2019届高考数学二轮复习第二部分专项专题一 第2讲 不等式(学生版).docx

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1、 1利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点,主要以 选择题、填空题为主; 2在解答题中,特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解,难度较 大 1不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 一元二次不等式 ax2bxc0(或0), 如果 a 与 ax2bxc 同号, 则其解集在两根之外; 如果 a 与 ax2bxc 异号,则其解集在两根之间 (2)简单分式不等式的解法 f(x) g(x)0(0(0,b0) (4)2(a2b2)(ab)2(a,bR,当 ab 时等号成立) 3利用基本不等式求最值 (1)如果 x0,y0,x

2、yp(定值),当 xy 时,xy 有最小值 2 p(简记为:积定,和有最小值) (2)如果 x0,y0,xys(定值),当 xy 时,xy 有最大值 2 1 4 s(简记为:和定,积有最大值) 4简单的线性规划问题 解决线性规划问题首先要找到可行域, 再根据目标函数表示的几何意义, 数形结合找到目标函数达到最值时可 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题一专题一 第第 2 2 讲讲 不等式不等式 函数、导数与不等式函数、导数与不等式 行域上的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定要准确,整点问题要验证解决 热点一 不等式的性质及解法 【例 1】(1)(2018 武汉联考)已知

3、函数? ?f x是?0,?上的减函数,若 ? 2 3f aaf a?,则实数 a 的取值范 围为_ (2)(2017 江苏卷)已知函数 f(x)x32xex 1 ex,其中 e 是自然对数的底数,若 f(a1)f(2a2)0,则实数 a 的取值范围是_ 解析 (1)因为? ?f x是?0,?上的减函数,若 ? 2 3f aaf a?, 所以 2 2 3 0 30 aaa aa a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,解不等式组得?1,01,3a? ?, (2)f(x)3x22ex 1 ex3x 222 ex 1 ex3x 20 且 f(x)不恒为 0,所以 f(x)为单调递增函数 又 f(x

4、)x32xe xex(x32xex1 ex)f(x),故 f(x)为奇函数, 由 f(a1)f(2a2)0,得 f(2a2)f(1a), 2a21a,解之得1a1 2, 故实数 a 的取值范围是? ? ? ? 1,1 2 答案 (1)C (2)? ? ? ? 1,1 2 探究提高 1解一元二次不等式:先化为一般形式 ax2bxc0(a0),再结合相应二次方程的根及二次函数 图象确定一元二次不等式的解集 2(1)对于和函数有关的不等式,可先利用函数的单调性进行转化 (2)含参数的不等式的求解,要对参数进行分类讨论 【训练 1】(1)(2018 七宝中学)若 ? 2 1 2 log420axxa?

5、对任意x?R恒成立,则实数a的取值范围是_ (2)已知不等式 2 x1 1 5|a 2a|对于 x2,6恒成立,则 a 的取值范围是_ 解析 (1) 由已知得不等式 ? 2 11 22 log42log 1axxa?对任意x?R恒成立, 所以不等式 2 421axxa?对 任意x?R恒成立,即不等式 2 430axxa?对任意x?R恒成立,当0a ?时,则不等式430x?对任意 x?R不恒成立, 所以0a ?。 所以 ? 2 0 4430 a a a? ? ? ? ? ? ? , 即 2 0 34 0 a aa ? ? ? ? ? , 所以 0 14 a aa ? ? ? ? ? 或 解得4a

6、 ? 热点题型热点题型 (2)设 y 2 x1, ? 2 2 0 1 y x ? ? ? ? ? , 故 y 2 x1在 x2,6上单调递减,则 ymin 2 61 2 5, 故不等式 2 x1 1 5|a 2a|对于 x2,6恒成立等价于1 5|a 2a|2 5恒成立,化简得? ? ? ? ?a2a20, a2a20, 解得1a2,故 a 的取值范围是1,2 答案 (1)R (2)1,2 热点二 基本不等式 【例 2】(1)(2018 天津期末)已知0,0xy?,且 41 1 xy ?,若 2 3xymm?恒成立,则实数m的取值范围 是_ (2)(2016 江苏卷改编)已知函数 f(x)2x

7、? ? ? ? 1 2 x ,若对于任意 xR,不等式 f(2x)mf(x)6 恒成立,则实数 m 的最大值为_ 解析 (1)0x ?,0y ?,? 2 min 3xymm?恒成立,且 41 1 xy ?, ? 4144 5529 yxyx xyxy xyxyxy ? ? ? ? , 因为? 2 min 3xymm?恒成立, 2 39mm?, 32m? ? 故答案为?3,2? (2)由条件知? ? ? 22 22 2222222 xxxx fxf x ? ? f(2x)mf(x)6 对于 xR 恒成立,且 f(x)0, ? ? ? ? 2 4f x m f x ? ?对于 xR 恒成立 又 ?

8、 ? ? ? 2 4f x f x ? f(x) 4 f(x)2 f(x) 4 f(x)4,且 ? ? ? ? 2 04 4 0 f f ? ?, m4,故实数 m 的最大值为 4 答案 (1)8 (2)4 探究提高 1利用基本不等式求最值,要注意“拆、拼、凑”等变形,变形的原则是在已知条件下通过变形凑 出基本不等式应用的条件,即“和”或“积”为定值,等号能够取得 2特别注意:(1)应用基本不等式求最值时,若遇等号取不到的情况,则应结合函数的单调性求解 (2)若两次连用基本不等式,要注意等号的取得条件的一致性,否则会出错 【训练 2】 (1) (2018 新泰一中)若直线?10,0 xy ab

9、 ab ?过点?2,1,则3ab?的最小值为_ (2)若实数 a,b 满足1 a 2 b ab,则 ab 的最小值为( ) A 2 B2 C2 2 D4 解析 (1)直线?10,0 xy ab ab ?过点?2,1, 21 1 ab ?, 故? 212323 3377272 6 baba abab ababab ? ? ? ? , 当且仅当 23ba ab ?, 即23ba?时取等号, 结合 21 1 ab ?可解得 66 3 a ? ?且61b ?,故答案为72 6? (2)依题意知 a0,b0,则1 a 2 b2 2 ab 2 2 ab,当且仅当 1 a 2 b,即 b2a 时, “”成立

10、 1 a 2 b ab, ab 2 2 ab,即 ab2 2, ab 的最小值为 2 2 答案 (1)C (2)C 热点三 简单的线性规划问题 【例 3】 (1) (2018 张家口期中)已知x,y满足 0 0 2 y xy xy ? ? ? ? ? ? ? ,则3zxy?的最大值为_ (2) (2017 池州模拟)已知 x, y 满足约束条件 ? ? ? ? ?xy20, axy4, x2y30, 目标函数 z2x3y 的最大值是 2, 则实数 a( ) A1 2 B1 C3 2 D4 解析 (1) 根据题中所给的约束条件,画出可行域,如图所示: 由 0 2 y xy ? ? ? ? 解得

11、?2,0B, 目标函数3zxy?可看做斜率为 3 的动直线,其纵截距越小,z越大, 由图可知,当动直线过点B时,z最大,最大值为3 26z ? ?, 故答案是 6. (2)解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示, 目标函数 z2x3y 的最大值是 2, 由图象知 z2x3y 经过平面区域的 A 时目标函数取得最大值 2 由 ? ? ? ?xy20, 2x3y2, 解得 A(4,2), 同时 A(4,2)也在直线 axy40 上, 4a2,则 a1 2 答案 (1)D (2)A 探究提高 1线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想需要注意的是:一,准确无误地作 出可行域;二

12、,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一 般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得 2对于线性规划中的参数问题,需注意: (1)当最值是已知时,目标函数中的参数往往与直线斜率有关,解题时应充分利用斜率这一特征加以转化 (2)当目标函数与最值都是已知,且约束条件中含有参数时,因为平面区域是变动的,所以要抓住目标函数及 最值已知这一突破口,先确定最优解,然后变动参数范围,使得这样的最优解在该区域内即可 【训练 3】 (1) (2019 贵州联考)设实数x,y满足不等式组40 1 yx xy y ? ? ? ? ? ? ? , 则zxy

13、?的最小值是_ (2)(2017 新乡模拟)若实数 x,y 满足 ? ? ? ? ?2xy20, 2xy60, 0y3, 且 zmxy(m0,则a 44b41 ab 的最小值为_ 1(2018 南阳期中)已知正项等比数列? ? n a的公比为 2,若 2 2 4 mn a aa?,则 21 2mn ?的最小值等于( ) A 3 4 B 1 2 C 1 3 D 1 6 2(2017 全国卷)设 x,y 满足约束条件 ? ? ? ? ?3x2y60, x0, y0, 则 zxy 的取值范围是( ) A3,0 B3,2 C0,2 D0,3 3已知当 x0 时,2x2mx10 恒成立,则 m 的取值范

14、围为( ) A2 2,) B(,2 2 C(2 2,) D(,2 2) 4已知函数? ? 3 log,0, 1 ,0, 3 x x x f x x ? ? ? ? ? ? 那么不等式 f(x)1 的解集为_ 5设x,y,满足约束条件: 1 1 2 210 x yx xy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的可行域为M (1)求2Ayx?的最大值与 22 Bxy?的最小值; (2)若存在正实数a,使函数2 sincos 2424 xx ya ? ? ? ? 的图象经过区域M中的点,求这时a的取值范围. 高频易错题 经典常规题 限时训练限时训练 (45 分钟) 1已知x,y满足约束条件 43

15、0 35250 1 xy xy x ? ? ? ? ? ? ? ,记zaxy?(其中0a ?)的最小值为? ?f a,若? ? 3 5 f a ?,则 实数a的最小值为( ) A3 B4 C5 D6 2(2017 北京卷)已知 x0,y0,且 xy1,则 x2y2的取值范围是_ 3(2017 长郡中学二模)曲线 x|y1|与 y2x5 围成封闭区域(含边界)为 ,直线 y3xb 与区域 有公 共点,则 b 的最小值为_ 精准预测题 4 (2018莆田一中)已知函数? ? 2 ,f xxbxc b c?R,对任意的x?R,恒有? ? ?fxf x? (1)证明:cb? (2)若对满足题设条件的任意b,c,不等式? ? ? 22 f cf bM cb?恒成立,求M的最小值 5 (2018执信中学)私人办学是教育发展的方向,某人准备投资 1200 万元举办一所中学,为了考虑社会效 益和经济效益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据,列表如下(以班级为单位) : 市场调查表 班级学生数 配备教师数 硬件建设费(万元) 教师年薪(万元) 初中 50 2.0 28 1.2 高中 40 2.5 58 1.6 根据物价部门的有关文件,初中是义务教育阶段,收费标准适当控制,预计除书本费、办公费,初中每生每年 可收取600元, 高中每生每年可收取1500元.因生源和环境等条件限

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