1、 徐汇区徐汇区 2020 学年学年高三高三第一学期学习能力诊断卷第一学期学习能力诊断卷 数数 学学 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54分，第分，第 1-6 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分）考生应分）考生应 在答题纸的相应位置直接填写结果在答题纸的相应位置直接填写结果 1. 计算： 2 2 2 lim 253 n nn nn _ 【答案】 1 2 【分析】 把分子和分母同时除以 2 n，将 2 2 2 lim 253 n nn nn 转化为 2 2 1 lim 53 2 n n nn ，即可求解. 【详解】 2 2 2 2
2、1 21 limlim 53 2532 2 nn nn n nn nn ， 故答案为： 1 2 . 2. 已知 2, 3am，1,bm ，若ab，则m_ 【答案】1或 3 【分析】 根据向量平行的坐标表示，列式求解. 【详解】 /ab， 231m m ，即 2 230mm， 解得：1m或3m. 故答案：1或3 3. 不等式 1 0 32 x 的解集为_ 【答案】 2 ( ,) 3 【分析】 根据二阶行列式的公式，直接列式求解. 【详解】 1 1230 32 x x ，解得： 2 3 x ， 所以不等式的解集是 2 , 3 . 故答案为： 2 , 3 4. 在 6 (1)x的二项展开式中，中间项
3、的系数是_ 【答案】20 【分析】 首先确定是第几项，再按照通项公式求解. 【详解】6n，共有 7项，中间项是第 4 项， 3 333 3 16 120TCxx ， 所以中间项的系数是20. 故答案为：20 5. 设集合, 4 ,6 28, xx Ax y yxRBx y yxR ，则AB _ 【答案】 1,4 , 2,16 【分析】 先分析集合A的元素是曲线4xy 上的点，集合B的元素是曲线6 28 x y 上的点，AB的元素是两 个曲线的交点，所以解方程 4 6 28 x x y y 即可求解 【详解】由题意可知曲线4xy 上的点构成集合A，曲线6 28 x y 上的点构成集合B， 所以A
4、B的元素是两个曲线的交点的坐标， 由 4 6 28 x x y y 可得46 28 xx ， 则 2 26 280 xx ，解得2 2 x 或2 4 x ，所以 1 4 x y 或 2 16 x y ， 所以 1,4 , 2,16AB， 故答案： 1,4 , 2,16 6. 函数 arccosyx ，1,0 x 的反函数是 1 fx _ 【答案】cos 2 xx 【分析】 先根据函数 arccosyx 的定义域求出其值域，即为 1 fx 的定义域，再求反函数即可. 【详解】因为1,0 x ，所以arcco 2 sx ，所以 1 fx 的定义域为, 2 因为 arccosyx ，所以 cosxy
5、 ，交换 , x y得cosyx ， 所以 1 fx cos 2 xx ， 故答案为：cos 2 xx . 7. 用数学归纳法证明 251 1222 n nN 能被31整除时，从k到 1k添加的项数共有 _项（填多少项即可） 【答案】5 【分析】 分别写出nk和1nk时的对应的结果，再比较差异，得到答案. 【详解】当nk时，原式为： 251 122.2 k ， 当1nk时，原式为 251551525354 122.222222 kkkkkk ， 比较后可知多了 551525354 22222 kkkkk ，共 5项. 故答案为：5 8. 如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底
6、面所成的角的大小是_ 【答案】 试题分析：根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半 径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值即可，然后得到其正弦值，求得夹角 设圆锥的母线长为 R，底面半径为 r，圆锥的侧面展开图是一个半圆，圆锥的侧面展开扇形的弧长为： R，圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，R=2r，R：r=2：1，所以母线与底面夹角为 60 考点：圆锥的计算 9. 小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于 不同学科的概率为_（结果用分数表示） 【答案】 11 15 【分析】 利用古典概型公
7、式计算概率. 【详解】共4 3 3 10 本不同的数，任取 2 本包含 2 10 45C种方法，若从中任取两本，这 2 本书属于不 同学科的情况有 111111 434333 33CCCCCC， 所以这2本书属于不同学科的概率 3311 4515 P . 故答案为： 11 15 10. 在ABC中，45A ，M是AB中点，若2ABBC，D在线段AC上运动，则DB DM 的最小值为_ 【答案】 7 8 分析】 先判断ABC是等腰直角三角形，2 2AC ，以AC所在的直线为x轴，以AC的中点为坐标原点建 立直角坐标系， 写出点,M B的坐标， 设,0D t且 22t ，求出DB和DM的坐标，计算D
8、B DM 再求最值即可. 【详解】 在ABC中，45A，2ABBC，所以45C，90B ， ABC是等腰直角三角形，2 2AC ， 如图以AC所在的直线为x轴，以AC的中点为坐标原点建立直角坐标系， 则 22 2,0 ,0,2 , 22 ABM ，设,0D t22t 则 22 ,2 , 22 DBtDMt ， 所以 2 222 21 222 DB DMtttt 22 2127 1 4848 tt ， 所以 2 4 t 时，DB DM取得最小值为 7 8 ， 故答案为： 7 8 【点睛】 关键点点睛： 本题的关键点是判断ABC是等腰直角三角形， 易于建坐标系， 设出动点坐标,0D t 且 22t
9、 ，求出定点坐标，即可用坐标表示数量积DB DM ，再计算最值. 11. 已知函数 f xaxb(其中 , a bR)满足：对任意0,1x，有 1f x ，则21 21ab的最 小值为_ 【答案】9 【分析】 根据题意 0fb， 1 fab ，可得 0bf， 10aff， 且 101f ， 111f ，所以将21 21ab用 0f和 1f表示，即可求最值. 【详解】因为 f xaxb，对任意0,1x，有 1f x ， 所以 0fb， 1 fab ，即 0bf， 10aff， 所以 21214214100211abababffff 222 4040111211ffffff 222 1201112
10、0fffff ， 当 11f ， 01f时 2 120ff 最大为9， 此时 2 120ff 最小为9， 所以21 21ab的最小值为9， 故答案为：9 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据0,1x，有 1f x ，可知 101f ， 111f ， 由 0fb， 1fab可得 0bf， 10aff， 所以21 21ab可以用 0f和 1f表示，再配方，根据平方数的性质求最值. 12. 已知双曲线 22 1 45 xy ：的左右焦点分别为 1 F、 2 F，直线l与的左、右支分别交于点P、Q（P、 Q均在x轴上方） 若直线 1 PF、 2 QF的斜率均为k， 且四边形 21 PQF F的面积为
11、20 6， 则k=_ 【答案】 2 【分析】 斜率相等，两条线平行，然后用余弦定理求出 1 PF和 2 QF，根据四边形 21 PQF F的面积为20 6建立等式解出tan即可. 【详解】按题意作出图如下： 由双曲线方程可得：2a，3c ，因为直线 1 PF、 2 QF的斜率均为k， 所以直线 1 PF 2 QF，在三角形 12 QFF中，设 2 QFx，则 1 24QFaxx， 设 2 QF的倾斜角为，则由余弦定理得 2 2 364 cos 26 xx x ， 解得 2 5 23cos QFx ，同理可得： 1 5 23cos PF ，所以四边形 21 PQF F的面积 12122 1155
12、 sin6sin20 6 22 23cos23cos SPFQFFF ， 解得sin 6 3 或者 5 6 sin 18 （舍去） ，故tan2k . 故答案为： 2 【点睛】两直线平行转化为：斜率相等或者向量平行； 两直线垂直转化为：斜率之积为1或者向量数量积为 0； 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20分，每题分）每题有且只有一个正确选项考生应分，每题分）每题有且只有一个正确选项考生应 在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13. 已知xR，条件 p： 2 xx，条件q： 1 1 x ，则p是q的（
13、 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 分析】 分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项. 【详解】 2 01xxx，则 01Axx ， 1 101x x ，则01Bxx，因为AB， 所以p是q的充分必要条件. 故选：C 14. 若2 i是关于x的实系数方程 2 0 xaxb的一根，则a b等于（ ） A. 1 B. 1 C. 9 D. 9 【答案】A 【分析】 将2xi代入方程 2 0 xaxb，根据复数为零可得出关于实数a、b的方程组，可解出a、b的值， 由此可得出a b的值. 【详解】由题意可得 2 220iai
14、b，即 2340abai ， 所以 230 40 ab a ，解得 4 5 a b ，因此，1ab. 故选：A. 15. 方程 8 coslogxx的实数解的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【分析】 将方程的实数根的个数，转化为两个函数的交点个数. 【详解】分别画出函数 cosyx 和 8 logyx的图象， 由图象可知两个函数的交点个数是 3 个， 所以方程程 8 coslogxx的实数解的个数是 3 个. 故选：B 16. 设T是平面直角坐标系xOy上以 0,2A、3, 1B 、3, 1C为顶点的正三角形考虑以下五 种平面上的变换：绕原点作120的逆时针旋
15、转；绕原点作240的逆时针旋转；关于直线OA的对称； 关于直线OB的对称；关于直线OC的对称任选三种 变换(可以相同)共有 125 种变换方式，若要使得 T变回起始位置(即点A、B、C分别都在原有位置)，共有（ ）种变换方式？ A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】C 【分析】 要使得T变回起始位置，可通过三次旋转变换或者一次旋转变换+两次对称变换结合得到. 【详解】第一类：只用旋转变化时：可以按或者旋转 3 次得到； 第二类：使用对称与旋转结合时，不能出现相同的对称变换， 1若第一位选择旋转变化，可选或者， 则第二位的对称变化可在、中任选一种，前两位确定以后第三位就跟着确定
16、，故方法有：2 3=6 种； 2若旋转在第二位，第一位的对称可在、中任选一种，则第二位旋转也在或者中选一种， 前两位确定以后第三位就跟着确定，故方法有：2 3=6种； 3若旋转在第三位，第一位的对称可在、 、中任选一种，则第二位的对称不能选第一位的，前两位定了以后第三位也跟着确定，故有2 3=6种. 综上所述：共有6 6 6 2=20 种方法. 故选：C. 【点睛】排列组合的题目关键是找到分类的标准，做到不重不漏. 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤的步骤
17、17. 如图：在直三棱柱 111 ABCABC中，2ACBC， 1 4CC ， 90ACB，E、F分别为棱 1 AA、 AB的中点 （1）求异面直线 1 AC与EF所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） ； （2）求五棱锥 11 CEFBB A的体积 1 1 C EFBB A V 【答案】 （1） 5 arctan 5 ； （2）14 3 【分析】 （1）连接 1 AB，利用中位线的性质可得出 1 /AB EF，由此可得出 1 BAC（或其补角）就是异面直线 1 AC 与EF所成的角，利用解三角形的知识求出 1 BAC的正切值，即可得解； （2）计算出五边形 1 EFBB A的面积，并推导出
18、CF 平面 11 AAB B，再利用锥体的体积公式可计算出五棱 锥 11 CEFBB A的体积 1 1 C EFBB A V . 【详解】 （1）连接 1 AB， E、F分别为 1 AA、AB的中点，所以， 1 /AB EF， 于是 1 BAC（或其补角）就是异面直线 1 AC与EF所成的角， 在 1 ABC中，2BC ， 22 11 2 5ACAAAC， 22 11 2 6ABAAAB， 222 11 ACBCAB，所以 1 BCAC， 所以， 1 1 25 tan 52 5 BC BAC AC 所以，异面直线 1 AC与EF所成角的大小为 5 arctan 5 ； （2）由于 1111 1
19、 1 8 227 2 2 AEFEFBB AABB A SSSAB AAAE AF 五边形矩形 ， 连接CF，2ACBC，F为AB的中点，90ACB， CFAB，且 1 2 2 CFAB， 1 AA 平面ABC，CF 平面ABC， 1 CFAA， 1 ABAAAQ，CF平面 11 AAB B， 所以 1 11 1 1114 7 22 333 C EFBB AEFBB A VSCF 五边形 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直 线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
20、（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0, 2 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面 直线所成的角 18. 设椭圆 22 22 1 1 xy mm （0m）的两个焦点分别是 1 F、 2 F，M是椭圆上任意一点， 12 FMF的周 长为2 2 2 （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆在y轴负半轴上的顶点B及椭圆右焦点 2 F作一直线交椭圆于另一点N，求 1 FNB的大小（结 果用反三角函数值表示） 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y； （2） 1 3 arctan 4 FNB 【分析
21、】 （1）由周长公式计算m，求椭圆方程； （2）首先写出直线方程，并与椭圆方程联立，并求点N的坐标， 并计算 1 tanFNB的值. 【详解】 （1）由题意知，椭圆焦点在x轴上， 设椭圆的长轴、短轴、焦距的长分别为2a、2b、2c， 则 2 1am ，bm，1c， 由已知，2 222 2ac ， 2 1 1 12m ， 解得1m，所以所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y （2）由（1）知，(0, 1)B， 2(1,0) F，所以直线的方程为1yx，- 由 2 2 1 1 2 yx x y 解得 4 1 , 3 3 N ，于是 4 2 3 NB ，- 由于 1 2 FBN ，且 1 2FB
22、， 所以由 1 1 3 tan 4 FB FNB NB ，得 1 3 arctan 4 FNB- 19. 进博会期间，有一个边长 80m的正方形展厅 OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几 个部分，已划出以 O为圆心，60m为半径的扇形 ODE 作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品 说明会场地 PGBF，矩形有两条边分别落在边 AB和 BC上，设POA= 5 1212 （1）用表示矩形 PGBF 的面积，并求出当矩形 PGBF 为正方形时的面积（精确到 2 1m ） ； （2）当取何值时，矩形 PGBF 的面积 SPGBF最大？并求出最大面积（精确到 2 1m） 【答
23、案】 （1）8060cos8060sinS， 5 1212 ；1412（ 2 m ） ； （2） 12 或 5 12 时 max 1421S（ 2 m） 【分析】 （1）用三角函数表示出 CF，AG 的长，进而求得矩形长宽，得到面积的表达式，要注明定义域； （2） 利用三角函数恒等变形公式先化简为1800sin24800 2sin6400 4 再将其中的sin2转 化为cos 2 2 而转化为 2 sin 4 的表达式， 于是面积 S 表达为关于sin 4 的二次函数问题， 利用换元思想，tsin 4 ,结合三角函数的性质求得 t的范围，进而得到 S的最大值 【详解】 【解】 （1）如图所示，
24、过 P 作 PXOA 于 X,PYOC与 Y, 则cos60cos60sinOXOFOY，PG=80 60cos,FE=80 60sin, 8060cos8060sinS， 5 1212 ，- 当矩形 PGBF为正方形时，PG=FE,80 60cos80 60sin sincos， 4 ， 此时 SPGBF= 2 8030 21412（ 2 m ） ； （2）3600sincos4800 sincos6400S 1800sin24800 2sin6400 4 1800cos 24800 2sin6400 24 2 3600sin4800 2sin4600 44 ， 5 1212 记 t 2 s
25、in 4 3 2 ，1，则 2 36004800 24600Stt 对称轴为t 2 2 3 ，1 2 2 3 2 2 3 3 2 ， t 3 2 ，即 12 或 5 12 时， max 1421S（ 2 m ） （注意：若令sincost，则相应给分） 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，涉及三角函数的倍角公式，两角和公式，三角函数的在闭区间上 的取值范围， 换元思想， 二次函数的性质等的综合应用， 关键是第 （2） 问中的恒等变形， 化为关于sin 4 的二次函数最值问题. 化简到 1800sin24800 2sin(+ 4 )6400 后，将sin2转化cos 2 2 进 而转化为sin
26、4 的表达式，是解决问题的关键，要根据整个函数表达式的前后结构分析决定变形的方 向. 20. 设( )x表示不小于x的最小整数，例如 (0.3)1,( 2.5)2 （1）解方程(1)3x； （2）设( )( )f xxx， * nN，试分别求出 ( )f x在区间 0,1、1,2以及2,3上的值域；若 ( )f x 在区间(0, n上的值域为 n M，求集合 n M中的元素的个数； （3）设实数0a， ( ) ( )2 x g xxa x ， 2 sin2 ( ) 57 x h x xx ，若对于任意 12 ,(2,4x x 都有 12 ( )()g xh x，求实数a的取值范围 【答案】 （
27、1）34x； （2）当0,1x时，值域为 1；当1,2x时，值域为3,4；当2,3x时， 值域为 7,8,9； (1) 2 n n 个； （3）(3,) 【解析】 【分析】 （1）根据 x的定义，列式解不等式； （2）根据定义分别列举 ( )f x在区间 0,1、1,2以及2,3上的 值域，和(1, xnn时函数的值域，最后利用等差数列求和； （3） 分别求两个函数的值域，并转化为 maxg xf x，利用参变分离求实数a的取值范围. 【详解】 【解】 （1）由题意得：213x ，解得：34x （2）当0,1x时，( )1,( )0,1xxxx ，于是( )1xx，值域为 1 当1,2x时，(
28、 )2,( )22,4xxxx，于是( )3xx或4，值域为3,4 当2,3x时，( )3,( )36,9xxxx，于是( )7xx或8或 9，值域为 7,8,9 设 * nN，当 (1, xnn 时，( )xn，所以( )xxnx的取值范围为 22 (,nn n，- 所以 ( )f x在(1, xnn 上的函数值的个数为n，- 由于区间 22 (,nn n与 22 (1)(1),(1) nnn的交集为空集， 故 n M中的元素个数为 (1) 123 2 n n n - （3）由于 2 14 0 573xx ，1 sin23x ，因此( )4h x ，当 5 2 x 时取等号，即即(2,4x时
29、， ( )h x的最大值为4， 由题意得(2,4x时，( )4g x 恒成立，当(2,3x时， 2 2 3 x ax恒成立，因为 2 max (2)3 3 x x，所以3a 当(3,4x时， 2 3 24 x ax恒成立，因为 2 39 244 x x，所以 9 4 a 综合得，实数a的取值范围是(3,) 【点睛】关键点点睛：1.首先理解 x的定义，2.第三问，若对于任意 12 ,(2,4x x 都有 12 ( )()g xh x， 转化为 maxg xf x，再利用参变分离求a的取值范围. 21. 对于项数为(3, N)m mm的有限数列 n a，记该数列前i项 12 , i a aa中的最
30、大项为 i x(1,2,)im，即 12 max, ii xa aa；该数列后mi项 12 , iim aaa 中的最小项为 i y(1,2,1)im，即 12 min, iiim yaaa ， iii dxy1,2,3,1im （1）对于共有四项的数列：3,4,7,1，求出相应的 123 ,d d d； （2）设c为常数，且 1km k axc ，1,2,3,km，求证： kk xa1,2,3,km； （3）设实数0，数列 n a满足 1 1a ， 1 2 3 nn aa (2,3,nm)，若数列 n a对应的 i d满足 1ii dd 对任意的正整数1,2,3,2im恒成立，求实数的取值范
31、围 【答案】 （1） ， 1 2d ； 2 3d ； 3 6d ； （2）证明见解析； （3） 1 1 3 【解析】 【分析】 （1）利用题中的定义，逐个计算 123 ,d d d即可； （2）依据题中定义可知 1kk xx ，再利用 1km k axc ，可得 1kk aa ， 12 max, kk a aaa，即 证结论； （3）讨论1和 1 3 时不满足题意，再研究1且 1 3 时 1 312 3(1)3(1) n n a ，构造数列 2 3(1) n a 是等比数列求得 n a，依据题中定义计算 1iii daa ， 112iii daa ，再解不等式 1 0 ii dd ，即得结果.
32、 【详解】解： （1）前一项中最大是 3，后三项中最小是 1，故 1 3x ， 1 1y ， 1 2d ；前两项中最大是 4， 后两项中最小是 1，故 2 4x ， 2 1y ， 2 3d ；前三项中最大是 7，后一项中最小是 1，故 3 7x ， 3 1y ， 3 6d ； （2）依题意 12 max, kk xa aa， 1121 max, kkk xa aa a ，所以 1kk xx ， 又因为 1km k axc ， 1km k axc ，故 11 0 kkm km k aaxx ，即 1kk aa ，即数列 n a是递增 数列， 12 max, kk a aaa，所以 kk xa；
33、（3）当1时，数列 n a是等差数列，此时 1 2 3 ii dd ，不满足题意； 当1时， 1 22 3(1)3(1) nn aa ，且 1 231 3(1)3(1) a ， 当 1 3 时，1 n a 为常数数列，此时 1 0 ii dd ，亦不满足题意； 当 1 3 时，数列 2 3(1) n a 是以 1 231 0 3(1)3(1) a 为首项，是公比的等比数列，故 1 231 3(1)3(1) n n a ，此时 1 312 3(1)3(1) n n a ， 由题意得， 1212 max,min, iiiim da aaaaa ， 112123 max,min, iiiiim da
34、 aa aaaa ， 由于 1223 min,min, iimiim aaaaaa ，而 1ii dd ， 因此 12112 max,max, iii a aa aa aa ， 故 ii xa对任意正整数1,2,3,im都成立， 所以 1iii daa ， 112iii daa ，因为 1ii dd ， 所以 11 121 31 22 3(1) iii iiiii ddaaa 1212 3131 (21)(1)0 3(1)3(1) ii ， 解得： 1 1 3 【点睛】本题解题关键是认真审题，读懂题中的新定义，该数列前i项 12 , i a aa中的最大项为 i x(1,2,)im，即 12 max, ii xa aa，数列后mi项 12 , iim aaa 中的最小项为 i y(1,2,1)im，即 12 min, iiim yaaa ， iii dxy1,2,3,1im，结合构造等比数 列 2 3(1) n a 求 n a通项公式，求得 1 , ii d d ，再作差求得参数范围，以突破难点.
