽象) 2.能进行一些与 n 重伯努利试验模型 及二项分布有关的概率计算.(数学运 算) 3.理解超几何分布并会进行相应的计 算.(数学运算) 激趣诱思 知识点拨 孔子是我国古代著名的教育家、思想家,留下了许多至理名言,其 中“三人行,必有我师焉”是我们大家都熟知的一句话.孔子的学问很 高,但他也很谦虚,自称与任意两人(加上自己共三人)同行,则他们中 间一定有一个人可以做自己的老师.这是孔子自谦的一句话,那么 实际情况怎么样呢?我们不妨从概率的角度来看一下. 激趣诱思 知识点拨 一、二项分布 1.伯
2、努利试验:我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 2.n重伯努利试验:我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组 成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验具有如下共同特 征: (1)同一个伯努利试验重复做n次; (2)各次试验的结果相互独立. 激趣诱思 知识点拨 3.二项分布 一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为 p(0p1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为 P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二 项分布,记作XB(n,p). 4.二项分布的均值与方差 (1)两点分布:
3、若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). (2)二项分布:若XB(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). n k 激趣诱思 知识点拨 微练习 同时抛掷两枚质地均匀的硬币10次,设两枚硬币同时出现反面的次 数为,则D()=( ) A.15 8 B.15 4 C.5 2 D.5 解析:两枚硬币同时出现反面的概率为1 2 1 2 = 1 4,故 B 10, 1 4 . 因此 D()=10 1 4 1- 1 4 = 15 8 .故选 A. 答案:A 激趣诱思 知识点拨 二、超几何分布 1.定义:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品 中随机抽取n件(
4、不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的 分布列为 P(X=k)= ,k=m,m+1,m+2,r. 其中n,N,MN*,MN,nN,m=max0,n-N+M,r=minn,M.如果 随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几 何分布. M k N-M n-k N n 2.超几何分布的均值:E(X)= =np. 激趣诱思 知识点拨 微练习 设10件产品中有3件次品、7件正品,现从中抽取5件,求抽得次品件 数的分布列. 解:由题意知服从参数N=10,M=3,n=5的超几何分布. 的可能取值为0,1,2,3,则 P(=0)=C3 0C75 C10 5 = 21 252 =
5、1 12, P(=1)=C3 1C74 C10 5 = 105 252 = 5 12, P(=2)=C3 2C73 C10 5 = 105 252 = 5 12, P(=3)=C3 3C72 C10 5 = 21 252 = 1 12. 激趣诱思 知识点拨 故随机变量的分布列为 0 1 2 3 P 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 n重伯努利试验概率的求法重伯努利试验概率的求法 例1甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 ,假设每 次射击是否击中目标,相互之间没有影响.(结果需用分数作答) (1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率; (2)若两人各射击2次,求甲恰好
6、击中目标2次且乙恰好击中目标1次 的概率. 2 3 和 3 4 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(1)记“甲射击 3次至少有 1次未击中目标”为事件 A,由题意,知射 击 3次,相当于 3次独立重复试验,故 P(A)=1-P()=1-(2 3) 3=19 27. (2)记“甲恰有 2 次击中目标”为事件 B,“乙恰有 1 次击中目标”为事 件 C,则 P(B)=(2 3) 2=4 9,P(C)=C2 1 3 4(1- 3 4)= 3 8,由于甲、乙射击相互独 立,故 P(BC)=4 9 3 8 = 1 6. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究
7、1.在本例(2)的条件下,求甲、乙均击中目标1次的概率. 解:记“甲击中目标 1 次”为事件 D,“乙击中目标 1 次”为事件 E,则 P(D)=C2 1 2 3 1 3 = 4 9,P(E)= 3 8, 所以甲、乙均击中目标 1 次的概率为 P(DE)=4 9 3 8 = 1 6. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2.在本例(2)的条件下,求甲未击中,乙击中2次的概率. 解:记“甲未击中目标”为事件 M,“乙击中 2 次”为事件 N,则 P(M)=(1-2 3) 2=1 9,P(N)= 3 4 2= 9 16,所以甲未击中、 乙击中 2 次的概率为 P(MN)=1 9 9
8、 16 = 1 16. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 n重伯努利试验概率求法的三个步骤 (1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为n重伯努 利试验. (2)分拆:判断所求事件是否需要分拆. (3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用 互斥事件概率加法公式计算. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练1某气象站天气预报的准确率为80%,计算(结果保留到小 数点后面第2位): (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率; (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检
9、测 解:(1)5次预报相当于5次伯努利试验. “恰有2次准确”的概率为 P=C5 20.820.23=0.051 20.05, 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确 或只有1次准确”. 其概率为 P=C5 0(0.2)5+C510.80.24=0.006 72. 所以所求概率为1-P=1-0.006 720.99. 所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 两点分布与二项分布两点分布与二项分布 例2某运动员投篮命中率为p=0.6. (1)求投篮1次时命中
10、次数X的均值; (2)求重复5次投篮时,命中次数Y的均值. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(1)投篮1次,命中次数X的分布列如下表. X 0 1 P 0.4 0.6 则E(X)=0.6. (2)由题意,重复5次投篮,命中的次数Y服从二项分布,即YB(5,0.6), 则E(Y)=50.6=3. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.常见的两种分布的均值 设p为一次试验中成功的概率,则 (1)两点分布E(X)=p; (2)二项分布E(X)=np. 熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度. 2.两点分布与二项分布辨析 (1)相同点:一次试
11、验中要么发生,要么不发生. (2)不同点: 随机变量的取值不同,两点分布随机变量的取值为0,1,二项分布 中随机变量的取值为0,1,2,n. 试验次数不同,两点分布一般只有一次试验,二项分布则进行n次 试验. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练2某人投篮命中率为0.8,重复5次投篮,命中次数为X,命中 一次得3分,求5次投篮得分的均值. 解:设投篮得分为变量,则=3X. 依题意,XB(5,0.8),则E(X)=50.8=4,故E()=3E(X)=12. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 二项分布的应用二项分布的应用 例3高二(1)班的一个研究性学习小
12、组在网上查知,某珍稀植物种子 在一定条件下发芽成功的概率为 ,该研究性学习小组又分成两个 小组进行验证性试验. (1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种 子),求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率. (2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子),如果在一 次试验中种子发芽成功就停止试验,否则将继续进行下次试验,直 到种子发芽成功为止,但试验的次数最多不超过5次.求第二小组所 做种子发芽试验的次数的分布列. 1 3 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(1)至少有3次发芽成功,即有3次、4次、5次发芽成功. 设5次试验中种子发芽成功的次数为随
13、机变量X, 则 P(X=3)=C5 3 1 3 3 2 3 2 = 40 243, P(X=4)=C5 4 1 3 4 2 3 = 10 243, P(X=5)=C5 5 1 3 5 2 3 0 = 1 243. 所以至少有 3 次发芽成功的概率 P=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) = 40 243 + 10 243 + 1 243 = 17 81. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2)随机变量 的可能取值为 1,2,3,4,5. P(=1)=1 3, P(=2)=2 3 1 3 = 2 9, P(=3)= 2 3 2 1 3 = 4 27, P(=4)= 2
14、3 3 1 3 = 8 81, P(=5)= 2 3 4 1=16 81. 所以 的分布列为 1 2 3 4 5 P 1 3 2 9 4 27 8 81 16 81 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰 好发生k次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量分 析出随机变量服从二项分布找到参数n,p写出二项分布的分布 列将k值代入求解概率. 2.利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一 取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或 者利用对立事件求概率. 探究一 探究二 探究三 探
15、究四 素养形成 当堂检测 变式训练3在一次抗洪抢险中,准备用射击的办法引爆从上游漂流 而下的一个巨大汽油罐,已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油 流出,第二次命中才能引爆,每次射击是相互独立的,且命中的概率 都是 (1)求油罐被引爆的概率; (2)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为X,求X不小于4的 概率. 2 3. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆,没有引爆的可能情况是 射击 5 次只击中一次或一次也没有击中,故该事件的概率为C5 1 2 3 1 3 4 + 1 3 5 , 所以所求的概率为 1- C5 1 2 3 1
16、3 4 + 1 3 5 = 232 243. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2)当 X=4 时记为事件 A, 则 P(A)=C3 1 2 3 1 3 2 2 3 = 4 27. 当 X=5 时,意味着前 4 次射击只击中一次或一次也未击中,记为事件 B. 则 P(B)=C4 1 2 3 1 3 3 + 1 3 4 = 1 9, 所以所求概率为 P(AB)=P(A)+P(B)= 4 27 + 1 9 = 7 27. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 超几何分布超几何分布 例4一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个, 编号为1,2,3;黑
17、球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一 次随机抽取3个球. (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率; (2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(1)从袋中一次随机抽取3个球,所有取法的总数n=C6 3=20,取出的 3 个球的颜色都不相同包含的样本点的个数为C3 1C21C11=6,所以取出 的 3 个球的颜色都不相同的概率为 P= 6 20 = 3 10. (2)由题意知 X=0,1,2,3. P(X=0)=C3 0 C6 3 = 1 20,P(X=1)= C3 1C32 C6 3 = 9 20
18、, P(X=2)=C3 2C31 C6 3 = 9 20,P(X=3)= C3 3 C6 3 = 1 20. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 20 9 20 9 20 1 20 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 1.在本例条件下,若记取到白球的个数为随机变量,求随机变量的 分布列. 解:由题意可知=0,1,服从两点分布.又P(=1)=C5 2 C6 3 = 1 2,所以的分布 列为 0 1 P 1 2 1 2 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2.将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次,每次 抽取1个球”,其他条件不
19、变,结果又如何? 解:(1)取出 3 个球颜色都不相同的概率 P=C3 1C21C11A33 63 = 1 6. (2)由题意知 X=0,1,2,3. P(X=0)=3 3 63 = 1 8, P(X=1)=C3 1333 63 = 3 8. P(X=2)=C3 2333 63 = 3 8, P(X=3)=3 3 63 = 1 8. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 超几何分布的求解步骤 (1)辨模型:结合实际情境分析所求概率分布问题是否能转
20、化为超 几何分布模型. (2)算概率:可以直接借助公式P(X=k)= 求解,也可以利用排 列、组合及概率的知识求解,需注意借助公式求解时应理解参数 M,N,n,k的含义. (3)列分布列:把求得的概率值通过表格表示出来. C C- - C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 相互独立事件和二项分布的综合应用相互独立事件和二项分布的综合应用 典例某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训,以提高下岗人 员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项 培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%,参加过计算机培 训的有75%,假设每个人对培训项目的选择是相互独立的,且各
21、人的 选择相互之间没有影响. (1)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率; (2)任选3名下岗人员,记为3人中参加过培训的人数,求的分布列. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解:(1)任选1名下岗人员,记“该人参加过财会培训”为事件A,“该人参 加过计算机培训”为事件B,由题设知,事件A与B相互独立, 且P(A)=0.6,P(B)=0.75. 所以该下岗人员没有参加过培训的概率是 P( )=P() P()=(1-0.6)(1-0.75)=0.1. 故该人参加过培训的概率为1-0.1=0.9. (2)因为每个人的选择是相互独立的,所以3人中参加过培训的人数 服从二项分布
22、B(3,0.9),P(=k)=C3 0.9k0.1 3-k ,k=0,1,2,3. 故 的分布列是 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 方法点睛 第1步,利用事件的相互独立性分别找出参加两种培训对 应的概率; 第2步,利用对立事件求参加过培训的概率; 第3步,判断参加培训人数服从二项分布; 第4步,利用二项分布求解分布列. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 跟踪训练袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次 取1个球.有放回抽样时,求取到黑球的个数X的分布列. 解:有放回抽样时,取
23、到的黑球个数 X 可能的取值为 0,1,2,3. 又每次取到黑球的概率均为1 5,3 次取球可以看成 3 次独立重复试验, 则 XB 3, 1 5 . P(X=0)=C3 0 1 5 0 4 5 3 = 64 125, P(X=1)=C3 1 1 5 1 4 5 2 = 48 125, P(X=2)=C3 2 1 5 2 4 5 1 = 12 125, P(X=3)=C3 3 1 5 3 4 5 0 = 1 125. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 探究一 探究二 探究三 探究四 素
24、养形成 当堂检测 1.(2020湖南长沙高二月考)一工厂生产100个产品中有90个一等品、 10个二等品,现从这批产品中抽取4个,则其中恰好有一个二等品的 概率为( ) A.1- C90 4 C100 4 B.C10 0 C90 4 +C10 1 C90 3 C100 4 C. C10 1 C100 4 D.C10 1 C90 3 C100 4 解析:由超几何分布概率公式知,所求概率为C10 1 C90 3 C100 4 . 答案:D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2.某电子管的正品率为3 4、 次品率为 1 4,现对该批电子管进行测试,设第 X 次首次测到正品,则 P(
25、X=3)等于( ) A.C3 2 1 4 2 3 4 B.C3 2 3 4 2 1 4 C.C2 2 1 4 2 3 4 D.C2 2 3 4 2 1 4 解析:X=3 表示“第 3 次首次测到正品,而前两次都没有测到正品”,故 其概率是C2 2 1 4 2 3 4. 答案:C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3.若随机变量 X 服从二项分布,即 XB(n,p),且 E(X)=3,p=1 7,则 n= ,D(X)= . 解析:由已知得 () = , () = (1-), 即 3 = 1 7 ,() = 6 49 , 故 n=21,D(X)=18 7 . 答案:21 18 7 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4.设随机变量 B(2,p),B(4,p),若 P(1)=5 9,则 D()= . 解析:由随机变量 B(2,p),且 P(1)=5 9,得 P(1)=1-P(=0)=1-C2 0(1-p)2=5 9,解得 p= 1 3.由 B(4,p),得随机变量 的方差 D()=4 1 3 1- 1 3 =8 9. 答案:8 9
