1、1111111 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见 曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直 线与曲线位置关系等解析几何知识 1直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设 M 是平面内的 任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则 ? ? ? ?xcos ， ysin ，? ? ? ? ? 2x2y2， tan y x（x0）. 2直线的极坐标方程 若直线过点 M(0，0)，且极轴到此直线的角为 ，则它的
2、方程为 sin()0sin(0) 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：； (2)直线过点 M(a，0)(a0)且垂直于极轴：cosa； (3)直线过 M? ? ? ? b， 2 且平行于极轴：sinb 3圆的极坐标方程 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：r； (2)当圆心位于 M(r，0)，半径为 r：2rcos； (3)当圆心位于 M? ? ? ? r， 2 ，半径为 r：2rsin 4直线的参数方程 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题六专题六 第第 1 1 讲讲 选修选修 4 4- -4 4 坐标系与参数方程坐标系与参数
3、方程 选修部分选修部分 经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 的直线的参数方程为 ? ? ? ?xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数) 设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段P0P 的数量 5圆、椭圆的参数方程 (1)圆心在点 M(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为 ? ? ? ?xx0rcos ， yy0rsin ( 为参数，02) (2)椭圆x 2 a2 y2 b21 的参数方程为? ? ? ? ?xacos ， ybsin ( 为参数) 热点一 曲线的极坐标方程 【例 1】(2019 呼和浩特期中)在直角坐标系xOy中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系
4、，已知曲线 1 C的极坐标方程为sin4?，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 cos4 sin10? ?，曲线 3 C的极坐标方程为 ? 4 ?R （）求 1 C与 2 C的直角坐标方程； （）若 2 C与 1 C的交于P点， 2 C与 3 C交于A、B两点，求PAB的面积 解（）曲线 1 C的极坐标方程为sin4?， 根据题意，曲线 1 C的普通方程为4y ? 曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 cos4 sin10? ?， 曲线 2 C的普通方程为 22 2410xyxy? ?，即? 22 124xy?， （）曲线 3 C的极坐标方程为? 4 ?R， 曲线 3 C的普通方程为yx?， 联
5、立 1 C与 2 C: ? 22 4 114 y xy ? ? ? ? ? ，得 2 210xx? ?，解得1x ?， 点P的坐标?1,4，点P到 3 C的距离 143 2 22 d ? ?. 设? 11 ,A? ?，? 22 ,B? ?将 4 ?代入 2 C，得 2 3 210? ?， 则 12 3 2?， 12 1?， ? 2 121212 414AB? ?, 热点题型热点题型 113 23 7 14 2222 PAB SAB d? 探究提高 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式： xcos ， ysin ， 2x2y2， tan y x(x0)，要注意 ， 的取值范围及其
6、影响，灵活运用代入法和平方法等技巧 【训练 1】 (2017 北京东城区调研)在极坐标系中， 已知极坐标方程 C1： cos 3sin 10， C2： 2cos (1)求曲线 C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线 C1，C2交于 A，B 两点，求两点间的距离 解 (1)由 C1：cos 3sin 10， x 3y10，表示一条直线由 C2：2cos ，得 22cos x2y22x，则(x1)2y21， C2是圆心为(1，0)，半径 r1 的圆 (2)由(1)知，点(1，0)在直线 x 3y10 上，因此直线 C1过圆 C2的圆心 两交点 A，B 的连线段是圆 C2的直径
7、， 因此两交点 A，B 间的距离|AB|2r2 热点二 参数方程及其应用 【例 2】 (2019 湖北联考)在直角坐标系xOy中， 曲线 22cos : 2sin x C y ? ? ? ? ? ? （?为参数） ， 直线 1cos : sin xt l yt ? ? ? ? ? ? ? ? （t 为参数） ，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C与直线?的极坐标方程（极径用?表示，极角用?表示） ； （2）若直线l与曲线C相交，交点为A、B，直线l与x轴也相交，交点为Q，求QAQB?的取值范围. 解（1）曲线? 2 2 :24Cxy?，即 22 4xyx?，即 2 4
8、 cos?，即0?或4cos?， 由于曲线4cos?过极点，曲线C的极坐标方程为4cos? 直线?:1 sincoslxy?，即sincossin0xy?， 即cos sinsin cossin0?，即?sinsin?， 直线l的极坐标方程为?sinsin?； （2）由题得?1,0Q ?， 设M为线段AB的中点，圆心到直线l的距离为?0,2d ?， 则 22 22 3QAQBQMd?它在?0,2d ?时是减函数， QAQB?的取值范围 ? 2 5,6? 探究提高 1 将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程， 常用的消参方法有代入消参、 加减消参、 三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进
9、行变形，为消去参数创造条件 2在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值 问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解 【训练 2】(2017 郴州三模)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ?x2cos ， y22sin ( 为参数)，直线 l 的参数方程为 ? ? ?x1 2 2 t， y 2 2 t (t 为参数)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)写出直线 l 的普通方程以及曲线 C 的极坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 的两个交点分别为 M，N，直线
10、 l 与 x 轴的交点为 P，求|PM| |PN|的值 解 (1)直线 l 的参数方程为 ? ? ?x1 2 2 t， y 2 2 t (t 为参数)， 消去参数 t，得 xy10 曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ?x2cos ， y22sin ( 为参数)， 利用平方关系，得 x2(y2)24，则 x2y24y0 令 2x2y2，ysin ，代入得 C 的极坐标方程为 4sin (2)在直线 xy10 中，令 y0，得点 P(1，0) 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程得 t23 2t10， t1t23 2，t1t21 由直线参数方程的几何意义，|PM| |PN|t1 t2|1 1
11、(2018 全国 I 卷) 在直角坐标系中，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）求的直角坐标方程； （2）若与有且仅有三个公共点，求的方程 【解题思路】 (1)就根据cosx?，siny?以及 222 xy?， 将方程 2 2 cos30?中的相关的量代换， 求得直角坐标方程； (2)结合方程的形式，可以断定曲线 2 C是圆心为?1,0A ?，半径为2的圆， 1 C是过点?0,2B且关于y轴对称的 两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到k所满 足的关系式，从而求得结果. 【答案】 （1）由 2
12、 2 cos30?可得： 22 230xyx?，化为? 2 2 14xy? （2）由（1）知 2 C是圆心为?1,0A ?，半径为2的圆， 由题设知， 1 C是过点?0,2B且关于y轴对称的两条射线 记y轴右边的射线为 1 l，y轴左边的射线为 2 l由于B在圆 2 C的外面，故 1 C与 2 C有且仅有三个公共点等价于 1 l与 2 C只有一个公共点且 2 l与 2 C有两个公共点，或 2 l与 2 C只有一个公共点且 1 l与 2 C有两个公共点 当 1 l与 2 C只有一个公共点时，A到 1 l所在直线的距离为2，所以 2 2 2 1 k k ? ? ? ? ，故 4 3 k ? ?或0
13、k ? 经检验，当0k ?时， 1 l与 2 C没有公共点；当 4 3 k ? ?时， 1 l与 2 C只有一个公共点， 2 l与 2 C有两个公共点 当 2 l与 2 C只有一个公共点时，A到 2 l所在直线的距离为2，所以 2 2 2 1 k k ? ? ? ，故0k ?或 4 3 k ? 经检验，当0k ?时， 1 l与 2 C没有公共点；当 4 3 k ?时， 2 l与 2 C没有公共点 综上，所求 1 C的方程为 4 2 3 yx? ? 2(2018 全国 II 卷) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2cos 4sin x y ? ? ? ? （为参数），直线l的参数方程
14、为 xOy 1 C2yk x?x 2 C 2 2 cos30? 2 C 1 C 2 C 1 C 经典常规题 限时训练限时训练 （45 分钟） 1cos 2sin xt yt ? ? ? ? ? （t为参数） （1）求C和l的直角坐标方程； （2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为?1, 2，求l的斜率 【解题思路】(1)根据同角三角函数关系将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线l的参 数方程化为直角坐标方程， 此时要注意分cos0?与cos0?两种情况.(2)将直线l参数方程代入曲线C的直角 坐标方程，根据参数几何意义得sin ,cos?之间关系，求得tan?，即得l的斜率
15、 【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为 22 1 416 xy ?， 当cos0?时，l的直角坐标方程为 tan2tanyx? ， 当cos0?时，l的直角坐标方程为1x ? （2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 ? 22 1 3cos4 2cossin80tt? 因为曲线C截直线l所得线段的中点? 1,2在C内，所以有两个解，设为 1 t， 2 t，则 12 0tt? 又由得 ? 12 2 4 2cossin 13cos tt ? ? ? ? ? ? ，故2cossin0?，于是直线l的斜率tan2k? 1 (2016 全国卷)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1的参数方程为? ?x 3cos ， ysin ( 为参数)， 以坐标原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin? ? ? ? 4 2 2 (1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 【解题思路】 (1)曲线 C1利用 22 sincos1?消参，曲线 C2利用 ? ? ? ?xcos ， ysin ， 化为直角坐标方程(2)利 用点到直线距离公式，曲线 C1直接用参数方程，用三角
