1、第六章计数原理 6.2 排列与组合 6.2.3 组合组合 6.2.4 组合数组合数 课后篇巩固提升 基础达标练 1.某新农村社区共包括 8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该 社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为( ) A.4 B.8 C.28 D.64 解析由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建 =28(条)公路. 答案 C 2.某中学从 4名男生和 3 名女生中推荐 4人参加社会公益活动,若选出的 4 人中既有男生又有女生, 则不同的选法共有( ) A.140种 B.120 种 C.35 种 D.34 种 解析若选 1 男 3女有 =4(种);
2、若选 2男 2 女有 =18(种);若选 3 男 1女有 =12(种).所以共 有 4+18+12=34(种)不同的选法.故选 D. 答案 D 3.已知 ,则 n 等于( ) A.14 B.12 C.13 D.15 解析由题意,得 ,故 7+8=n+1,解得 n=14. 答案 A 4.(2019 北京高二期末)某校有 6名志愿者,在放假的第一天去北京世园会的中国馆服务,任务是组织 游客参加“祝福祖国征集留言”“欢乐世园共绘展板”“传递祝福发放彩绳”三项活动,其中 1人负责“征 集留言”,2人负责“共绘展板”,3人负责“发放彩绳”,则不同的分配方案共有( ) A.30 种 B.60 种 C.12
3、0 种 D.180种 解析从 6人中选 1 人负责“征集留言”,从剩下的人中选 2人负责“共绘展板”,最后剩下的 3 人负责“发 放彩绳”,则不同的分配方案共有 =60(种).故选 B. 答案 B 5.(2020 浙江高三专题练习)安排 A,B,C,D,E,F共 6名义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾 一位老人,考虑到义工与老人住址距离问题,义工 A 不安排照顾老人甲,义工 B 不安排照顾老人乙,则 安排方法共有 ( ) A.30 种 B.40 种 C.42 种 D.48 种 解析 6 名义工照顾三位老人,每两位义工照顾一位老人共有 =90(种)安排方法, 其中 A照顾老人甲的情况有
4、=30(种), B照顾老人乙的情况有 =30(种), A照顾老人甲,同时 B照顾老人乙的情况有 =12(种). 故符合题意的安排方法有 90-30-30+12=42(种). 故选 C. 答案 C 6.若已知集合 P=1,2,3,4,5,6,则集合 P 的子集中含有 3 个元素的子集数为 . 解析由于集合中的元素具有无序性,因此含 3个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题,共有 =20(个)子集. 答案 20 7.不等式 -n5 的解集为 . 解析由 -n5,得 - -n5,n2-3n-100.解得-2n5.由题设条件知 n2,且 nN*,n=2,3,4.故原 不等式的解集为2,3,4. 答
5、案2,3,4 8.若对任意的 xA,则 A,就称 A是“具有伙伴关系”的集合.集合 M= -1,0, ,1,2,3,4 的所有非空 子集中,具有伙伴关系的集合的个数为 . 解析具有伙伴关系的元素组有-1;1; ,2; ,3,共 4 组.所以集合 M 的所有非空子集中,具有伙伴关系的非 空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组.又因为集合中的元 素是无序的,所以所求集合的个数为 =15. 答案 15 9.某区有 7 条南北向街道,5条东西向街道.(如图) (1)图中有多少个矩形? (2)从 A 点走向 B点最短的走法有多少种? 解(1)在 7 条南北向街道中任选 2
6、 条,5条南北向街道中任选 2条,这样 4 条线可组成一个矩形,故可组 成矩形有 =210(个). (2)每条东西向的街道被分成 6段,每条南北向街道被分成 4 段,从 A到 B 最短的走法包括 10段, 其中 6 段方向相同,另 4 段方向也相同,每种走法,即是从 10 段中选出 6段,这 6段是走东西方向的(剩 下 4段即是走南北方向的),共有 =210(种)走法. 能力提升练 1.楼道里有 12盏灯,为了节约用电,需关掉 3 盏不相邻的灯,则关灯方案有( ) A.72 种 B.84 种 C.120 种 D.168种 解析需关掉 3盏不相邻的灯,即将这 3 盏灯插入 9 盏亮着的灯形成的
7、10 个空中,所以关灯方案共有 =120(种). 答案 C 2.(2020 黑龙江海林朝鲜族中学高二月考)若 =42,则 - =( ) A.60 B.70 C.120 D.140 解析 =42= - 21, 解得 n=7, - =140. 故选 D. 答案 D 3.已知集合 A=5,B=1,2,C=1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐 标,则确定的不同点的个数为( ) A.33 B.34 C.35 D.36 解析所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1的有 =12(个); 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1的有 =18(个); 所得空间直角坐标系中的点
8、的坐标中含有 2 个 1的有 =3(个). 故共有符合条件的点的个数为 12+18+3=33(个).故选 A. 答案 A 4.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学 校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( ) A.50 种 B.60 种 C.120 种 D.210种 解析先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有 6 种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、 (6,7).甲任选一种为 ,然后在剩下的 5天中任选 2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有 种, 按照分步乘法计数原理可知共有
9、不同的安排方法 =120(种),故选 C. 答案 C 5.(多选)(2020江苏盐城大丰新丰中学高二期中)有 13 名医生,其中女医生 6 人,现从中抽调 5名医生 组成医疗小组前往湖北疫区,若医疗小组至少有 2名男医生,同时至多有 3 名女医生,设不同的选派方 法种数为 N,则下列等式能成为 N的算式是( ) A. B. C. D. 解析 13名医生,其中女医生 6人,男医生 7人. (方法一 直接法)2 男 3女 ;3 男 2女 ;4 男 1女 ;5 男 ,所以 N= . (方法二 间接法)13名医生,任取 5人,减去 4、5 名女医生的情况,即 N= . 故选 BC. 答案 BC 6.某
10、同学有同样的画册 2本、同样的集邮册 3 本,从中取出 4本赠送给 4位朋友,每位朋友 1本,则不 同的赠送方法共有 种. 解析依题意,就所剩余的 1本进行分类: 第 1类,剩余的是 1 本画册,此时满足题意的赠送方法有 4种; 第 2类,剩余的是 1 本集邮册,此时满足题意的赠送方法有 =6(种). 因此,满足题意的赠送方法共有 4+6=10(种). 答案 10 7.4个不同的小球放入编号为 1,2,3,4的 4 个盒子中,则恰好有 1个空盒子的放法有 种. 解析由题意知,必有 1 个盒子内放入 2 个小球,从 4 个小球中取出 2个小球,有 种取法,此时把它看作 1 个小球,与另 2个小球
11、共 3 个小球放入 4 个盒子中,有 种放法,所以满足题意的放法有 =144(种). 答案 144 8.(1)计算: . (2)求证: +2 - - . (1)解原式= 1= =56+4 950=5 006. (2)证明由组合数的性质 - 可知, 右边=( - )+( - - )= - =左边. 所以原等式成立. 素养培优练 1.有 9 本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法? (1)甲得 4 本、乙得 3 本、丙得 2 本; (2)一人得 4本、一人得 3本、一人得 2本; (3)甲、乙、丙各得 3本. 解(1)分三步完成: 第 1步,从 9本不同的书中,任取
12、 4 本分给甲,有 种方法; 第 2步,从余下的 5 本书中,任取 3 本给乙,有 种方法; 第 3步,把剩下的书给丙,有 种方法, 所以甲得 4 本、乙得 3 本、丙得 2本,共有 =1 260(种)不同的分法. (2)分两步完成: 第 1步,按 4本、3 本、2 本分成三组有 种方法; 第 2步,将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有 种方法,所以一人得 4本、一人得 3 本、一 人得 2 本,共有 =7 560(种)不同的分法. (3)用与(1)相同的方法即可求解,可得甲、乙、丙各得 3 本,共有 =1 680(种)不同的分法. 2.(2020 吉林梅河口第五中学高二月考)按照下列要求,
13、分别求有多少种不同的方法? (1)5 个不同的小球放入 3个不同的盒子; (2)5 个不同的小球放入 3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球; (3)5 个相同的小球放入 3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球; (4)5 个不同的小球放入 3个不同的盒子,恰有 1 个空盒. 解 (1)5 个不同的小球放入 3 个不同的盒子,每个小球都有 3 种可能,利用分步乘法计数原理可得不同 的方法有 35=243(种). (2)5 个不同的小球放入 3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,先把 5个小球分组,分法有 2,2,1 和 3,1,1两种,再放入 3个不同的盒子,故不同的方法共有 =150(种). (3)5 个相同的小球放入 3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,类似于在 5个小球间的空隙中, 放入 2 个隔板,把小球分为 3 组,故不同的方法共有 =6(种). (4)5 个不同的小球放入 3个不同的盒子,恰有一个空盒,先把 5个小球分 2组,分法有 3,2,0 和 4,1,0两种,再放入 3 个不同的盒子,故不同的方法共有( =90(种).
