1、 南京市南京市 2021 届高三年级学情调研届高三年级学情调研 数数 学学 2020.09 注意事项：注意事项： 1本试卷共 6 页，包括单项选择题（第 1 题第 8 题） 、多项选择题（第 9 题第 12 题） 、填 空题（第 13 题第 16 题） 、解答题（第 17 题第 22 题）四部分本试卷满分为 150 分， 考试时间为 120 分钟 2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置 3作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信 息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上 4 非选择题必须用黑色字迹
2、的钢笔或签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内， 在其他位置作答一律无效 一、一、单项单项选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上，请把答案填涂在答题卡相应位置上 1已知集合 Ax|x2x20，Bx|1x3 ，则 AB Ax|1x3 Bx|1x1 Cx|1x2 Dx|2x3 2已知(34i)z1i，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第
3、四象限 3已知向量 a，b 满足|a|1，|b|2，且|ab| 3，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 5 6 D2 3 4在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(4 3，0)到双曲线 C：x 2 a2 y2 91 的一条渐近线的距离 为 6，则双曲线 C 的离心率为 A2 B4 C 2 D 3 5在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2bcosC2ac，则角 B 的取值范围 是 A(0， 3 B(0， 2 3 C 3，) D 2 3 ，) 6设 alog4 9，b2 1.2，c(8 27) 1 3，则 Aabc Bbac Cacb Dcab 7在平面直角坐标系
4、xOy 中，已知圆 A：(x1)2y21，点 B(3，0)，过动点 P 引圆 A 的切 线，切点为 T若 PT 2PB，则动点 P 的轨迹方程为 Ax2y214x180 Bx2y214x180 Cx2y210 x180 Dx2y210 x180 8已知奇函数 f (x)的定义域为 R，且 f (1x)f (1x)若当 x(0，1时，f(x)log2(2x3)， 则 f (93 2 )的值是 A3 B2 C2 D3 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符
5、合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上全部选对得 5 5 分，部分选对分，部分选对 得得 3 3 分，不选或有错选的得分，不选或有错选的得 0 0 分分 95G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的 快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经 济各行业的发展，创造出更多的经济增加值如图，某单位结合近年数据，对今后几年 的 5G 经济产出做出预测 由上图提供的信息可知 A运营商的经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商
6、在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 10将函数 f(x)sin2x 的图象向左平移 6个单位后，得到函数 yg(x)的图象，则 A函数 g(x)的图象关于直线 x 12对称 B函数 g(x)的图象关于点( 6，0)对称 C函数 g(x)在区间(5 12， 6)上单调递增 D函数 g(x)在区间(0， 7 6 )上有 2 个零点 11已知(2x)(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6，则 Aa0的值为 2 Ba5的值为 16 Ca1a2a3a4a5a6的值为5 Da1a3a5的值为 120 12记函数 f(x)与 g
7、(x)的定义域的交集为 I若存在 x0I，使得对任意 xI，不等式 f(x)g(x)(xx0)0 恒成立，则称(f(x)，g(x)构成“M 函数对” 下列所给的两个函数 能构成“M 函数对”的有（ ） Af(x)lnx，g(x)1 x Bf(x)ex，g(x)ex Cf(x)x3，g(x)x2 Df(x)x1 x，g(x)3 x 三三、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上 13如图，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁 球（小
8、球完全浸入水中） ，水面高度恰好 升高r 3，则 R r 14被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前 287前 212） ，是古希腊伟大的物理学家、数 学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成 的封闭图形的面积， 等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的 三分之二 这个结论就是著名的阿基米德定理， 其中的三角形被称为阿基米德三角形 在 平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l：y4 与抛物线 C：y1 4x 2交于 A，B 两点，则弦 AB 与抛物线 C 所围成的封闭图形的面积为 15 已知数列an的各项均为正数， 其前 n 项和为 Sn，
9、且 2Snanan1， nN*， 则 a4 ； 若 a12，则 S20 (本题第一空 2 分，第二空 3 分) 16若不等式(ax2bx1)ex1 对一切 xR 恒成立，其中 a，bR，e 为自然对数的底数， 则 ab 的取值范围是 r r 3 四、四、解答题解答题：本大题共：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明，证明过程或演算步骤的文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 已知向量 m(2cosx，1)，n( 3sinx，2cos2x)，xR设函数 f(x)m n
10、1 （1）求函数 f(x)的最小正周期； （2）若 3， 7 12，且 f() 8 5，求 cos2 的值 18 （本小题满分 12 分） 已知数列an是公比为 2 的等比数列，其前 n 项和为 Sn （1）在S1S32S22，S37 3，a2a34a4 这三个条件中任选一个，补充到上述 题干中求数列an的通项公式，并判断此时数列an是否满足条件 P：任意 m，nN*，aman 均为数列an中的项，说明理由； （2）设数列bn满足 bnn(a n1 an )n 1，nN*，求数列b n的前 n 项和 Tn 注：在第（注：在第（1 1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）问中，如果
11、选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 E D C B A P 19 （本小题满分 12 分） 为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校 100 名学生（男生 60 人，女生 40 人） ， 统计了他们的课外阅读达标情况 （一个学期中课外阅读是否达到规定时间） ， 结果如下： （1）是否有 99%的把握认为课外阅读达标与性别有关？ 附：2 n(adbc)2 (ab)(cd)(ac)(bd) ， （2）如果用这 100 名学生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生 和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立现从该校学生中随机 抽取 3 人（2 男 1 女） ，
12、设随机变量 X 表示“3 人中课外阅读达标的人数” ，试求 X 的分布列 和数学期望 20 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，AD/BC，ABBCPA1， AD2，PADDAB90，点 E 在棱 PC 上，设 CECP （1）求证：CDAE； （2）记二面角 CAED 的平面角为 ， 且|cos| 10 5 ，求实数 的值 是否达标 性别 不达标 达标 男生 36 24 女生 10 30 P(2k) 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 （本小题满分
13、 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x 2 4 y21 （1）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，T 是椭圆 C 上的一个动点，求TF1 TF 2 的取 值范围； （2）设 A(0，1)，与坐标轴不垂直 的直线 l 交椭圆 C 于 B，D 两点若ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 l 的方程 22 （本小题满分 12 分） 已知函数 f (x)kxxlnx，kR （1）当 k2 时，求函数 f (x)的单调区间； （2）当 0 x1 时，f (x)k 恒成立，求 k 的取值范围； （3）设 nN*，求证：ln1 2 ln2 3 lnn n1 n(
14、n1) 4 南京市南京市 2021 届高三年级学情调研届高三年级学情调研 数学参考答案数学参考答案 2020.09 一、一、单项单项选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分 1C 2B 3D 4A 5A 6C 7C 8B 二二、多项多项选择题选择题：本大题共本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分分 9ABD 10ACD 11ABC 12AC 三三、填空题填空题：本大题共本大题共 4 4 小题，每题小题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分分 132 1464 3 154；220 16(，1
15、四四、解答题解答题：本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7 70 0 分分 17 （本小题满分 10 分） 解解：因为 m(2cosx，1)，n( 3sinx，2cos2x)， 所以 f(x)m n12 3sinxcosx2cos2x1 3sin2xcos2x2sin(2x 6) 4 分 （1）T2 2 5 分 （2）由 f()8 5，得 sin(2 6) 4 5 由 3， 7 12，得 22 6， 所以 cos(2 6) 1sin2(2 6) 1(4 5) 23 5， 7 分 从而 cos2cos(2 6) 6cos(2 6)cos 6sin(2 6)sin 6 3 5 3 2 4
16、5 1 2 43 3 10 10 分 18 （本小题满分 12 分） 解：解： （1）选， 因为 S1S32S22， 所以 S3S2S2S12，即 a3a22， 又数列an是公比为 2 的等比数列， 所以 4a12a12，解得 a11， 因此 an12n 12n1 4 分 此时任意 m，nN*，aman2m 12n12mn2， 由于 mn1N*，所以 aman是数列an的第 mn1 项， 因此数列an满足条件 P 7 分 选， 因为 S37 3，即 a1a2a3 7 3， 又数列an是公比为 2 的等比数列， 所以 a12a14a17 3，解得 a1 1 3， 因此 an1 32 n1 4 分
17、 此时 a1a22 9a1an，即 a1a2不为数列an中的项， 因此数列an不满足条件 P 7 分 选， 因为 a2a34a4， 又数列an是公比为 2 的等比数列， 所以 2a14a148a1，又 a10，故 a14， 因此 an42n 12n1 4 分 此时任意 m，nN*，aman2m 12n12mn2， 由于 mn1N*，所以 aman是为数列an的第 mn1 项， 因此数列an满足条件 P 7 分 （2）因为数列an是公比为 2 的等比数列， 所以a n1 an 2，因此 bnn2n 1 所以 Tn120221322n2n1， 则 2Tn 121222(n1)2n1n2n， 两式相
18、减得Tn121222n1n2n 10 分 12 n 12 n2n (1n)2n1， 所以 Tn(n1)2n1 12 分 19 （本小题满分 12 分） 解解： （1）假设 H0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得 2 100(36302410)2 (3624)(1030)(3610)(2430) 2450 207 11.8366.635， 因为当 H0成立时，26.635 的概率约为 0.01， 所以有 99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关 4 分 （2）记事件 A 为：从该校男生中随机抽取 1 人，课外阅读达标； 事件 B 为：从该校女生中随机抽取 1 人，课外阅读达标 由题意知
19、：P(A)24 60 2 5，P(B) 30 40 3 4 6 分 随机变量 X 的取值可能为 0，1，2，3 P(X0)(12 5) 2(13 4) 9 100， P(X1)C122 5(1 2 5)(1 3 4) 3 4(1 2 5) 239 100， z x P A B C D E y P(X2)(2 5) 2(13 4)C 1 22 5(1 2 5) 3 4 2 5， P(X3)(2 5) 23 4 3 25 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 9 100 39 100 2 5 3 25 10 分 期望 E(X)0 9 1001 39 1002 2 53 3 25
20、1.55 12 分 20 （本小题满分 12 分） （1）证明：证明：因为PAD90，所以 PAAD 因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PA平面 PAD， 所以 PA平面 ABCD 2 分 又 CD平面 ABCD，所以 CDPA 在四边形 ABCD 中，AD/BC，DAB90，所以ABC90， 又 ABBC1，所以ABC 是等腰直角三角形，即BACCAD45，AC 2 在CAD 中，CAD45，AC 2，AD2， 所以 CD AC2AD22ACADcosCAD 2，从而 AC2CD24AD2 所以 CDAC 4 分 又 ACPAA，AC，PA平面 PAC，所以 C
21、D平面 PAC 又 AE平面 PAC，所以 CDAE 6 分 （2）解：解：因为 PA平面 ABCD，BAAD， 故以AB，AD，AP为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 因为 ABBCPA1，AD2， 所以 A(0，0，0)，P(0，0，1)， C(1，1，0)，D(0，2，0)， 则CD(1，1，0)，AD(0，2，0) 因为点 E 在棱 PC 上，且 CECP， 所以CECP， 设 E(x，y，z)，则(x1，y1，z)(1，1，1)， 故 E(1，1，)，所以AE(1，1，) 由（1）知，CD平面 PAC，所以平面 ACE 的一个法向量为 nCD(1，1，0) 设平面 AED 的法
22、向量为 m(x1，y1，z1)， 由 m AE0， mAD0， 得 (1)x1(1)y1z10， y10， 令 z11，所以平面 AED 的一个法向量为 m(，0，1) 9 分 因此 |cos|cos| mn |m|n| 2 2(1)2| 10 5 ， 化简得 32840，解得 2 3或 2 因为 E 在棱 PC 上，所以 0，1，所以 2 3 所以当|cos| 10 5 时，实数 的值为2 3 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解：解： （1）因为椭圆 C：x 2 4 y21，所以 F1( 3，0)，F2( 3，0) 设 T(x0，y0)，则 TF1 TF 2 ( 3x 0，y0)(
23、 3x0，y0)x0 2y 0 23 因为点 T(x0，y0)在椭圆 C 上，即x 0 2 4 y021，所以TF1 TF 2 3 4x0 22，且 x 0 20，4， 所以TF1 TF 2 的取值范围是2，1 4 分 （2）因为直线 l 与坐标轴不垂直，故设直线 l 方程 ykxm (m1，k0) 设 B(x1，y1)，(x2，y2) 由 ykxm， x2 4 y21得(14k 2)x28kmx4m240， 所以 x1x2 8km 14k2，x1x2 4(m21) 14k2 6 分 因为ABD 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以 ABAD，即 AB AD0， 因此 (y11)( y2
24、1)x1x20，即(kx1m1)( kx2m1)x1x20， 从而 (1k2) x1x2k(m1)( x1x2)(m1)20， 即 (1k2)4(m 21) 14k2 k(m1) 8km 14k2(m1) 20， 也即 4(1k2)( m1)8k2m(14k2) (m1)0， 解得 m3 5 9 分 又线段 BD 的中点 M( 4km 14k2， m 14k2)，且 AMBD， 所以 m 14k21 4km 14k2 1 k，即 3m14k 2，解得 k 5 5 又当 k 5 5 ，m3 5时，64k 2m24(14k2)( 4m24)576 25 0， 所以满足条件的直线 l 的方程为 y
25、5 5 x3 5. 12 分 22 （本小题满分 12 分） 解：解： （1）当 k2 时，f (x)2xxlnx，f(x)1lnx， 由 f(x)0，解得 0 xe；由 f(x)0，解得 xe， 因此函数 f (x)单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，) 2 分 （2）f (x)kxxlnx，故 f(x)k1lnx 当 k1 时，因为 0 x1，所以 k10lnx， 因此 f(x)0 恒成立，即 f (x)在(0，1上单调递增， 所以 f (x)f (1)k 恒成立 4 分 当 k1 时，令 f(x)0，解得 xek 1(0，1) 当 x(0，ek 1)，f(x)0，f (x)单调递增；当 x(ek1，1)，f(x)0，f (x)单调递减； 于是 f (ek 1)f (1)k，与 f (x)k 恒成立相矛盾 综上，k 的取值范围为1，) 7 分 （3）由（2）知，当 0 x1 时，xxlnx1 令 x 1 n2(nN *)，则 1 n2 2 n2lnn1，即 2lnnn 21， 因此 lnn n1 n1 2 10 分 所以ln1 2 ln2 3 lnn n1 0 2 1 2 n1 2 n(n1) 4 12 分
