1、专题四专题四 概率与统计概率与统计 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 类型一类型一 用样本估计总体用样本估计总体 1(2020 全国卷全国卷)设一组样本数据设一组样本数据 x1，x2，xn 的方差为的方差为 0.01， 则数据， 则数据 10 x1， 10 x2， ， 10 xn的方差为的方差为( ) A0.01 B0.1 C1 D10 解析：解析：因为数据因为数据 axib，(i1，2，n)的方差是的方差是 数据数据 xi，(i1，2，n)的方差的的方差的 a2倍，所以所求数据倍，所以所求数据 方差为方差为 1020.011. 答案：答案：C 专题四 概率与统计 真题研析 命
2、题分析 知识方法 2(2020 天津卷天津卷)从一批零件中抽取从一批零件中抽取 80 个，测量其直个，测量其直 径径(单位：单位： mm)， 将所得数据分为， 将所得数据分为 9 组：组： 5.31， 5.33)， 5.33， 5.35)，5.45，5.47)，5.47，5.49，并整理得到如下，并整理得到如下 频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间 5.43，5.47)内的个数为内的个数为( ) A10 B18 C20 D36 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 解析：解析：由题意可得，直径落在区间由题意可得，直径落在区
3、间5.43，5.47)之间之间 的零件频率为：的零件频率为：(6.255.00)0.020.225，则区间，则区间5.43， 5.47)内零件的个数为：内零件的个数为：800.22518. 答案：答案：B 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 3(2018 全国卷全国卷)某地区经过一年的新农村建设，某地区经过一年的新农村建设， 农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村 建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图，则建设前后农村的
4、经济收入构成比例，得到如下饼图，则 下列结论中不正确的是下列结论中不正确的是( ) 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 A新农村建设后，种植收入减少新农村建设后，种植收入减少 B新农村建设后，其他收入增加了一倍以上新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C新农村建设后，养殖收入增加了一倍新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和 超过了经济收入的一半超过了经济收入的一半 解析：解析：因为经济收入增加了一倍，因为经济收入增加了一倍，0.3720.6，所，所 以新农村建设后，种植收入增加，故选以新农村建设后，
5、种植收入增加，故选 A. 答案：答案：A 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 4 (2019 全国卷全国卷)我国高铁发展迅速， 技术先进 经我国高铁发展迅速， 技术先进 经 统计，在经停某站的高铁列车中，有统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率个车次的正点率 为为 0.97，有，有 20 个车次的正点率为个车次的正点率为 0.98，有，有 10 个车次的正个车次的正 点率为点率为 0.99， 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率， 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率 的估计值为的估计值为_ 解析：解析：平均正点率的估计值平均正点率的估计值 0.97100.9
6、8200.9910 40 0.98. 答案：答案：0.98 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 5(2019 全国卷全国卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体为了解甲、乙两种离子在小鼠体 内的残留程度， 进行如下试验： 将内的残留程度， 进行如下试验： 将 200 只小鼠随机分成只小鼠随机分成 A， B 两组，每组两组，每组 100 只，其中只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、 摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测
7、算出 残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到 如下直方图：如下直方图： 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 记记 C 为事件：为事件： “乙离子残留在体内的百分比不低于乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5” ，根据直方图得到，根据直方图得到 P(C)的估计值为的估计值为 0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；的值； (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组同一组 中的数据用该组区间的中点值为代表中的数据用该组区间的中点值为代表) 解
8、：解：(1)由已知得由已知得 0.70a0.200.15， 故故 a0.35. b10.050.150.700.10. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为甲离子残留百分比的平均值的估计值为 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 20.1530.2040.3050.2060.107 0.054.05. 乙离子残留百分比的平均值的估计值为乙离子残留百分比的平均值的估计值为 30.0540.1050.1560.3570.208 0.156.00. 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 类型二类型二 古典概型、 相互独立事件的概率与条件概率古典概型、 相互独立事件的概率与
9、条件概率 1(2020 全国卷全国卷)设设 O 为正方形为正方形 ABCD 的中心，在的中心，在 O，A，B，C，D 中任取中任取 3 点，则取到的点，则取到的 3 点共线的概率点共线的概率 为为( ) A.1 5 B. 2 5 C. 1 2 D. 4 5 解析：解析：如图，从如图，从 O，A，B，C，D5 个点个点 中任取中任取 3 个有个有O，A，B，O，A，C，O， A，D，O，B，C，O，B，D，O，C， D，A，B，C，A，B，D，A，C，D，B，C，D 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 共共 10 种不同取法，种不同取法，3 点共线只有点共线只有A，O，C与与B，O
10、， D共共 2 种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到 3 点共线的概率为点共线的概率为 2 10 1 5. 答案：答案：A 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 2(2020 天津卷天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分已知甲、乙两球落入盒子的概率分 别为别为1 2和 和1 3.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两 假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两 球都落入盒子的概率为球都落入盒子的概率为_； 甲、 乙两球至少有一； 甲、 乙两球至少有一 个落入盒子的概率为个落入盒子的概率为_ 解析：解析：甲、乙两球落入盒子的概率分别为甲、乙
11、两球落入盒子的概率分别为1 2， ，1 3 且两球是否落入盒子互不影响，且两球是否落入盒子互不影响， 所以甲、乙都落入盒子的概率为所以甲、乙都落入盒子的概率为1 2 1 3 1 6， ， 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 甲、乙两球都不落入盒子的概率为甲、乙两球都不落入盒子的概率为 11 2 11 3 1 3， ， 所以甲、 乙两球至少有一个落入盒子的概率为所以甲、 乙两球至少有一个落入盒子的概率为 11 3 2 3. 答案：答案：1 6 2 3 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 3(2019 全国卷全国卷)甲、乙甲、乙两队进行篮球决赛，采取两队进行篮球决赛，采
12、取 七场四胜制七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结 束束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主 主客客主客主主客客主客主” ” 设甲队主场取胜的概率为设甲队主场取胜的概率为 0.6， 客场取胜， 客场取胜 的概率为的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 41 获胜的概率是获胜的概率是_ 解析：解析：甲队以甲队以 41 获胜，甲队在第获胜，甲队在第 5 场场(主场主场)获胜，获胜， 前前 4 场中有一场输场中有一场输 若在主场输一场， 则概率为若在主
13、场输一场， 则概率为 20.60.40.50.5 0.6； 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 若在客场输一场，则概率为若在客场输一场，则概率为 20.60.60.50.5 0.6. 所以甲队以所以甲队以 41 获胜的概率获胜的概率 P20.60.50.5 (0.60.4)0.60.18. 答案：答案：0.18 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 4(2020 全国卷全国卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球甲、乙、丙三位同学进行羽毛球 比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签 决定首先比赛的两人， 另一人轮空；
14、 每场比赛的胜者与轮决定首先比赛的两人， 另一人轮空； 每场比赛的胜者与轮 空者进行下一场比赛， 负者下一场轮空， 直至有一人被淘空者进行下一场比赛， 负者下一场轮空， 直至有一人被淘 汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一 人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙 首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为1 2. (1)求甲连胜四场的概率；求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率；求需要进行第五场比赛的概率； (3
15、)求丙最终获胜的概率求丙最终获胜的概率 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 解：解：(1)记事件记事件 M：甲连胜四场，则：甲连胜四场，则 P(M) 1 2 4 1 16. (2)记事件记事件 A 为甲输，事件为甲输，事件 B 为乙输，事件为乙输，事件 C 为丙输，为丙输， 则四局内结束比赛的概率为则四局内结束比赛的概率为 PP(ABAB)P(ACAC)P(BCBC)P(BABA)4 1 2 4 1 4， ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为所以，需要进行第五场比赛的概率为 P1P3 4. 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 (3)记事件记事件 A 为甲输， 事件为
16、甲输， 事件 B 为乙输， 事件为乙输， 事件 C 为丙输，为丙输， 记事件记事件 M：甲赢，记事件：甲赢，记事件 N：丙赢，：丙赢， 则甲赢的基本事件包括：则甲赢的基本事件包括：BCBC、ABCBC、ACBCB、 BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC， 所以，甲赢的概率为所以，甲赢的概率为 P(M) 1 2 4 7 1 2 5 9 32. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为所以丙赢的概率为 P(N)12 9 32 7 16. 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 类型三类型三 离散型随机变量
17、及其分布离散型随机变量及其分布 1(2020 浙江卷浙江卷)盒中有盒中有 4 个球，其中个球，其中 1 个红球，个红球，1 个绿球，个绿球，2 个黄球，从盒中随机取球，每次取个黄球，从盒中随机取球，每次取 1 个，不放个，不放 回， 直到取出红球为止， 设此过程中取到黄球的个数为回， 直到取出红球为止， 设此过程中取到黄球的个数为 ， 则则 P(0)_；E()_ 解析：解析：因为因为 0 对应事件为第一次拿红球或第一次对应事件为第一次拿红球或第一次 拿绿球，第二次拿红球拿绿球，第二次拿红球， 所以所以 P(0)1 4 1 4 1 3 1 3，随机变量 ，随机变量 0，1，2， 专题四 概率与统
18、计 真题研析 命题分析 知识方法 P(1)2 4 1 3 2 4 1 3 1 2 1 4 2 3 1 2 1 3， ， P(2)11 3 1 3 1 3， ， 所以所以 E()01 3 11 3 21 3 1. 答案：答案：1 3 1 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 2(2018 全国卷全国卷)某工厂的某种产品成箱包装，每某工厂的某种产品成箱包装，每 箱箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验， 如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这 箱产品中任取箱产品中任取 20
19、 件作检验，再根据检验结果决定是否对件作检验，再根据检验结果决定是否对 余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率 都为都为 p(0p0； 当当 p(0.1，1)时，时，f(p)400，故应该对余下的产品作检验，故应该对余下的产品作检验 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 类型四类型四 统计案例统计案例 1(2020 全国卷全国卷)某校一个课外学习小组为研究某某校一个课外学习小组为研究某 作物种子的发芽率作物种子的发芽率 y 和温度和温度 x(单位：单位：)的关系，在的关系，在 20 个个 不同的温度条件下进行种子发芽实验，由
20、实验数据不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi， yi)(i1，2，20)得到下面的散点图：得到下面的散点图： 由此散点图，在由此散点图，在 10 至至 40 之间，下面四个回归之间，下面四个回归 方程类型方程类型中最适宜作为发芽率中最适宜作为发芽率y和温度和温度x的回归方程类型的回归方程类型 的是的是( ) 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 Ayabx Byabx2 Cyabex Dyabln x 解析：解析： 由散点图分布可知， 散点图分布在一个对数函由散点图分布可知， 散点图分布在一个对数函 数的图象附近，因此， 最适合作为发芽率数的图象附近，因此， 最适合作
21、为发芽率 y 和温度和温度 x 的回的回 归方程类型的是归方程类型的是 yabln x. 答案：答案：D 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 2(2020 全国卷全国卷)某沙漠地区经过治理，生态系统某沙漠地区经过治理，生态系统 得到很大改善，野生动物数量有所增加为调查该地区得到很大改善，野生动物数量有所增加为调查该地区 某种野生动物的数量，将其分成面积相近的某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，个地块， 从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样个作为样 区，调查得到样本数据区，调查得到样本数据(xi，yi)(i1，
22、2，20)，其中，其中 xi和和 yi分别表示第分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积个样区的植物覆盖面积(单位：公顷单位：公顷) 和这种野生动物的数量，并计算得和这种野生动物的数量，并计算得 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 (1)求该地区这种野生动物数量的估计值求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动这种野生动 物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘 以地块数以地块数)； (2)求样本求样本(xi，yi)(i1，2，20)的相关系数的相关系数(精确精确 到到 0.01)； (3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面
23、积差异根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异 很大 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数很大 为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数 量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法， 并说明理由并说明理由 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 解：解：(1)样区野生动物平均数为样区野生动物平均数为 1 20 i1 20 yi 1 20 1 20060， 地块数为地块数为 200，所以该地区这种野生动物的估计值为，所以该地区这种野生动物的估计值为 2006012 000. (2)样本样本(xi，yi)的相关系数为的
24、相关系数为 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 (3)由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样 本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按 优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内 用简单随机抽样法抽取样本即可用简单随机抽样法抽取样本即可 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 3(2020 全国卷全国卷)某学生兴趣小组随机调查了某市某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人天中
25、每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人 次，整理数据得到下表次，整理数据得到下表(单位：天单位：天)： 锻炼人次锻炼人次 空气质量等级空气质量等级 0，200 (200，400 (400，600 1(优优) 2 16 25 2(良良) 5 10 12 3(轻度污染轻度污染) 6 7 8 4(中度污染中度污染) 7 2 0 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；的概率； (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一同一 组中的数据用该组区间的中
26、点值为代表组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (3)若某天的空气质量等级为若某天的空气质量等级为 1 或或 2，则称这天，则称这天“空气空气 质量好质量好” ； 若某天的空气质量等级为； 若某天的空气质量等级为 3 或或 4， 则称这天， 则称这天 “空空 气质量不好气质量不好” ” 根据所给数据，完成下面的根据所给数据，完成下面的 22 列联表，列联表， 并根据列联表，判断是否有并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该的把握认为一天中到该 公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 项目项
27、目 人次人次400 人次人次400 空气质量好空气质量好 空气质量不好空气质量不好 附：附：K2 n（adbc）2 （ab）（）（cd）（）（ac）（）（bd）， ， P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解：解：(1)由频数分布表可知，该市一天的空气质量等由频数分布表可知，该市一天的空气质量等 级为级为 1 的概率为的概率为2 1625 100 0.43，等级为，等级为 2 的概率为的概率为 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 51012 100 0.27，等级为，等级为 3 的概率为的概率为6 78 100 0.21，等，
28、等 级为级为 4 的概率为的概率为7 20 100 0.09. (2)由频由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次 的平均数为的平均数为 100203003550045 100 350. (3)22 列联表如下：列联表如下： 专题四 概率与统计 真题研析 命题分析 知识方法 项目项目 人次人次400 人次人次400 空气质量好空气质量好 33 37 空气质量不好空气质量不好 22 8 K2100 （3383722）2 55457030 5.8203.841， 因此，有因此，有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人的把握认为一天中到该公园锻炼的人 次与该
29、市当天的空气质量有关次与该市当天的空气质量有关 专题四 概率与统计 命题分析 真题研析 知识方法 1高考在概率、统计部分一般是两个小题，一个解高考在概率、统计部分一般是两个小题，一个解 答题，分值一般为答题，分值一般为 22 分，难度一般为中等偏下，但概率分，难度一般为中等偏下，但概率 统计的解答题有时作为压轴题出现，难度较大统计的解答题有时作为压轴题出现，难度较大 2本部分主要考查计数原理、排列与组合、二项式本部分主要考查计数原理、排列与组合、二项式 定理、随机事件的概率及其性质、古典概型的概率计算、定理、随机事件的概率及其性质、古典概型的概率计算、 条件概率、 相互独立事件的概率、 随机变
30、量的期望和方差、条件概率、 相互独立事件的概率、 随机变量的期望和方差、 用样本估计总体的方法、统计案例等用样本估计总体的方法、统计案例等 3概率统计部分一般不单独命题，而是把概率的统概率统计部分一般不单独命题，而是把概率的统 计的知识相互交汇， 题干一般较长， 解答时要仔细审题读计的知识相互交汇， 题干一般较长， 解答时要仔细审题读 题，从中提取有效信息，准确解答题，从中提取有效信息，准确解答 专题四 概率与统计 知识方法 真题研析 命题分析 1统计中的四个数据特征统计中的四个数据特征 (1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据 (2)中位数：
31、样本数据中，将数据按大小排列，位于最中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最 中间的数据如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据中间的数据如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据 的平均数作为中位数的平均数作为中位数 (3)平均数： 样本数据的算术平均数， 即平均数： 样本数据的算术平均数， 即x 1 n(x1 x2 xn) (4)方差与标准差：方差与标准差： s21 n(x1 x )2(x2x )2(xnx )2， 专题四 概率与统计 知识方法 真题研析 命题分析 s 1 n（ （x1x）2（x2x）2（xnx）2. 2直方图的两个结论直方图的两个结论 (1)小长方形的面积组距小长方形的面积
32、组距频率 频率 组距组距频率 频率 (2)各小长方形的面积之和等于各小长方形的面积之和等于 1. 3回归分析与独立性检验回归分析与独立性检验 (1)回归直线回归直线y b x a 经过样本点的中心点 经过样本点的中心点(x ，y )，若，若 x 取某一个值代入回归直线方程取某一个值代入回归直线方程y b x a 中，可求出 中，可求出 y 的的 估计值估计值 - - - 专题四 概率与统计 知识方法 真题研析 命题分析 (2)独立性检验独立性检验 对于取值分别是对于取值分别是x1， x2和和y1， y2的分类变量的分类变量 X 和和 Y， 其样本频数列联表是：其样本频数列联表是： y1 y2
33、总计总计 x1 a b ab x2 c d cd 总计总计 ac bd n 则则 K2 n（adbc）2 （ab）（）（cd）（）（ac）（）（bd）(其中 其中 n abcd 为样本容量为样本容量) 专题四 概率与统计 知识方法 真题研析 命题分析 4概率模型公式及相关结论概率模型公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式：古典概型的概率公式： P(A)m n 事件 事件A中所含的基本事件数中所含的基本事件数 试验的基本事件总数试验的基本事件总数 . (2)条件概率：在条件概率：在 A 发生的条件下发生的条件下 B 发生的概率：发生的概率： P(B|A)P（ （AB） P（A） . (3)相互
34、独立事件同时发生的概率：若相互独立事件同时发生的概率：若 A，B 相互独立，则相互独立，则 P(AB)P(A) P(B) (4)若事件若事件 A，B 互斥，则互斥，则 P(AB)P(A)P(B)，P(A ) 1P(A) 专题四 概率与统计 知识方法 真题研析 命题分析 5独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布 如果事件如果事件 A 在一次试验中发生的概率是在一次试验中发生的概率是 p， 那么它在， 那么它在 n次独立重复试验中恰好发生次独立重复试验中恰好发生k次的概率为次的概率为Pn(k)Ck np k(1 p)n k， ，k0，1，2，n.用用 X 表示事件表示事件 A 在在 n 次独
35、次独 立重复试验中发生的次数，则立重复试验中发生的次数，则 X 服从二项分布，即服从二项分布，即 X B(n，p)且且 P(Xk)Ck np k(1 p)n k. 6超几何分布：在含有超几何分布：在含有 M 件次品的件次品的 N 件产品中，件产品中， 任取任取 n 件，其中恰有件，其中恰有 X 件次品，则件次品，则 P(Xk)C k MC nk N M Cn N ， 专题四 概率与统计 知识方法 真题研析 命题分析 k0，1，2，m，其中，其中 mminM，n，且，且 nN， MN，n，M，NN*，此时称随机变量，此时称随机变量 X 服从超几何分服从超几何分 布 超几何分布的模型是不放回抽样，
36、 超几何分布中的参布 超几何分布的模型是不放回抽样， 超几何分布中的参 数是数是 M，N，n. 7离散型随机变量的均值、方差离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量离散型随机变量 的分布列为：的分布列为： x1 x2 x3 xi n P p1 p2 p3 pi pn 专题四 概率与统计 知识方法 真题研析 命题分析 离散型随机变量离散型随机变量 的分布列具有两个性质：的分布列具有两个性质：pi0. p1p2pipn1(i1，2，3，n) (2)E()x1p1x2p2xipixnpn为随机变量为随机变量 的数学期望或均值的数学期望或均值 D()(x1E()2 p1(x2E()2 p2(x
37、i E()2 pi(xnE()2 pn叫做随机变量叫做随机变量 的方差的方差 (3)数学期望、方差的性质数学期望、方差的性质 E(ab)aE()b，D(ab)a2D() XB(n，p)，则，则 E(X)np，D(X)np(1p) X 服从两点分布，则服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p) 专题四专题四 概率与统计概率与统计 微专题微专题1 概率与统计概率与统计 微专题1 概率与统计 对点训练 小题考法小题考法 1 用样本估计总体用样本估计总体 (1)(2020 昆明一中模拟昆明一中模拟)“二万五千里长征二万五千里长征”是是 1934 年年 10 月到月到 1936 年年 10 月中国
38、工农红军进行的一次战月中国工农红军进行的一次战 略转移， 是人类历史上的伟大奇迹， 向世界展示了中国工略转移， 是人类历史上的伟大奇迹， 向世界展示了中国工 农红军的坚强意志， 在期间发生了许多可歌可泣的英雄故农红军的坚强意志， 在期间发生了许多可歌可泣的英雄故 事在中国共产党建党事在中国共产党建党 98 周年之际，某中学组织了周年之际，某中学组织了“长长 征英雄事迹我来讲征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生活动，已知该中学共有高中生 2 700 名， 用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为名， 用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为 45 的样本参加活动，其中高三年级
39、抽了的样本参加活动，其中高三年级抽了 12 人，高二年级人，高二年级 抽了抽了 16 人，则该校高一年级学生人数为人，则该校高一年级学生人数为( ) A720 B960 C1 020 D1 680 微专题1 概率与统计 对点训练 (2)(2020 盐城第四次模拟盐城第四次模拟)如图所示，一家面包销售如图所示，一家面包销售 店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频 率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次率分布直方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次 为为0，50)，50，100)，100，150)，150，200)，200， 2
40、50若一个月以若一个月以 30 天计算，估计这家面包店一个月内天计算，估计这家面包店一个月内 这种面包的日销售量少于这种面包的日销售量少于 100 个的天数为个的天数为_天天 微专题1 概率与统计 对点训练 (3)(2020 安阳模拟安阳模拟)国家统计局服务业调查中心和中国家统计局服务业调查中心和中 国物流与采购联合会发布的国物流与采购联合会发布的 2018 年年 10 月份至月份至 2019 年年 9 月份共月份共 12 个月的中国制造业采购经理指数个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图如下图 所示则下列结论中错误的是所示则下列结论中错误的是( ) A12 个月的个月的 PMI 值不低
41、于值不低于 50%的频率为的频率为1 3 B12 个月的个月的 PMI 值的平均值低于值的平均值低于 50% C12 个月的个月的 PMI 值的众数为值的众数为 49.4% D12 个月的个月的 PMI 值的中位数为值的中位数为 50.3% 微专题1 概率与统计 对点训练 解析：解析：(1)因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取 一个容量为一个容量为 45 的样本， 其中高三年级抽的样本， 其中高三年级抽 12 人， 高二年级人， 高二年级 抽抽 16 人， 所以高一年级要抽取人， 所以高一年级要抽取 45121617 人， 因为人， 因为 该校高中学共有该校
42、高中学共有 2 700 名学生， 所以各年级抽取的比例是名学生， 所以各年级抽取的比例是 45 2 700 1 60，所以该校高一年级学生人数为 ，所以该校高一年级学生人数为 171 60 1 020 人，故选人，故选 C. (2)根据频率分布直方图，日销售量少于根据频率分布直方图，日销售量少于 100 个的频个的频 率为率为(0.0030.005)500.4， 微专题1 概率与统计 对点训练 则估计这家面包店一个月内日销售量少于则估计这家面包店一个月内日销售量少于 100 个的个的 天数为天数为 300.412(天天) (3)从图中数据变化看，从图中数据变化看，PMI 值不低于值不低于 50
43、%的月份有的月份有 4 个， 所以个， 所以 12 个月的个月的 PMI 值不低于值不低于 50%的频率为的频率为 4 12 1 3， ， 故故 A 正确；由图可以看出，正确；由图可以看出，PMI 值的平均值低于值的平均值低于 50%， 故故 B 正确；正确；12 个月的个月的 PMI 值的众数为值的众数为 49.4%，故，故 C 正正 确；确；12 个月的个月的 PMI 值的中位数为值的中位数为 49.6%，故，故 D 错误故错误故 选选 D. 答案：答案：(1)C (2)12 (3)D 微专题1 概率与统计 对点训练 1要读懂统计图表，看清楚统计图表的纵轴和横轴要读懂统计图表，看清楚统计图
44、表的纵轴和横轴 所表示的意义，并能够根据统计图表估计总体的分布，所表示的意义，并能够根据统计图表估计总体的分布， 理解平均数、众数、中位数、方差的计算方法与意义理解平均数、众数、中位数、方差的计算方法与意义 2已知频率分布直方图中的部分数据求其他数据，已知频率分布直方图中的部分数据求其他数据， 可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关 系，利用频率和等于系，利用频率和等于 1 求出其他数据求出其他数据 微专题1 概率与统计 对点训练 1(多选题多选题)(2020 泰安模拟泰安模拟)某调查机构对全国互联某调查机构对全国互联 网行业进行调查统计，
45、得到整个互联网行业从业者年龄网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄 分布饼状图、分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则后从事互联网行业岗位分布条形图，则 下列结论正确的是下列结论正确的是( ) 注：注： 90 后指后指 1990 年及以后出生，年及以后出生， 80 后指后指 19801989 年之间出生，年之间出生，80 前指前指 1979 年及以前出生年及以前出生 微专题1 概率与统计 对点训练 A互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占 总人数的三成以上总人数的三成以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
46、互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C互联网行业中从事运营岗位的人数互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比后比 80 前多前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比后比 80 后多后多 解析：解析：选项选项 A：因为互联网行业从业人员中，：因为互联网行业从业人员中， “90 后后” 占比为占比为 56%，其中从事技术和运营岗位的人数占的比分，其中从事技术和运营岗位的人数占的比分 别为别为 39.6%和和 17%，则，则“90 后后”从事技术和运营岗位的从事技术和运营岗位的 人数占总人数的人数占总人数的 56%(39.6%17%)31.7
47、%.“80 前前” 和和“80 后后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总 的占比一定超过三成，故选项的占比一定超过三成，故选项 A 正确；正确； 微专题1 概率与统计 对点训练 选项选项 B：因为互联网行业从业人员中，：因为互联网行业从业人员中， “90 后后”占比占比 为为 56%，其中从事技术岗位的人数占的比为，其中从事技术岗位的人数占的比为 39.6%，则，则 “90 后后”从事技术岗位的人数占总人数的从事技术岗位的人数占总人数的 56%39.6% 22.2%.“80 前前”和和“80 后后”中必然也有从事技术岗位中必然也有从事技术岗位 的人，则总的占比一定超过的人，则总的占比一定超过 20%，故选项，故选项 B 正确；正确； 选项选项 C： “90 后后”从事运营岗位的人数占总人数的比从事运营岗位的人数占总人数的比 为为 56%17%9.5%， 大于， 大于 “80 前前” 的总人数所占比的总人数所占比 3%， 故选项故选项 C 正确；正确； 微专题1 概率与统计 对点训练 选项选项 D： “9
