1、专题五专题五 解析几何解析几何 微专题微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 大题考法大题考法 1 最值问题最值问题 (2020 泸州模拟泸州模拟)已知椭圆已知椭圆 E： x2 a2 y 2 b2 1(ab0) 的左右焦点为的左右焦点为 F1，F2，离心率为，离心率为 3 2 ，过点，过点 F2且垂直于且垂直于 x 轴的直线被椭圆轴的直线被椭圆 E 截得的弦长为截得的弦长为 1. (1)求椭圆求椭圆 E 的方程；的方程； (2)若直线若直线 ykxm(k0)交椭圆交椭圆 E 于点于点 C，D 两点，两点，
2、 与线段与线段 F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点和椭圆短轴分别交于两个不同点 M，N，且，且 |CM|DN|，求，求|CD|的最小值的最小值 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 解：解：(1)由题可知：由题可知：ec a 3 2 1b 2 a2，且 ，且2b 2 a 1， 解得解得 a2，b1，c 3.则椭圆则椭圆 E 的方程为的方程为x 2 4 y21. (2)把把 ykxm(k0)代入代入 x2 4 y21 得得(14k2)x2 8kmx4m240， 设设 D(x1，y1)，C(x2，y2)，则，则 x1x2 8km 14k2， ，x1x2 4m24 14k2 ，又，
3、又 M m k ，0 ，N(0，m)， 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 因因|CM|DN|， 所以， 所以 xMx1x2xN， 即， 即 xMxNx1x2， 所以所以 x1x2 8km 14k2 m k ， 因为因为 ykxm(k0)与线段与线段 F1F2和椭圆短轴分别交于两和椭圆短轴分别交于两 个不同点个不同点 M，N， 所以所以 m0，又，又 k0，则，则 k1 2，故 ，故 x1x22m，x1x2 2m22， 因为直线因为直线 ykxm(k0)即即 y1 2x m 与线段与线段 F1F2 及椭圆的短轴分别交于不同两点，由于及椭圆的短轴分别交于不同两点，由于 b1，c
4、 3，直，直 线线 y1 2x m 过过(0，m)，(2m，0)， 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 所以所以 1mb0)，离，离 心率为心率为 2 2 ，左准线方程是，左准线方程是 x2，设，设 O 为原点，点为原点，点 A 在椭圆在椭圆 C 上，点上，点 B 在直线在直线 y2 上，且上，且 OAOB. (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)求求AOB 面积取得最小值时，线段面积取得最小值时，线段 AB 的长度的长度 解：解：(1)设椭圆的半焦距为设椭圆的半焦距为 c，则由题意的，则由题意的 c a 2 2 ， a2 c 2， 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围
5、、证明问题 对点训练 解得解得 a 2， cb1， 所以椭圆所以椭圆 C 的方程为的方程为x 2 2 y21. (2)由题意，直线由题意，直线 OA 的斜率存在，设直线的斜率存在，设直线 OA 的斜率的斜率 为为 k， 若若 k0，则，则 A( 2，0)或或( 2，0)，B(0，2)，此时，此时 AOB 面积为面积为 2，AB 6. 若若 k0， 则直线， 则直线 OA： ykx 与椭圆与椭圆x 2 2 y21 联立得：联立得： 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 (12k2)x22，可得，可得 OA 1k2 2 12k2. 直线直线 OB：y1 kx 与 与 y2 联立得：
6、联立得：B(2k，2)，则，则 OB 2 1k2， S OAB1 2OA OB 2 1k2 12k2，令 ，令 t 12k21， 则则 S OAB 2 1t 2 1 2 t 2 2 t1 t 2， 所以所以 S OAB的最小值为的最小值为 2，在，在 k0 时取得，此时时取得，此时 AB 6. 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 大题考法大题考法 2 范围问题范围问题 已知椭圆已知椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的离心率的离心率 e 3 2 ， 直线， 直线 x 3y10 被以椭圆被以椭圆 C 的短轴为直径的圆截的短轴为直径的圆截 得的弦长为得的弦长为 3.
7、 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)过点过点 M(4，0)的直线的直线 l 交椭圆于交椭圆于 A，B 两个不同的两个不同的 点，且点，且 |MA| |MB|，求，求 的取值范围的取值范围 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 解：解：(1)原点到直线原点到直线 x 3y10 的距离为的距离为1 2， ， 由题得由题得 1 2 2 3 2 2 b2(b0)，解得，解得 b1. 又又 e2c 2 a2 1b 2 a2 3 4，得 ，得 a2. 所以椭圆所以椭圆 C 的方程为的方程为x 2 4 y21. (2)当直线当直线 l 的斜率为的斜率为 0 时，时，|MA| |
8、MB|12. 当直线当直线 l 的斜率不为的斜率不为 0 时，设直线时，设直线 l：xmy4，点，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 联立联立 xmy4， x2 4 y21， 消去消去 x 得得(m24)y28my120. 由由 64m248(m24)0，得，得 m212，所以，所以 y1y2 12 m24. |MA| |MB| m21|y1| m21|y2| (m21)|y1y2|12（ （m21） m24 12 1 3 m24 . 由由 m212，得，得 0 3 m24 3 16，所以 ，所以39 4 12. 综上可得综上可得39
9、 4 b0)的离心率为的离心率为1 2，且过点 ，且过点 1，3 2 ，椭圆，椭圆 C 的右顶点的右顶点 为为 A，点，点 B 的坐标为的坐标为 1 2， ，0 . (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)已知纵坐标不同的两点已知纵坐标不同的两点 P， Q 为椭圆为椭圆 C 上的两个点，上的两个点， 且且 B，P，Q 三点共线，线段三点共线，线段 PQ 的中点为的中点为 R，求直线，求直线 AR 的斜率的取值范围的斜率的取值范围 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 解：解：(1)因为椭圆因为椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的离心率为的离心率为1 2，
10、 ， 且过点且过点 1，3 2 ， 所以所以 e c a 1 2， ， 1 a2 9 4b2 1， a2b2c2， 解得解得 a2，b 3，所以椭圆，所以椭圆 C 的方程为的方程为x 2 4 y 2 3 1. 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 (2)依题意知直线依题意知直线 PQ 过点过点 B 1 2， ，0 ，且斜率不为，且斜率不为 0， 故可设其方程为故可设其方程为 xmy1 2， ， 由由 x my1 2， ， x2 4 y 2 3 1， 消去消去 x 得得 4(3m24)y212my45 0，0， 设点设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x0，y0)，直线
11、，直线 AR 的斜的斜 率为率为 k， 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 故故 y1 y2 3m 3m24 ， 所 以， 所 以 y0 y1y2 2 3m 2（3m24）， ， 所以所以 x0my01 2 2 3m24， ， 又点又点 A 的坐标为的坐标为(2，0)，所以，所以 k y0 x02 m 4m24， ， 当时当时 m0 时，时，k0； 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 当当 m0 时，时， k 1 4m 4 m ， 因为， 因为 4m 4 m 4|m| 4 |m| 2 4|m| 4 |m| 8，当且仅当，当且仅当|m|1 时，等号成立，所以时
12、，等号成立，所以 0 1 4m 4 m 1 8，所以 ，所以 00)， 与椭圆， 与椭圆x 2 4 y 2 2 1 联立联立 可得可得(12k2)x24， 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 所以所以 x 2 2k21，则 ，则 M 2 2k21， ， 2k 2k21 ， N 2 2k21， ， 2k 2k21 . 则点则点 H 的坐标为的坐标为 2 2k21， ，0 ，直线，直线 HN 的方程为的方程为 y k 2 x 2 2k21 ， 代入代入x 2 4 y 2 2 1，可得，可得 k2 2 1 x2 2k2x 2k21 6k24 2k21 0， 微专题3 圆锥曲线中的最
13、值、范围、证明问题 对点训练 所以所以 xQ xN 6k24 k2 2 1 （2k21） . 因为因为 xN 2 2k21，所以 ，所以 xQ 6k24 （k22） 2k21， ， Q的坐标为的坐标为( 6k24 （k22） 2k21 ， 2k3 （k22） 2k21)， ， 于是于是 kQM1 k，所以 ，所以 kQM kMN1，即，即 QMMN. 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 1 圆锥曲线中的证明问题主要有两类： 一是证明点、圆锥曲线中的证明问题主要有两类： 一是证明点、 直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直
14、线 上，某直线经过某个点，某两条直线平行或垂直；二是上，某直线经过某个点，某两条直线平行或垂直；二是 证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或者不等相等或者不等) 2 在证明问题时， 主要依据直线和圆锥曲线的性质、在证明问题时， 主要依据直线和圆锥曲线的性质、 直线与圆锥曲线的直线与圆锥曲线的位置关系等，把几何条件恰当地转化位置关系等，把几何条件恰当地转化 为代数式子，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形为代数式子，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形 以及必要的数值计算进行证明以及必要的数值计算进行证明 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练
15、 已知椭圆已知椭圆 C 的短轴的两个端点分别为的短轴的两个端点分别为 A(0，1)、B(0， 1)，焦距为，焦距为 2 3. (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)已知直线已知直线ym与椭圆与椭圆C有两个不同的交点有两个不同的交点M、 N， 设设 D 为直线为直线 AN 上一点，且直线上一点，且直线 BD、BM 的斜率的积为的斜率的积为 1 4.证明：点 证明：点 D 在在 x 轴上轴上 (1)解：解：由题设，得由题设，得 b 1， c 3，所以 所以 a2b2c24，即，即 a2. 故椭圆故椭圆 C 的方程为的方程为x 2 4 y21. 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
16、对点训练 (2)证明：证明：设设 M(x1，m)，则，则 N(x1，m)，x10， 1m1.所以直所以直线线 BM 的斜率为的斜率为m（ （1） x10 m 1 x1 ， 因为， 因为 直线直线 BD、BM 的斜率的积为的斜率的积为1 4，所以直线 ，所以直线 BD 的斜率为的斜率为 x1 4（m1）.直线 直线 AN 的方程为的方程为 y1 m x1 x1，直线，直线 BD 的方程为的方程为 y x1 4（m1）x 1. 微专题3 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 对点训练 联立联立 y 1 m x1 x1， y x1 4（m1）x 1， 解得点解得点 D 的纵坐标为的纵坐标为 yD 1 4x 2 1 m21 1 4x 2 1 m21 . 因为点因为点 M 在椭圆在椭圆 C 上，所以上，所以x 2 1 4 m21，则，则 yD0， 所以点所以点 D 在在 x 轴上轴上 谢谢观赏谢谢观赏 专专 题题 强强 化化 练练
