1、热点热点(八八) 平面向量平面向量 1(平面向量基本定理)设 D 为ABC 的边 BC 的延长线上一点，BC 3CD ，则( ) A.AD 1 3AB 4 3AC B.AD 4 3AB 1 3AC C.AD 1 3AB 4 3AC D.AD 4 3AB 1 3AC 2(向量共线的坐标表示)已知向量 a(4,2)，向量 b(x,3)，且 ab，则 x( ) A9 B6 C5 D3 32020 佛山三水区实验中学模拟(平面向量的应用)长江两岸之间没有大桥的地方，常 常通过轮渡进行运输如图所示，一艘船从长江南岸 A 点出发，以 5 km/h 的速度沿AD 方向行 驶，到达对岸 C 点，且 AC 与江
2、岸 AB 垂直，同时江水的速度为向东 3 km/h，则该船实际行驶 的速度大小为( ) A2 km/h B. 34 km/h C4 km/h D8 km/h 42020 安徽十四校联考(平面向量的模)已知向量 a 与 b 方向相反，a(1， 3)，|b| 2，则|ab|( ) A2 B4 C8 D16 52020 四川达州一诊(平面向量平行问题)若向量 a(4,2)，b(6，k)，则 ab 的充要 条件是( ) Ak12 Bk12 Ck3 Dk3 62020 湖北八校一联(平面向量垂直问题)已知平面向量 a(1，3)，b(4，2)，若 ab 与 b 垂直，则 ( ) A1 B1 C2 D2 7
3、2020 河北邢台模拟(平面向量的投影)已知 a(1， 3)，a b5，则 ab 在 a 方 向上的投影为( ) A.1 2 B 1 2 C3 2 D. 11 4 82020 广东六校二联(平面向量的夹角)设平面向量 a(2,1)，b(，2)，若 a 与 b 的夹角为锐角，则 的取值范围是( ) A. 1 2，2 (2，) B(，4)(4,1) C(1，) D(，1) 9. 2020 石家庄二中三联(平面向量的数量积)如图所示，在直角梯形 ABCD 中，AB8，CD 4，ABCD，ABAD，E 是 BC 的中点，则AB (ACAE)( ) A32 B48 C80 D64 10 (数量积的应用)
4、在ABC 中， 设|AC |2|AB|22AM BC ， 则动点 M 的轨迹必通过ABC 的( ) A垂心 B内心 C重心 D外心 112020 保定市模拟考试(平面向量与数列综合)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 点 A，B，C，O 满足：AB BC(0)；A，B，O 确定一个平面；OB a3OA a98OC . 则 S100( ) A29 B40 C45 D50 122020 郑州一中期中(平面向量的数量积)已知|OA |OB |OC |1，D 为 BC 的中点， 且|BC | 3，则AD BC 的最大值为( ) A. 3 2 B.3 2 C. 3 D2 132020 武汉市摸底
5、检测(平面向量的模)已知 a，b 为单位向量，且 a，b 的夹角为 60 ， 则|2ab|_. 14 (数量积)设a， b是互相垂直的单位向量， 且(ab)(a2b)， 则实数的值是_ 152020 云南南靖模拟(平面向量在物理中的应用)在平面直角坐标系中，力 F(2,3)作 用于一物体，使该物体从点 A(2,0)移动到点 B(4,0)，则力 F 对物体做的功为_ 16(向量的夹角)已知非零向量a a，b b满足|2a ab b|a a2b b| 3|a a|，则a a，b b的夹角为 _ 热点热点(八八) 平面向量平面向量 1答案：C 解析：AD AB BD AB 4 3BC AB4 3(A
6、C AB)1 3AB 4 3AC ，故选 C. 2答案：B 解析：因为向量 a(4,2)，向量 b(x,3)且 ab， 所以 432x，x6，故选 B. 3答案：C 解析：(以下解析中速度按向量处理)不妨设该船经过 1 h 到达点 C，由题意画出向量图如 图所示， 则AD 为船速，AB 为水速，AC为该船实际行驶的速度，易知|AC|4.故选 C. 4答案：B 解析：方法一 因为 a(1， 3)，所以|a|2. 又向量 a 与 b 方向相反，且|b|2，所以 ab，所以|ab|2|b|4.故选 B. 方法二 因为 a(1， 3)，所以|a|2. 又|b|2，所以|ab|ab2 a22a bb2
7、22222cos 224. 故选 B. 5答案：D 解析：因为向量 a(4,2)，b(6，k)，若 ab，则 4k260，解得 k3， 即 abk3； 反之，若 k3，则 a(4,2)，b(6,3)，所以 a2 3b，所以 ab，即 k3ab.故选 D. 6答案：D 解析：因为 a(1，3)，b(4，2)，所以 ab(4，32) 又 ab 与 b 垂直，所以(ab) b4(4)2(32)0，解得 2.故选 D. 7答案：B 解析：因为 a(1， 3)， 所以|a| 132. 根据投影的定义可得，ab 在 a 方向上的投影为ab a |a| a 2a b |a| 45 2 1 2，故选 B. 8
8、答案：B 解析：方法一 因为 a 与 b 的夹角为锐角，所以 cosa，b(0,1) 又向量 a(2,1)，b(，2)，所以 cosa，b a b |a|b| 22 5 24(0,1)， 整理得 220， 28160， 所以 0， a，b不共线. 又向量 a(2,1)，b(，2)，所以 220， 2 2 1， 所以 1， 4， 所以 的取值范围为(，4)(4,1)故选 B. 9答案：C 解析：方法一 AB (ACAE)AB ACAB AE， 由向量的数量积的几何意义可得，AB AC的值为|AB|与AC在AB方向上的投影的乘积 因为AC 在AB方向上的投影为1 2|AB |4， 所以AB AC8
9、432. 同理可得，AB AE8648， 所以AB (ACAE)324880. 故选 C. 方法二 依题意，取 AD4，可得|AC |4 2，CAB45 . 因为 E 是 BC 的中点， 所以AE 1 2(AB AC)， 所以AB (ACAE)AB AC 1 2AB AC AB 1 2AB 3 2AC 1 2AB 23 2AB AC1 28 23 2 84 2cos 45 80. 故选 C. 10答案：D 解析：|AC |2|AB|2(ACAB) (ACAB)(ACAB) BC2AM BC ， BC (ACAB2AM )0BC (ACAM AB AM )BC (MC MB )0， 设 E 为
10、BC 的中点，则MC MB 2ME ， BC 2ME 0BC ME ME 为 BC 的垂直平分线， M 的轨迹必过ABC 的外心，故选 D. 11答案：D 解析：通解 因为AB BC(0)，所以 A，B，C 三点共线又 A，B，O 确定一个平面， 即 A，B，O 不共线，所以 A，C，O 不共线，即OA ，OC 不共线由AB BC(0)，得OB OA (OC OB )，当 1 时，OB 1 1OA 1OC ，当 1 时，OA OC (舍去)因 为OB a3OA a98OC ，所以 a3 1 1，a98 1，则 a3a981，又数列an为等差数列，所 以 a1a100a3a981，所以 S100
11、a1a100100 2 50.故选 D. 优解 由AB BC(0)，得 A，B，C 三点共线，又 A，B，O 确定一个平面，所以 A，B， C，O 四点共面根据OB a3OA a98OC ，得 a3a981，因为数列an为等差数列，所以 a1 a100a3a981，所以 S100a1a100100 2 50，故选 D. 12答案：C 解析：因为|OA |OB |OC |1，所以点 A，B，C 在以点 O 为圆心、1 为半径的圆上 连接 OD，以 O 为原点，OD 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示 因为|BC | 3，|OB |1，D 为 BC 的中点，所以|OD |1 2. 则
12、 B 3 2 ，1 2 ，C 3 2 ，1 2 ，D 0，1 2 . 设 A(x，y)，则AD (x，1 2y)，BC ( 3，0)，所以AD BC 3x， 易知1x1，所以当点 A 在 x 轴负半轴上，即 x1 时，(AD BC ) max 3.故选 C. 13答案： 3 解析：|2ab|2(2ab)24a24a bb23，所以|2ab| 3. 14答案：2 解析：依题意，有|a|b|1，且 a b0， 又(ab)(a2b)，所以(ab) (a2b)0， 即 a22b2(21)a b0，即 20，所以 2. 15答案：4 解析：根据题意得，力 F 对物体做的功为 WF AB . 因为 A(2,0)，B(4,0)，所以AB (42,00)(2,0) 又 F(2,3)，所以 WF AB 22304. 16答案：2 3 解析：由题意，知|2ab|a2b|， 即(2ab)2(a2b)2，即 4a24a bb2a24a b4b2； 解得 a2b2，|a|b|. 又|a2b| 3|a|，(a2b)23a2，a24a b4b23a2， a24a2cosa，b4a23a2， 又 a0，14cosa，b43，cosa，b1 2， 又 0a，b，a，b2 3 .
