1、2020- 2021 学年度第一学期期中检测试题 高三数学 2020. I1 (全卷满分分 150 分，考试时间 120 分钟) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合要求). 1.已知复数 z 满足(1-i)z=2，i 为虚数单位，则 z 等于( ) A. 1-I B.1+I C. D. 2.已知集合 A=x|(x+1)(x-2)0，B=x| 2, 则 AB=( ) A. -1,0 B. 0,1 C. (0,2 D. 0,2 3.已知 a=t th， b=tht, c=tth，则 a,b,c 的大小关系为( ) A. abc
2、 B. acb C. bac D. bc1 B.“a1是 ,则ABC 为锐角三角形 D.在ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若 sin2A= sin2B，则 A=B 10.若函数 f(x)= sin2.x 的图象向右平移工个单位得到的图象对应的函数为 g(x)，则下列说 法中正确的是( ) A. g(x) 的图象关于 x=对称 B.当 x0, 时， g(x) 的值域为- , C.g(x) 在区间( )上单调递减 D.当 x0,时， 方程 g(x)=0 有 3 个根. 11.已知函数 f(x)的定义域为 R, f(x+1)为奇函数， 且 f(2+x)=f(2-x), 则(
3、) A. f(1)=0 B. f(x)= f(x+4) C. f(x+1)=-f(-x-1) D. y= f(x)在区间0,50上至少有 25 个零点 12.已知正数 x,y,z 满足 = =.则下列说法中正确的是( ) A. + = B.3x4y 6z C. x+y( + )z D. xy2 三.填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.已知幂函数 y= f(x)的图象过点(2.)，则曲线 y= f(x)在点(,1)处的切线方程为 14.在ABC 中，BAC=， AB=2，AC=3, =2t ，则.t =. 15.黄金比例，用希腊字母表示，借用古希腊数学家欧几里德的话
4、:当整条线段的长度与 线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时，就是根据黄金比例来分割- -线段.从下图 我们可以更直观地感受黄金比例:用 A,B 分别表示较长段与较短段的线段长度，于是将欧几里 德的描述用代数方法表示出来:= : ,从而可以解出的值.类似地,可以定义其他金属比 例.假设把线段分成 n+1 段，其中有 n 段长度相等，记这 n 段的每一段长为 A.面剩下的一段长 为 B (长度较短的).如果 A 与 B 之比等于整条线段的长与 A 之比，我们用来表示这个比例， 即= 对于 n(n N)的每个值对应一个，则称为金属比例.当 n=1 时，即为黄金比例， 此时= ;当 n=2 时
5、，即为白银比例，我们用希腊字母 o 表示该比例，则=_ 16.已知函数 f(x)= ,其中 a0,若函数 g(x)=f(x)- 3|x|有两个零点，则实数 a 的取值范围是_ 四、解答题(本大题共 6 小题，计 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17. (本小题满分 10 分) t 在a= ,S= cosB， C=这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进 行求解. 问题:在 BC 中，内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S， bcosA=acosC+ccosA，b=1,_，求 c 的值. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 1
6、8. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= +sin(x+)sin(x-)- (1)求 f(x)的最小正周期及对称中心; (2)若 f(a)= ,且 a( )，求 cos 2a 的值. 19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=- (a0 且 a1)是定义在 R 上的奇函数. (1)求实数 k 的值: (2)若 f() 0 恒成立，求正整数 m 的值: (2)当 x0 时，判断函数 g(x)的零点个数，并证明你的结论， 参考数据: 4.8 20202021 学年度第一学期期中检测试题 高 三 数 学 参 考 答 案 1B 2D 3A 4B 5C 6A 7A 8C 9 AB
7、 10 AC 11 ABD 12 ACD 13 2x y 3 0 14 11 3 15 2 1 16 (0,1) 7,) 17 在ABC 中，因为 3bcos A acosC ccos A ， 所以根据正弦定理得 3 sin Bcos A sin AcosC sinCcos A 2 分 所以 3 sin Bcos A sin B ,因为 sin B 0 ，所以 cos 3 A 5 分 3 2 3 选择，由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A 得 c2 c 1 0，解得 c 3 10 分 3 c 1 选择， S cosB bcsin A ，所以 cosB sin A cos( A) 2
8、 2 2 所以 B A ，即 2 C ，解得 c 3 10 分 2 选择， C ，因为 3 3 6 sin B sin(A ) sin Acos cos Asin ， 3 3 3 6 所以由 c b 得 c sinC sin B bsinC 2 6 4 10 分 sin B 18 (1) 1 cos 2x 3 f (x) 3 sin( x )sin(x ) 2 2 6 6 2 3 1 cos 2x 2cos(x )sin(x ) 2 2 6 6 3 1 cos 2x sin(2x ) 2 2 3 3 1 1 3 1 1 3 cos 2x (sin 2x cos 2x ) (sin 2x cos
9、 2x ) 2 2 2 2 2 2 2 1 sin(2x ) . 4 分 2 3 所以 f (x) 的最小正周期T 2 . 5 分 2 k k 由 2x k,k Z 得 x ,k Z ，所以 f (x) 的对称中心为 ( ,0),k Z . 6 分 3 2 6 2 6 (2) 由 1 1 f () 得sin(2 ) ，因为 ( , ) ，所以 2 ( ,) ， 6 3 3 12 3 3 2 1 2 2 所以 cos(2 ) 1 sin2 (2 ) 1 ( )2 ， 8 分 3 3 3 3 所以 cos 2 cos(2 ) cos(2 )cos sin(2 )sin 3 3 3 3 3 3 2
10、2 1 1 3 3 2 2 . 12 分 3 2 3 2 6 19 (1) 方法 1：因为 f x是 R 上的奇函数，所以 f 0 ak 1 0 ，解得 k 0 3 分 下面检验，此时 f x a a ，故 f (x) a x ax f (x)，所以 f (x) 为奇函数 5 分 x x 方法 2：因为 f (x) 为奇函数，所以 f (x) f (x) ，即 a x+k ax a x ax+k ， 1 分 即 (ax a x )(ak 1) 0 ， 3 分 所以 ak 1 0 ，解得 k 0 5 分 (2)由 f 1 0得 a 1 0 ，解得 0 a 1， 6 分 a 所以 x x f x
11、a a 是 R 上的减函数， 7 分 因为 f (x) 为奇函数,所以由 f tx f x 得 3 +4 2 1 0 f 3tx+4 f 2x 1 f 2x 1 2 2 2 因为 f x是 R 上的减函数，所以 3tx 4 2x2 1对任意t 1, 1 成立 9 分 令 g(t) 3tx 4 2x 1 3tx 5 2x ，则 g(t) 0 对任意t 1, 1 成立， 2 2 等价于 g(1) 3x 5 2x 0 2 g(1) 3x 5 2x 0 2 , 10 分 解得 1 x 1，所以 x 的取值范围是1， 1 . 12 分 20 (1) 因为平面 ABB A 平面 1 1 AA C C ，
12、1 1 BE AA ， 1 BE 平面 ABB A ，平面 1 1 ABB A 平面 1 1 AA C C 1 1 =AA ， 1 所以 BE 平面 AA C C ， 4 分 1 1 又因为 C A 平面 1 1 AA C C ，所以 1 1 BE C A . 5 分 1 1 (2)方法 1：（综合法）作 EF CC 于 F ，因为 1 BE CC ， BE EF E, BE 平面 BEF ， 1 EF 平面 BEF ，所以 CC 平面 BEF ，因为 BF 平面 BEF ，所以 BF CC , 1 1 所以 BFE 即为二面角 B CC A 的平面角. 9 分 1 （注：对于作出了平面角，但
13、没有证明的给 2 分） 在菱形 ABB A 中，由 AB 2 、 BAA ，可求得 BE 2 . 1 = 1 1 4 在菱形 AA C C 中，由 AB 2 、 A AC ，可求得 EF 3 10 分 1 = 1 1 3 15 所以在 RtBEF 中， EF 3 ， BF= 5 ，故可求得 cosBFE . 5 所以二面角 B CC A 的余弦值为 1 15 5 . 12 分 方法 2： （向量法）作 EF CC 于 F ，则 1 EF AA ，因为平面 1 AA C C 平面 1 1 ABB A ， 1 1 EF 平面 AA C C ，平面 1 1 ABB A 平面 1 1 AA C C 1
14、 1 =AA ，所以 EF 平面 1 ABB A ， 1 1 以 E 为坐标原点， EA,EB,EF 所在直线分别为 x, y, z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 6 分 在菱形 ABB A 中，由 AB 2 、 BAA 1 = ，可求得 AE BE 2 . 1 1 4 在菱形 AA C C 中，由 AB 2 、 A AC ，可求得 EF 3 ， CF 2 1， 1 = 1 1 3 所以点 B 的坐标为 0，2，0，点 B 的坐标为 2，2，0，点C 的坐标为 2- 1，0，3，. 1 由(1)知 BE 平面 AA C C ，所以平面 1 1 AC C 的一个法向量 1 n1 0,1, 0
15、， .8 分 设平面 BC C 的法向量 n x y z ， 2 , , 1 则 n BB 0 2x 0 2 1 ，即 n BC 0 2y 3z 0 2 ，取 x 0，y 3，z 2 ， 则平面 BC C 的一个法向量 n .10 分 1 2 0, 3, 2 所以 3 15 cos n ,n 1 1 5 5 ， 11 分 所以二面角 B CC A 的余弦值为 1 15 5 . 12 分 n (x x)(y y) i i 21 (1) r 1 i n n 2 2 (x x) (y y) i i i1 i1 485 678 476 3 分 485 485 480 6 6 2 4 6 680 480
16、 80 51 80 51 51 7.5 15 5 ， 5 分 所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关. 6 分 注：这里处理方案很多，例如： r 485 485 485 235225 4 0.729 0.64 678 476 678 476 322728 5 ； r 485 485 485 485 4 0.7 678 476 678 476 678 5 ； 485 480 480 12 4 r = 0.7 678 476 680 480 680 17 5 ； r 485 485 485 9797 4 0.72 678 476 680 480 13696 5 . (2) 由题意得
17、： X 的可能取值为 0，1，2，3，4. 根据赋分规则可知，7 个人赋分为 2，4 个人赋分为 1，9 个人赋分为 0. C 36 C C 36 2 1 1 所以 P(X 0) 9 ， P(X 1) 4 9 ， C 190 C 190 2 2 20 20 C C C 69 2 1 1 P(X 2 ， ) 4 7 9 C 190 2 20 P(X C C 28 1 1 3 ， ) 7 4 C 190 2 20 C 21 2 P(X 4) . 7 C 190 2 20 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 36 190 36 190 69 190 28 190 21 190 所以
18、36 36 69 28 21 342 9 E(X ) 0 1 2 3 4 12 分 190 190 190 190 190 190 5 22 (1)方法 1：分离参数得 当 x 时，不等式 2 m e 2 x 恒成立， x 令 h(x) e 2 x ，则 x e x (e 2) e (x 1) 2 x x x h(x) 0 ， 2 分 x x 2 2 所以 h(x) 在 ,) 上递增，所以 2 e 2 28 2 h(x) h( ) ， 3 分 min 2 5 2 28 因为1 2 ，所以正整数 m 的值为 1. 4 分 5 方法 2： f (x) ex m . 当 m e2 时， f (x)
19、0 ，所以 f (x) 在 ,) 上递增，所以 f (x) f ( ) e 2 m 2 0 ， min 2 2 2 即 m e 2 2 28 28 ，又1 2 ，所以正整数 m 的值为 1. 2 分 5 5 2 当 m e2 时，令 f (x) ex m 0，则 x ln m . 当 x( , ln m) 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 ( ,ln m) 2 2 上递减； 当 x(ln m,) 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 (ln m,) 上递增. 所以 f (x) f (lnm) m mlnm 2 m(1 lnm) 2 0 ，这与 f (x) 0 恒成立矛盾，故
20、不符合. min 综上得：正整数 m 的值为 1. 4 分 (2) 当 x 0 时， 函数 g(x) 有 2 个零点. 5 分 证明如下：显然 g(0) 0 ，所以 0 是 g(x) 的一个零点， 6 分 当 x 时， g(x) ex sin x xcosx 1 ex x 2 0 ，所以 g(x) 无零点； 7 分 2 当 0 x 时， g(x) ex 2 cos x xsin x ，令 h(x) g(x) ex 2cosx xsin x ， 2 则 h(x) g(x) ex 3sin x xcosx 0 ，所以 g(x) 在0, 上递增 2 又 g(0) 1 0, g( ) e2 0 ，所以
21、存在唯一 2 2 x 1 (0, )使得 2 g (x ) 0 . 9 分 1 所以当 x(0,x )时， g(x) 0 ，故 g(x) 递减；当 1 x(x , ) 时， g(x) 0 ，故 g(x) 递增； 1 2 因为 g(0) 0 ，所以 g(x ) 0，又 g( ) e2 2 0 ， 1 2 所以存在唯一 x2 (x1, ) 使得 2 g(x ) 0 2 综上得：当 x 0 时， 函数 g(x) 有 2 个零点. 12 分 筑梦高考语文精品群836516716 筑梦高考数学精品群236802144 筑梦高考英语精品群1029997466 筑梦高考物理精品群912355754 筑梦高考化学精品群870263600 筑梦高考生物精品群1135893167 筑梦高考历史精品群679848028 筑梦高考地理精品群372653520 筑梦高考政治精品群1135918691 内供全科精优资料群（W ord版）1163173836 。 e l , / l _ 1 I 、 ， 一 ； . （
