1、 第 1 页（共 24 页） 2020-2021 学年江苏省南通市高三（上）期中数学试卷学年江苏省南通市高三（上）期中数学试卷 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分。在每小题提供的四个选项中，只有一分。在每小题提供的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合1A ，2， 2 m，1B ，m若BA，则(m ) A0 B2 C0 或 2 D1 或 2 2 （5 分）设xR，则“ 2 log (2)1x ”是“2x ”的( )条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分又不必要 3 （5 分）
2、已知 1 cos(75) 4 ，则cos(302 )( ) A 3 4 B 5 4 C 5 8 D 7 8 4（5 分） 把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量 设( , )eA B是直线l的一个方向向量， 那么(, )nB A 就是直线l的一个法向量借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直 线的距离已知P是直线l外一点，n是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么 PQ在法向量n上的投影向量为(|cos )( n PQ n 为向量n与PQ的夹角） ，其模就是点P到 直线l的距离d， 即 | | PQ n d n 据此， 请解决下面的问题： 已知点( 4,0)A ，(2, 1)B，(
3、1,3)C ， 则点A到直线BC的距离是( ) A 21 5 B7 C 27 5 D8 5（5 分） 梯形ABCD中，/ /ABCD，2CD ， 3 BAD ， 若2A BA CA BA D， 则(A CA D ) A12 B16 C20 D24 6 （5 分）已知函数 2 ( )(3)1f xmxm x，( )g xmx，若对于任意实数x，( )f x与( )g x 的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( ) A(1,9) B(3,) C(,9) D(0,9) 7 （5 分）设点 0 (M x，1)，若在圆 22 :1O xy上存在点N，使得45OMN，则 0 x的 取值范围是( )
4、第 2 页（共 24 页） A 1，1 B 1 2 ， 1 2 C2，2 D 2 2 ， 2 2 8 （5 分）已知( )f x是定义域为(0,)的单调函数，若对任意的(0,)x，都有 1 3 ( )log4f f xx，且方程|( )3|f xa在区间(0，3上有两解，则实数a的取值范围是( ) A01a B1a C01a D1a 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得
5、 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有( ) A若数列 n a的前n项和 2 ( n Sanbnc a，b，c为常数）则数列 n a为等差数列 B若数列 n a的前n项和 1 22 n n S ，则数列 n a为等差数列 C数列 n a是等差数列， n S为前n项和，则 n S， 2nn SS， 32nn SS，仍为等差数列 D数列 n a是等比数列， n S为前n项和，则 n S， 2nn SS， 32nn SS，仍为等比数列 10 （5 分）函数( )sin()(0f xAxA，0)的部分图象如图中实线所示，图中圆
6、C与( )f x的图象交于M、N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是( ) A函数( )f x在 3 (,) 2 上单调递增 B函数( )f x的图象关于点 2 (,0) 3 成中心对称 C函数( )f x的图象向右平移 5 12 个单位后关于直线 5 6 x 成轴对称 D若圆半径为 5 12 ，则函数( )f x的解析式为 3 ( )sin(2) 63 f xx 11 （5 分）如图，四棱锥PABCD中，平面PAD 底面ABCD，PAD是等边三角形，底 面ABCD是菱形，且60BAD，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心，下列结论 第 3 页（共 24 页） 正确的有( ) A直线P
7、B与平面AMC平行 B直线PB与直线AD垂直 C线段AM与线段CM长度相等 DPB与AM所成角的余弦值为 2 4 12 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时， 1 ( ) x x f x e 则下列结论 正确的是( ) A当0 x 时，( )(1) x f xe x B函数( )f x在R上有且仅有三个零点 C若关于x的方程( )f xm有解，则实数m的取值范围是( 2)fm f 剟（2） D 1 x， 2 xR， 21 |()()| 2f xf x 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，
8、请把答案直接分不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上填写在答题卡相应位置上 13 （5 分）曲线(sin ) x yxx e在点(0,0)处的切线方程为 14 （5 分）定义在(0,)上的函数( )f x满足( )0f x ，( )fx为( )f x的导函数，且 2 ( )( )3 ( )f xxfxf x对(0,)x恒成立，则 (2) (3) f f 的取值范围是 15 （5 分） 已知直线ykx与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 相交于不同的两点A，B，F 为双曲线C的左焦点，且满足| 3|AFBF，|(OAb O为坐标原点） ，则双曲线C的离心 率为
9、 16 （5 分）如图所示，在边长为 2 的菱形ABCD中，60BCD，现将ABD沿对角线BD 折起，得到三棱锥PBCD则当二面角PBDC的大小为 2 3 时，三棱锥PBCD的外 接球的表面积为 第 4 页（共 24 页） 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在2a ， 4 B ，3cb这三个条件中任选两个，补充在下面的问题 中，并解决该问题 在ABC中 ，a，b，c分 别 为 内 角A，B，C的 对 边
10、， 且 满 足 () ( s i ns i n)(3 s i ns i n)baBAcBC （1）求A的大小； （2）已知_，_，若ABC存在，求ABC的面积；若ABC不存在，说明理 由 18 （12 分）已知等比数列 n a的前n项和为 * () n S nN， 2 2S， 3 S， 4 4S成等差数列，且 234 1 2 16 aaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 2 (2)log | nn bna ，求数列 1 n b 的前n项和 n T 19 （12 分） 已知四棱锥PABCD， 底面ABCD为菱形，PDPB，H为PC上的点， 过AH 的平面分别交PB，PD于点M，N，且
11、/ /BD平面AMHN （）证明：MNPC； （）当H为PC的中点，3PAPCAB，PA与平面ABCD所成的角为60，求二面角 PAMN的余弦值 第 5 页（共 24 页） 20 （12 分） “伦敦眼”坐落在伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之 轮” ，该摩天轮的半径为60m，游客乘坐舱P升到半空可鸟瞰伦敦建筑BC，伦敦眼与建筑 之间的距离AB为120m，游客在乘坐舱P看建筑BC时的视角为 （1）当乘客在伦敦眼的最高点D时视角30，求建筑BC的高度； （2）当游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为45时，拍摄效果最好若在伦敦眼上可以拍 摄到效果最好的照片，求建筑BC的最低高度 （说
12、明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135 )m 21 （12 分） 已知抛物线 2 4xy，F为其焦点， 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ， 1 F， 2 F为其左、 右焦点，离心率 1 2 e ，过F作x轴的平行线交椭圆于P，Q两点， 4 6 | 3 PQ （1）求椭圆的标准方程； （2）过抛物线上一点A作切线l交椭圆于B，C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点 为E，BC的中垂线交x轴于K，KED，FOD的面积分别记为 1 S， 2 S，若 1 2 18 49 S S ，且 点A在第一象限，求点A的坐标 第 6 页（共 24 页） 22 （12 分）
13、已知函数 2 ( )2f xxxlnx，函数 2 ( )() a g xxlnx x ，其中aR， 0 x是( )g x 的一个极值点，且 0 ()2g x （1）讨论( )f x的单调性； （2）求实数 0 x和a的值； （3）证明 * 2 1 11 (21)() 2 41 n k lnnnN k 第 7 页（共 24 页） 2020-2021 学年江苏省南通市高三（上）期中数学试卷学年江苏省南通市高三（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题：本大题共一、单选题：本大题共 8 小题，每题小题，每题 5 分，共分，共 40 分。在每小题提供的四个选项中，只有一分。在
14、每小题提供的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知集合1A ，2， 2 m，1B ，m若BA，则(m ) A0 B2 C0 或 2 D1 或 2 【解答】解：1A，2， 2 m，1B ，m， 又BA， 2m或 2 mm； 当2m 时，1A ，2，4，1B ，2，故成立； 当 2 mm时，0m 或1m ； 当0m 时，1A ，2，0，1B ，0，故成立； 当1m 时，1A ，2，1不成立； 故选：C 2 （5 分）设xR，则“ 2 log (2)1x ”是“2x ”的( )条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分又不必要 【解答】解：由 2
15、log (2)1x ，解得：022x，解得24x， 由“24x” “2x ” ； “2x ”推不出“24x” ， “ 2 log (2)1x ”是“2x ”的充分不必要条件 故选：A 3 （5 分）已知 1 cos(75) 4 ，则cos(302 )( ) A 3 4 B 5 4 C 5 8 D 7 8 【解答】解：已知 1 cos(75)sin(15) 4 ，则 2 17 cos(302 )12sin (15)12 168 ， 故选：D 第 8 页（共 24 页） 4（5 分） 把与直线l垂直的向量称为直线l的法向量 设( , )eA B是直线l的一个方向向量， 那么(, )nB A 就是直
16、线l的一个法向量借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直 线的距离已知P是直线l外一点，n是直线l的一个法向量，在直线l上任取一点Q，那么 PQ在法向量n上的投影向量为(|cos )( n PQ n 为向量n与PQ的夹角） ，其模就是点P到 直线l的距离d， 即 | | PQ n d n 据此， 请解决下面的问题： 已知点( 4,0)A ，(2, 1)B，( 1,3)C ， 则点A到直线BC的距离是( ) A 21 5 B7 C 27 5 D8 【解答】解：点( 4,0)A ，(2, 1)B，( 1,3)C ， ( 3,4)BC ，( 6,1)BA ， 直线BC的法向量( 4, 3)n ，
17、点A到直线BC的距离为： |21 |5 BA n d n 故选：A 5（5 分） 梯形ABCD中，/ /ABCD，2CD ， 3 BAD ， 若2A BA CA BA D， 则(A CA D ) A12 B16 C20 D24 【解答】解：因为2AB ACAB AD，所以AB ACAB ADAB DCAB AD， 所以2| | |cos 3 ABABAD ，可得| 4AD ， 所以 221 ()|cos444220 32 AC ADAD ADDCADAD DCADADDC 故选：C 6 （5 分）已知函数 2 ( )(3)1f xmxm x，( )g xmx，若对于任意实数x，( )f x与(
18、 )g x 的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是( ) A(1,9) B(3,) C(,9) D(0,9) 【解答】解：当0m时， 当x接近时，函数 2 ( )(3)1f xmxm x与( )g xmx均为负值， 第 9 页（共 24 页） 显然不成立； 由于当0 x 时，因(0)10f ， 当0m 时， 若 3 0 22 bm am ，即03m 时，结论显然成立； 若 3 0 22 bm am 时，只要 2 (3)4(9)(1)0mmmm即可，即19m， 则39m 综上述，实数m的取值范围是09m 故选：D 7 （5 分）设点 0 (M x，1)，若在圆 22 :1O xy上存在点N，
19、使得45OMN，则 0 x的 取值范围是( ) A 1，1 B 1 2 ， 1 2 C2，2 D 2 2 ， 2 2 【解答】解：由题意画出图形如图：点 0 (M x，1)，要使圆 22 :1O xy上存在点N，使得 45OMN， 则OMN的最大值大于或等于45时一定存在点N，使得45OMN， 而当MN与圆相切时OMN取得最大值， 此时1MN ， 图中只有M到M之间的区域满足1MN ， 0 x的取值范围是 1，1 故选：A 8 （5 分）已知( )f x是定义域为(0,)的单调函数，若对任意的(0,)x，都有 第 10 页（共 24 页） 1 3 ( )log4f f xx，且方程|( )3|
20、f xa在区间(0，3上有两解，则实数a的取值范围是( ) A01a B1a C01a D1a 【解答】解：( )f x是定义域为(0,)的单调函数，对任意的(0,)x，都有 1 3 ( )log4f f xx， 必存在唯一的正实数a，满足 1 3 ( )logf xxa，f（a）4，f（a） 1 3 log aa， 由得： 1 3 4log aa，即 1 3 log4aa， 4 1 ( ) 3 a a ，解得3a 故 1 3 ( )log3f xxa， 1 3 ( )3logf xx， 由方程|( )3|f xa在区间(0，3上有两解， 即有 1 3 |log|xa在区间(0，3上有两解，
21、作出 1 3 |log|yx的图象，如图所示： ， 结合题意，01a ， 故选：A 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 9 （5 分）关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有( ) A若数列 n a的前n项和 2 ( n Sanbnc a，b，c为常数）则数列 n a为等差数列 B若数列 n a的前n项和 1 2
22、2 n n S ，则数列 n a为等差数列 第 11 页（共 24 页） C数列 n a是等差数列， n S为前n项和，则 n S， 2nn SS， 32nn SS，仍为等差数列 D数列 n a是等比数列， n S为前n项和，则 n S， 2nn SS， 32nn SS，仍为等比数列 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若数列 n a的前n项和 2 n Sanbnc， 若0c ，由等差数列的性质可得数列 n a为等差数列， 若0c ，则数列 n a从第二项起为等差数列，故A不正确； 对于B，若数列 n a的前n项和 1 22 n n S ， 可得 1 422a ， 221 8224a
23、SS， 332 16268aSS， 则 1 a， 2 a， 3 a成等比数列，则数列 n a不为等差数列，故B不正确； 对于C，数列 n a是等差数列， n S为前n项和，则 n S， 2nn SS， 32nn SS，即为 12n aaa， 12nn aa ， 213nn aa ， 即为 2 2322nnnnnnn SSSSSSSn d为常数，仍为等差数列， 故C正确； 对于D，数列 n a是等比数列， n S为前n项和，则 n S， 2nn SS， 32nn SS，不一定为等 比数列， 比如公比1q ，n为偶数， n S， 2nn SS， 32nn SS，均为 0，不为等比数列故D不 正确
24、故选：ABD 10 （5 分）函数( )sin()(0f xAxA，0)的部分图象如图中实线所示，图中圆 C与( )f x的图象交于M、N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是( ) A函数( )f x在 3 (,) 2 上单调递增 第 12 页（共 24 页） B函数( )f x的图象关于点 2 (,0) 3 成中心对称 C函数( )f x的图象向右平移 5 12 个单位后关于直线 5 6 x 成轴对称 D若圆半径为 5 12 ，则函数( )f x的解析式为 3 ( )sin(2) 63 f xx 【解答】解：由图看的点C的横坐标为 3 ， 所以( )f x的周期T， 所以2， 又()0
25、6 f ， 所以 3 ， 因此( )sin(2) 3 f xAx ， 可得函数( )f x的图象关于点 2 ( 3 ，0)成中心对称， 若圆半径为 5 12 ，则 22 35 ()() 2123 A ， 所以 3 6 A ，函数( )f x解析式为 3 ( )sin(2) 63 f xx 故选：BD 11 （5 分）如图，四棱锥PABCD中，平面PAD 底面ABCD，PAD是等边三角形，底 面ABCD是菱形，且60BAD，M为棱PD的中点，N为菱形ABCD的中心，下列结论 正确的有( ) A直线PB与平面AMC平行 B直线PB与直线AD垂直 C线段AM与线段CM长度相等 DPB与AM所成角的余
26、弦值为 2 4 【解答】解：如图，连接MN，可知/ /MNPB，由线面平行的判定定理得/ /PB面AMC， 故A正确； 在菱形ABCD中，60BAD，则BAD为等边三角形 第 13 页（共 24 页） 设AD的中点为O，连接OB，OP， 则OPAD，OBAD，又OPOBO， 由线面垂直的判定定理得出AD 平面POB，PB 平面POB，ADPB，故B正确； 平面PAD 平面ABCD，由面面垂直的性质可得POB为直角三角形， 设4AD ，则2 3OPOB，2 6PB， 1 6 2 MNPB 在MAN中，2 3AMAN，6MN ，可得 2 cos 4 AMN 故异面直线PB与AM所成角的余弦值为 2
27、 4 在MAN中， 222 AMANMN，则ANM不是直角， 则AMC不是等腰三角形，即AM与CM长度不等，故C错误，D正确 故选：ABD 12 （5 分）已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时， 1 ( ) x x f x e 则下列结论 正确的是( ) A当0 x 时，( )(1) x f xe x B函数( )f x在R上有且仅有三个零点 C若关于x的方程( )f xm有解，则实数m的取值范围是( 2)fm f 剟（2） D 1 x， 2 xR， 21 |()()| 2f xf x 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，当0 x 时，则0 x ，则 1 ()(1)
28、 x x x fxxe e ，又由( )f x为奇函数，则 ( )()(1) x f xfxe x，A错误； 对于B， 当0 x 时， 1 ( ) x x f x e ， 此时( )0f x ， 即1x ， 又由( )f x为奇函数， 则( 1)ff 第 14 页（共 24 页） （1）0，(0)0f，即函数函数( )f x在R上有且仅有三个零点，B正确； 对于C，当0 x 时， 1 ( ) x x f x e ，其导数 2 ( ) x x fx e ，在区间(0,2)上，( )0fx，函数 ( )f x为增函数，在区间(2,)上，( )0fx，函数( )f x为减函数， 则在区间(0,)上有
29、极大值f（2） 2 1 e ，而0 x ，( )1f x ，则在区间(0,)上，有 2 1 1( )f x e ， 又由( )f x为奇函数，则在区间(,0)上，由 2 1 ( )1f x e ， 综合可得：( )f x的值域为( 1,1)， 若关于x的方程( )f xm有解，则实数m的取值范围是11m ，C错误； 对于D，由C的结论，( )f x的值域为( 1,1)，则 1 x， 2 xR， 21 |()()| 1( 1)2f xf x ， D正确； 故选：BD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分不需写出解答过程，请把答案直接分
30、不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上填写在答题卡相应位置上 13 （5 分）曲线(sin ) x yxx e在点(0,0)处的切线方程为 2yx 【解答】解：由(sin ) x yxx e，得(1 cos )(sin )(1cossin ) xxx yx exx exxx e， 0 |2 x y ， 曲线(sin ) x yxx e在点(0,0)处的切线方程为2yx 故答案为：2yx 14 （5 分）定义在(0,)上的函数( )f x满足( )0f x ，( )fx为( )f x的导函数，且 2 ( )( )3 ( )f xxfxf x对(0,)x恒成立，则 (2) (3)
31、f f 的取值范围是 8 ( 27 ， 4) 9 【解答】解：令 2 ( ) ( ) f x g x x ，(0,)x， 3 ( )2 ( ) ( ) xfxf x g x x ， (0,)x ，2 ( )( )3 ( )f xxfxf x恒成立， ( )0f x， 3 ( )2 ( ) 0 xfxf x x ， ( )0g x ， 第 15 页（共 24 页） 函数( )g x在(0,)x上单调递增， g（2）g（3） ，即 (2)(3) 49 ff ， (2)4 (3)9 f f ， 令 3 ( ) ( ) f x h x x ，(0,)x， 4 ( )3 ( ) ( ) xfxf x h
32、 x x ， (0,)x ，2 ( )( )3 ( )f xxfxf x恒成立， 4 ( )3 ( ) ( )0 xfxf x h x x ， 函数( )h x在(0,)x上单调递减， h（2）h（3） ，即 (2)(3) 827 ff ， (2)8 (3)27 f f ， 综合： 8(2)4 27(3)9 f f ， 故答案为： 8 ( 27 ， 4) 9 15 （5 分） 已知直线ykx与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 相交于不同的两点A，B，F 为双曲线C的左焦点，且满足| 3|AFBF，|(OAb O为坐标原点） ，则双曲线C的离心 率为 3 【解答】解：设|B
33、Fm，则| 3| 3AFBFm， 取双曲线的右焦点 F ，连接 AF ， BF ， 可得四边形AFBF为平行四边形， 可得| |AFBFm ，设A在第一象限，可得32mma，即ma， 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和， 可得 2222 (2 )(2 )2(9)bcaa， 化为 22 3ca，则3 c e a 故答案为：3 第 16 页（共 24 页） 16 （5 分）如图所示，在边长为 2 的菱形ABCD中，60BCD，现将ABD沿对角线BD 折起，得到三棱锥PBCD则当二面角PBDC的大小为 2 3 时，三棱锥PBCD的外 接球的表面积为 28 3 【解答】解：易知PBD，BC
34、D为边长为 2 的等边三角形取BDC的外心为 1 O， 设O为球心，连接 1 OO，则 1 OO 平面BDC，取BD的中点M，连接PM， 1 O M，过O作 OGPM于点G 易知PMC为二面角PBDC的平面角，即 2 3 PMC ，于是得 3 OMC 连接OP，OC，设OPR连接MC，则 1 O，M，C三点共线，易知3MPMC， 所以 1 3 3 MO ， 所以 11 tan1 3 OGOOO M 在Rt PGO中， 222 GPGOOP，即 222 2 37 ()1 33 R ， 所以 2 28 4 3 O SR 球 故答案为： 28 3 第 17 页（共 24 页） 四、解答题：本大题共四
35、、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分请在答题卡指定区域内作答分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在2a ， 4 B ，3cb这三个条件中任选两个，补充在下面的问题 中，并解决该问题 在ABC中 ，a，b，c分 别 为 内 角A，B，C的 对 边 ， 且 满 足 () ( s i ns i n)(3 s i ns i n)baBAcBC （1）求A的大小； （2）已知_，_，若ABC存在，求ABC的面积；若ABC不存在，说明理 由 【解答】解： （1）()(sinsin )( 3sinsi
36、n)baBAcBC， 由正弦定理可得：()()( 3)ba bacbc，即 222 3bcabc， 222 33 cos 222 bcabc A bcbc ， 0A， 6 A （2）方案一：选择条件和， 由正弦定理 sinsin ab AB ，可得 sin 2 2 sin aB b A ， 可得ABC的面积 117 sin22 2sin2 2sin()31 221243 SabC 方案二：选择条件和， 由余弦定理 222 2cosabcbcA，可得 222 433bbb，可得2b ， 可得2 3c ，ABC的面积 111 sin22 33 222 SbcA 方案三：选择条件和，这样的三角形不存
37、在，理由如下： 第 18 页（共 24 页） 在三角形中，由正弦定理 sinsinsin abc ABC ，由和可得 sin sin cC bB ，所以这样的三角形 不存在 18 （12 分）已知等比数列 n a的前n项和为 * () n S nN， 2 2S， 3 S， 4 4S成等差数列，且 234 1 2 16 aaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 2 (2)log | nn bna ，求数列 1 n b 的前n项和 n T 【解答】解： （1）等比数列 n a的公比为q，1q ， 前n项和为 * 234 (), 2,4 n S nNS SS成等差数列， 可得 342 24
38、2SSS，即为 342 111 (1)(1)(1) 242 111 aqaqaq qqq ， 化为 2 210qq ，解得 1 2 q ， 234 1 2 16 aaa，即为 111 1111 2 24816 aaa， 解得 1 1 2 a ， 则 1 () 2 n n a ，*nN； （2） 22 1 (2)log |(2)log(2) 2 nn n bnann n ， 可得 111 11 () (2)22 n bn nnn ， 即有前n项和 11111111 (1) 2324112 n T nnnn 2 2 1111311135 (1)() 221242124128 nn nnnnnn 1
39、9 （12 分） 已知四棱锥PABCD， 底面ABCD为菱形，PDPB，H为PC上的点， 过AH 的平面分别交PB，PD于点M，N，且/ /BD平面AMHN （）证明：MNPC； （）当H为PC的中点，3PAPCAB，PA与平面ABCD所成的角为60，求二面角 PAMN的余弦值 第 19 页（共 24 页） 【解答】解： （）证明：连接AC交BD与O， 因为ABCD为菱形，所以BDAC，且O 为AC、BD的中点， PDPB，POBD ACPOO，且AC、PO 面PAC BD 面PAC PC 面PAC，BDPC / /BD平面AMHN，且面PBD平面AMHNMN，/ /DBMN MNPC （）由
40、（）得DBAC且POBD，PAPC，且O为AC中点， POAC，PO 面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60PAO 可得 1 2 AOPA， 3 2 POPA， 3PAAB， 3 6 BOPA 以O为原点，建立如图的空间直角坐标系Oxyz 记2PA，(0O，0，0)，(1A，0， 33 0) (0,0),( 1,0,0),(0,0) 33 BCD，(0,0, 3)P， 1 ( 2 H ，0， 32 3 )(0,0) 23 DB， 33 (,0,) 22 AH ， 3 ( 1,0) 3 AB ，( 1,0, 3)AP ， 设平面AMHN的法向量为(mx，y，) z， 由 2 3 0 3 3
41、3 0 22 m DBy m AHxz ，可得(1,0, 3)m 设平面PAB的法向量为( , , )na b c， 第 20 页（共 24 页） 由 3 0 3 30 n ABab n APac ，可得 3 (1, 3,) 3 n 39 cos, |13 m n m n m n ， 所以二面角PAMN的余弦值为： 39 13 20 （12 分） “伦敦眼”坐落在伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之 轮” ，该摩天轮的半径为60m，游客乘坐舱P升到半空可鸟瞰伦敦建筑BC，伦敦眼与建筑 之间的距离AB为120m，游客在乘坐舱P看建筑BC时的视角为 （1）当乘客在伦敦眼的最高点D时
42、视角30，求建筑BC的高度； （2）当游客在乘坐舱P看建筑BC的视角为45时，拍摄效果最好若在伦敦眼上可以拍 摄到效果最好的照片，求建筑BC的最低高度 （说明：为了便于计算，数据与实际距离有误差，伦敦眼的实际高度为135 )m 【解答】 （1）当乘坐舱P在伦敦眼的最高点D时，30BDC，此时120ADAB， 即45ABD，所以105BCD在等腰三角形ABD中，120 2BD 第 21 页（共 24 页） 由正弦定理得 sin105sin30 BDBC ， 所以 120 2 120 3120 62 2 4 BC 所以建筑BC的高度为120 3120米 （2）设建筑BC的高度为h， 建立如图所示的
43、直角坐标系，圆 22 :(60)3600M xy， 在PBC中，由正弦定理可知2 sin45 h R ， 所以 2 2 Rh，其中R是PBC外接圆的半径 即PBC的外接圆的半径为 2 2 Rh 由图可知PBC的外接圆的圆心坐标为(120, ) 2 2 h h ， 所以点P坐标满足圆 2 22 :(120)(),120 222 hhh Nxyx的方程， 而点P又在圆 22 :(60)3600M xy上， 所以 22 22 |60|(120)(60)60 2222 hh hh剟， 解得 240(32)240(32) 77 h 剟 答：建筑BC的最低高度为 240(32) 7 时，可以拍摄到效果最好
44、的照片 21 （12 分） 已知抛物线 2 4xy，F为其焦点， 椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ， 1 F， 2 F为其左、 右焦点，离心率 1 2 e ，过F作x轴的平行线交椭圆于P，Q两点， 4 6 | 3 PQ （1）求椭圆的标准方程； （2）过抛物线上一点A作切线l交椭圆于B，C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点 为E，BC的中垂线交x轴于K，KED，FOD的面积分别记为 1 S， 2 S，若 1 2 18 49 S S ，且 第 22 页（共 24 页） 点A在第一象限，求点A的坐标 【解答】 解：（1） 椭圆的离心率 1 2 c e a ， 椭圆过点 2 6 (
45、 3 ，1)， 代入椭圆方程 22 81 1 3ab ， 222 abc， 解得 2 4a ， 2 3b ， 2 1c ， 所以椭圆的方程 22 1 43 xy ； （2）设 0 (A x， 2 0 ) 4 x ，求导 2 x y ，则切线的斜率 0 2 x k ， 切线方程 2 00 0 () 42 xx yxx，即 2 00 24 xx yx， 令0y ，则 0 2 x x ， 设 1 (B x， 1) y， 2 (C x， 2) y，( E E x，) E y 联立 2 00 22 24 34120 xx yx xy ，整理得 4 2230 00 (3)120 4 x xxx x， 3
46、0 12 2 0 3 x xx x ，则 3 012 2 0 22(3) E xxx x x ， 322 0000 22 00 3 22(3)44(3) E xxxx y xx ， 所以 3 0 2 0 (2(3 ) x E x ， 2 0 2 0 3 ) 4(3) x x ， 则BC的 中 垂 线 的EK的 方 程 ： 23 00 22 000 32 ()() 4(3)2(3) xx yx xxx ， 令0y ， 则 3 0 2 0 8( 3) x x x ，则 3 0 2 0 (8(3 ) x K x ，0)， 第 23 页（共 24 页） 所以 00 2 1 1 224 xx S ， 3
47、232 00000 1 2222 000 39(4)1 () 228(3)4(3)64(3) xxxxx S xxx ， 因此 22 001 22 20 9(4)18 16(3)49 xxS Sx ，解得 2 0 4x ，则 0 2x ，则(2,1)A 所以A的坐标(2,1) 22 （12 分）已知函数 2 ( )2f xxxlnx，函数 2 ( )() a g xxlnx x ，其中aR， 0 x是( )g x 的一个极值点，且 0 ()2g x （1）讨论( )f x的单调性； （2）求实数 0 x和a的值； （3）证明 * 2 1 11 (21)() 2 41 n k lnnnN k 【解答】解： （1）函数( )f x的定义域(0,)，( )222fxxlnx， 令( )222h xxlnx，则 2(1) ( ) x h x x ， 由( )0h x可得1x ， 当(0,1)x时，( )0h x，( )h x单调递减，当(1,)x时，( )0h x，(
