1、 椭圆的弦长公式与中点弦问题椭圆的弦长公式与中点弦问题 1.k 为何值时,直线 y=kx+2 和曲线 2x2+3y2=6 有两个公共点?有一个公共点?没有公共点? 秒杀秘籍：秒杀秘籍：椭圆的弦长公式与面积（不过焦点的弦） 椭圆 22 22 10,0 xy ab ab 与直线 l：ykxm相交于 AB 两点，求 AB 的弦长。 设： 1122 ,A x yB xy则 222 2 2121121 2 14ABxxyykxxx x 将ykxm代入 22 22 1 xy ab 得： 222222222 20bk axa kmxa ma b 2 12 222 222 12 222 2a km xx bk
2、 a amb xx bk a 2222 22 222 211212 222 2 1141 ab bk am ABkxxkxxx xk bk a 例例 1：已知椭圆方程为1 2 2 2 y x 与直线方程 2 1 : xyl相交于 A、B 两点，求 AB 的弦长 解解 解：解：设： 1122 ,A x yB xy则 222 2 2121121 2 14ABxxyykxxx x 将 1 2 yx代入 2 2 1 2 x y得： 2 3 320 2 xx 12 12 2 3 1 2 xx xx 2 2 21 2 11 1 3 ABkxx 椭圆与直线交点的判别式：椭圆与直线交点的判别式： 222222
3、 4a bbk am 用来判断是否有交点问题。 面积问题：面积问题：椭圆与直线mkxyl:相交与两点， 00, y xC为 AB 外任意一点，求 ABC S。设 C 到l的距 离为d，则 2222 0000 222 2 11 22 1 ABC kxymkxym ab bk am SAB dAB bk a k 例例 2： 已知椭圆C: 22 22 1 xy ab 22 22 1(0) xy ab ab AB、的一个顶点为(2,0)A,离心率为 2 2 .直线(1yk x ）与 椭圆C交于不同的两点 M、N.()求椭圆C的方程;()当AMN 得面积为 10 3 时,求k的值. 解：解：() 2 2
4、;2,2 2 c aecb a ；故椭圆方程为 22 1 42 xy ；() 1 2 AMN SMN d ， 设 1122 ,M x yN x y则 222 2 2121121 2 14MNxxyykxxx x；将ykxk 代入 22 1 42 xy 得： 2222 428480kxk xk 2 12 2 2 12 2 8 42 48 42 k xx k k xx k ； 22 20 11 kkk d kk ； 22 42 2 2 224110 7250 2243 AMN kkk SMN dkk k ，即 22 75101kkk。 2.无论 k 为何值,直线 y=kx+2 和曲线 22 1 9
5、4 xy 交点情况满足( ) A.没有公共点 B.一个公共点 C.两个公共点 D.有公共点 3.直线 y=x+m 与椭圆 3 2 x +y2=1 交于 A、B 两点，则|AB|的最大值是 . 4.设斜率为 1 的直线 l 与椭圆 22 :1 42 xy C相交于不同的两点 A、B,则使|AB为整数的直线 l 共有( ) A.4 条 B. 5 条 C. 6 条 D. 7 条 5.若直线 y=x+t 与椭圆 2 2 4 y x =1 相交于 A、B 两点，当 t 变化时，|AB|的最大值为 ( ) 5 54 C. 5 104 D. 5 108 6.已知直线13 xy与椭圆1 510 22 yx 相
6、交于 A、B 两点，则AB_ 7.直线220 xy与椭圆 22 44xy相交于 A,B 两点,则AB=_. 8.椭圆 x24y2=16 被直线 y=x1 截得的弦长为 9.直线1 kxy，当k变化时，直线被椭圆1 4 2 2 y x 截得的最大弦长是（ ） A4 B2 C 3 34 D不能确定 10.已知椭圆C: 22 22 10 xy ab ab 的离心率为 6 3 ,短轴一个端点到右焦点的距离为3.()求椭圆C的 方程;()设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为 3 2 ，求AOB 面积的最大值. 11.已知椭圆 2 2 :1 4 x Gy.过点（m
7、,0）作圆 22 1xy的切线 l 交椭圆 G 于 A、B 两点.（I）求椭圆 G 的 焦点坐标和离心率；（II）将AB表示为 m 的函数，并求AB的最大值. 12.设椭圆 M: 22 22 1 yx ab (ab0)的离心率为 2 2 ,且内切于圆4 22 yx.()求椭圆 M 的方程;()若直线 2yxm交椭圆于,A B两点,椭圆上一点(1,2)P,求 PAB 面积的最大值. 例例 2：已知焦点为)50, 0(F的椭圆被直线23: xyl截得的弦的中点的横坐标为 2 1 ，求椭圆的方程。 解：解：设 1122 11 , 22 A x yB xyM ，（中间步骤省略）； 2222 1 222
8、 02 2 2 1 0 2 3350751 257550 ax axy kaaa y ba 即 例例 3：斜率为),0( 11 kk直线 l 与椭圆1 2 2 2 y x 交于 1 P、 2 P两点，线段 21P P的中点为P，直线OP斜率 为 2 k，则 12 k k的值等于_. 解：解： 22 00 12 22 00 1 2 x byb k k y a xa 13.如果椭圆 22 1 369 xy += 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是 ( ) A. 20 xy-= B. 240 xy+-= C. 23120 xy+-= D. 280 xy+-= 14.已知一直线与椭圆 4
9、x29y2=36 相交于两点 A、B，弦 AB 的中点坐标是(1，1)，则直线 AB 的方程是 _。 秒杀秘籍：秒杀秘籍：圆锥曲线中点弦问题（弦中点坐标圆锥曲线中点弦问题（弦中点坐标 00 ,M x y与与 k 值存在着一值存在着一 一对应的关系）一对应的关系） 点差法求弦中点和直线斜率之间的关系：点差法求弦中点和直线斜率之间的关系： 设椭圆 22 22 1 xy ab 的弦 AB 的中点为 00 ,M x y，则 2 0 2 0 x b k y a 证：证：设 112200 ,A x yB x yM x y，则 22 11 1 1 22 22 22 1 2 22 12 3 0 2 12 4
10、0 2 21 5 21 xy ab xy ab xx x yy y yy k xx (2)(1), 2222 2121 0 22 21212121 22 22 210210 = 22 21 0 021 22 00 0 22 xxyy ab xxxxyyyy ab xxxyyy ab yy y xxx ab xky ab 即 2 0 2 0 x b k y a 例例 1：椭圆 E： 22 1 259 xy ，求此椭圆被点 M 5 3 ( , ) 2 2 所平分弦所在的直线方程。 解：解：设 1122 5 3 , 2 2 A x yB xyM ，则 22 11 1 1 259 22 22 1 2
11、259 5 12 3 22 3 12 4 22 21 5 21 xy xy xx yy yy k xx (2)(1), 2222 2121 0 259 21212121 259 53 2121 = 259 1 53 0 xxyy xxxxyyyy xxyy k 即 333 5 525 2 35150 kyx xy 即 或 推论：推论：设椭圆 22 22 1 xy ba 的弦 AB 的中点为 00 ,M x y，则 2 0 2 0 x a k y b ； 设椭圆 22 1mxny的弦 AB 的中点为 00 ,M x y，则 0 0 mx k ny ； 15.直线1 xy被椭圆1 24 22 yx
12、 所截得的弦的中点坐标是（ ） A 3 2 (, ) 3 4 B 3 4 (, ) 3 7 C 3 2 (, ) 3 1 D 3 4 (, ) 3 1 16.椭圆 mx2ny21 与直线 y1x 交于 M、N 两点，过原点 O 与线段 MN 中点的直线的斜率为 2 2 ，则 n m 的值是 （ ） A 2 2 B 3 32 C 2 29 D 27 32 17.直线xy1交椭圆1 22 nymx于M、N两点，弦MN的中点为P，若 2 2 OP k，则 m、n 之间 的关系是_ 18.设椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 过点(0,4),离心率为 3 5 ； ()求 C 的方程;()求过
13、点(3,0)且斜率为 4 5 的 直线被 C 所截线段的中点坐标. 19.椭圆1 2 2 2 2 b y a x )0( ba的一个顶点为A)3 , 0(,离心率 5 4 e；(1)求椭圆方程;(2)若直线 3 kxy：与椭圆交于不同的两点NM,且满足PNMP ,0MNAP,求直线的方程. 20.椭圆 C: 22 22 10 xy ab ab 的两个焦点为 12 ,F F,点 P 在椭圆 C 上,且 12 414 , 33 PFPF, 112 PFFF,. (1)求椭圆 C 的方程;(2)若直线l过点 M(-2,1),交椭圆 C 与 A、 B 两点,且点 M 恰为弦 AB 的中点, 求直线l的方程.
