1、等腰三角形存在性问题 1 等腰三角形存在性问题 几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行 四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及 常规解法 等腰三角形存在性问题 【问题描述】 如图，点 A 坐标为（1,1） ，点 B 坐标为（4,3） ，在 x 轴上取点 C 使得ABC 是等腰三角形 y x O A B 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 AB=AC； （2）以点 B 为圆心，AB 为半径作圆，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有
2、BA=BC； （3）作 AB 的垂直平分线，与 x 轴的交点即为满足条件的点 C，有 CA=CB C5 C4C3 C2 C1 y x O A B 【注意】若有三点共线的情况，则需排除 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求 等腰三角形存在性问题 2 C21+2 3,0()C11-2 3,0() C1H=C2H= 13-1=2 3 作AHx轴于H点，AH=1 AC1=AB=4-1()2+ 3-1()2= 13 H B A O x y C1 C2 34 CC、同理可求，下求 5 C B A O x y C5 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A、B 均
3、往下移一个单位，当点 A 坐标 为（1,0） ，点 B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 故C5坐标为（ 19 6 ,0） 解得：x= 13 6 3-x()2+22=x2 设AC5=x，则BC5=x，C5H=3-x AH=3，BH=2 H B AO x y C5 而对于本题的 5 C，或许代数法更好用一些 等腰三角形存在性问题 3 【代数法】表示线段构相等 B A O x y C5 （1）表示点：设点 5 C坐标为（m，0） ，又 A 点坐标（1,1） 、B 点坐标（4,3） ， （2）表示线段：()() 22 5 10 1ACm，()() 22 5 403BCm （3）分类讨论：
4、根据 55 ACBC，可得：()() 22 22 1143mm， （4）求解得答案：解得： 23 6 m ，故 5 C坐标为 23 ,0 6 【小结】 几何法： （1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标 代数法： （1）表示出三个点坐标 A、B、C； （2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC； （3）根据题意要求取AB=AC、AB=BC、AC=BC； （4）列出方程求解 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口 等腰
5、三角形存在性问题 4 【2018 泰安中考】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 2 yaxbxc交x轴于点( 4,0)A 、(2,0)B，交y轴 于点(0,6)C，在y轴上有一点(0, 2)E，连接AE （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值； （3） 抛物线对称轴上是否存在点P， 使AEP为等腰三角形？若存在， 请直接写出所有P点 的坐标，若不存在请说明理由 E ABO C D x y 等腰三角形存在性问题 5 【分析】 （1） 2 33 6 42 yxx ； （2）可用铅垂法，当点 D 坐标为()2,6时，ADE 面积最大，最大值
6、为 14； （3）这个问题只涉及到 A、E 两点及直线 x=-1（对称轴） 当 AE=AP 时，以 A 为圆心，AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点 AE=2 5， 1=2 5 AP，又 AH=3， 1 11PH ， 故 () 1 1, 11P 、 () 2 1,11P 当 EA=EP 时，以 E 点为圆心，EA 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点 过点 E 作 EM 垂直对称轴于 M 点，则 EM=1， () 2 2 34 2 5119PMPM， 故 () 3 1, 219P 、 () 4 1, 219P 当 PA=PE 时，作 AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求 P
7、点 设() 5 1,Pm，()() 22 2 5 140P Am ，()() 22 2 5 =102PEm () 2 2 921mm，解得：m=1 故() 5 1,1P 综上所述， P 点坐标为 () 1 1, 11P 、 () 2 1,11P 、 () 3 1, 219P 、 () 4 1, 219P 、 () 5 1,1P 【补充】 “代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决 E AB O x y P5 ME AB O x y P3 P4 H E AB O x y P1 P2 等腰三角形存在性问题 6 【2019 白银中考（删减） 】 如图，抛物线 2 4yaxbx交x轴于( 3,
8、0)A ，(4,0)B两点，与y轴交于点C，连接AC， BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m （1）求此抛物线的表达式； （2）过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q试探究点P在运动过程中， 是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请 求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由； Q M P ABO C x y 等腰三角形存在性问题 7 【分析】 （1） 2 11 4 33 yxx ； （2）当 CA=CQ 时，CA=5，CQ=5， 考虑到 CB 与 y 轴夹角为 45 ，故过点 Q 作 y 轴的垂线，垂足记为 H， 则 5 2 2 CH
9、QH，故 Q 点坐标为 5 25 2 ,4 22 当 AC=AQ 时，考虑直线 BC 解析式为 y=-x+4，可设 Q 点坐标为（m，-m+4） ， ()() 22 340AQmm ， 即()() 22 3405mm ，解得：m=1 或 0（舍） ， 故 Q 点坐标为（1，3） 当 QA=QC 时，作 AC 的垂直平分线，显然与线段 BC 无交点，故不存在 综上所述，Q 点坐标为 5 25 2 ,4 22 或（1，3） Q2 y x C OBA P M Q1 等腰三角形存在性问题 8 【2019 盐城中考删减】 如图所示， 二次函数 2 (1)2yk x的图像与一次函数2ykxk的图像交于A、
10、B两点， 点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中0k （1）求A、B两点的横坐标； （2）若OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值 A B O C D x y 【分析】 （1）A、B 两点横坐标分别为 1、2； （2）求 k 的值等价于求 B 点坐标， B 点横坐标始终为 2，故点 B 可以看成是直线 x=2 上的一个动点， 满足OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形， 又 A 点坐标为（1，2） ，故5OA 当 OA=OB 时，即5OB ， H A B O C D x y 记直线 x=2 与 x 轴交点为 H 点， OH=2，BH=1， 故 B 点坐标为（2，1）或（2
11、，-1） ，k=-1 或-3 当 AO=AB 时，易知 B 点坐标为（2，0） ，k=-2 综上所述，k 的值为-1 或-2 或-3 等腰三角形存在性问题 9 【2018 贵港中考（删减） 】 如图，已知二次函数 2 yaxbxc的图像与x轴相交于( 1,0)A ，(3,0)B两点，与y轴相交 于点(0, 3)C （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PHx轴于点H，与线段BC交 于点M，连接PC当PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标 ABO P C M x y H 等腰三角形存在性问题 10 【分析】 （1） 2 23yxx； （2）
12、当 PM=PC 时， （特殊角分析） 考虑PMC=45 ，PCM=45 ， 即PCM 是等腰直角三角形，P 点坐标为（2，-3） ； H y x M C P OBA 当 MP=MC 时， （表示线段列方程） 设 P 点坐标为( ) 2 ,23m mm，则 M 点坐标为(),3m m， 故线段() () 22 3233PMmmmmm 故点 M 作 y 轴的垂线，垂足记为 N，则 MN=m， 考虑MCN 是等腰直角三角形，故2MCm， 2 32mmm，解得32m 或 0（舍） ， 故 P 点坐标为( ) 32,24 2 N H y x M C P OBA 综上所述，P 点坐标为（2，-3）或( )
13、 32,24 2 等腰三角形存在性问题 11 【2019 眉山中考删减】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2 4 9 yxbxc 经过点( 5,0)A 和点(1,0)B （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）如图，连接AD、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合） ，作DMNDBA ， MN交线段AD于点N，是否存在这样点M，使得DMN为等腰三角形？若存在，求 出AN的长；若不存在，请说明理由 ABO C D x y M N 等腰三角形存在性问题 12 【分析】 （1） 2 41620 999 yxx ，顶点 D 坐标为()2,4； （2）考虑到DAB=DBA=DMN，即有BMDAN
14、M（一线三等角） 当 MD=MN 时，有BMDANM， 可得 AM=BD=5，故 AN=BM=1； N M y x D C OBA 当 NM=ND 时，则NDM=NMD=DAB， MADDAB，可得 AM= 25 6 ， 11 6 BM ANAM BMBD ，即 25 6 11 5 6 AN ， 解得： 55 36 AN N M y x D C OBA 当 DM=DN 时，DNM=DMN=DAB，显然不成立，故不存在这样的点 M 综上，AN 的值为 1 或 55 36 等腰三角形存在性问题 13 【2019 葫芦岛中考（删减） 】 如图，直线4yx 与x轴交于点B， 与y轴交于点C，抛物线 2
15、 yxbxc经过B，C 两点， 与x轴另一交点为A 点P以每秒2个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运 动（点P不与点B和点C重合） ，设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交 抛物线于点M （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接AM交BC于点D，当PDM是等腰三角形时，直接写出t的值 AB O P C D M Ex y 【分析】 （1） 2 34yxx； （2）考虑到DPM=45 ，当 DP=DM 时，即DMP=45 ， 直线 AM：y=x+1， 联立方程： 2 341xxx， 解得： 1 3x ， 2 1x （舍） 此时 t=1 y x E M D C P O BA 等腰三角形存在性问题 14 当 PD=PM 时，PMD=PDM=67.5 ，MAB=22.5 ， 考虑 tan22.5 =21， 直线 AM： () 2121yx， 联立方程： () 2 342121xxx 解得： 1 52x ， 2 1x （舍） 此时 t=21 y xE M D C P O BA 综上所述，t 的值为 1 或21 附：tan22.5 =21 2 2 1 1 22.5 22.5 45 45 1 tan22.521 21 【总结】 具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件， 选取恰当的方法， 可减轻计算量
