1、 11111111 1计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度； 2概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期 望的考查是重点中的“热点” 1概率模型公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式 P(A)m n 事件A中所含的基本事件数 试验的基本事件总数 (2)几何概型的概率公式 P(A) 构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） (3)条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率：P(B|A)P（AB） P（A） (4)相互独立事件同时发生的概率：若 A，B 相互独立，则
2、P(AB)P(A) P(B) (5)若事件 A，B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)，P(A)1P(A) 2独立重复试验与二项分布 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p， 那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)Cknpk(1 p)n k，k0，1，2，?，n用 X 表示事件 A 在 n 次独立重复试验中发生的次数，则 X 服从二项分布，即 X B(n，p)且 P(Xk)Cknpk(1p)n k 3超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk) C C C kn k MN M n N ? ? ，k0，1，2
3、，?， m，其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN *，此时称随机变量 X 服从超几何分布超几何分布 的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是 M，N，n 4离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量 的分布列为： 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题五专题五 第第 2 2 讲讲 概率、随机概率、随机变量变量及其及其分布列分布列 概率概率与统计与统计 x1 x2 x3 ? xi ? n P p1 p2 p3 ? pi ? pn 离散型随机变量 的分布列具有两个性质：pi0； p1p2?pi?pn1(i1，2，3，?，n) (2)E()x1p1x2p2?xi
4、pi?xnpn为随机变量 的数学期望或均值 D()(x1E()2p1(x2E()2p2?(xiE()2pi?(xnE()2pn叫做随机变量 的方差 (3)数学期望、方差的性质 E(ab)aE()b，D(ab)a2D() XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p) X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p) 热点一 随机变量的分布列、均值与方差 【例 1】(2019 黄山一模)2015 年 11 月 27 日至 28 日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到 2020 年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会 黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的 重
5、要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到 实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一据了解，为了帮助杨 老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访，其中扶贫队长每天到杨 老汉家走访的概率为1 4，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为 1 3，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为 1 2 （）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率； （）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为 X，求 X 的分布列； （）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均
6、每天至少有 1 人走访”请问：他说的是真的 吗？ 解 ()设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为 A，则?(?) = 1 2 1 2 1 2 1 2 = 1 16， 帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为 1 16 （）随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3 ?(? = 0) = 3 4 2 3 1 2 = 1 4； ?(? = 1) = 1 4 2 3 1 2 + 3 4 1 3 1 2 + 3 4 2 3 1 2 = 11 24； ?(? = 2) = 1 4 1 3 1 2 + 1 4 2 3 1 2 + 3 4 1 3 1 2 = 1 4； 热点热点题型题型 ?(? =
7、3) = 1 4 1 3 1 2 = 1 24 随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 4 11 24 1 4 1 24 （）?(?) = 11 24 + 1 2 + 1 8 = 13 12，所以?(?) 1，所以杨老汉说的是真的 探究提高 1求随机变量的均值和方差的关键是正确求出随机变量的分布列 2对于实际问题中的随机变量 X，如果能够断定它服从二项分布 B(n，p)，则其概率、期望与方差可直接利用 公式 P(Xk)Cknpk(1p)n k(k0，1，2，?，n)，E(X)np，D(X)np(1p)求得 【训练 1】 (2017 西安二模)中国铁路客户服务中心为方便旅客购买车
8、票，推出三种购票方式：窗口购票、电 话购票、网上购票，旅客任选一种购票方式若甲、乙、丙 3 名旅客都准备购买火车票，并且这 3 名旅客选择 购票的方式是相互独立的 (1)求这三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率； (2)记这三名旅客购票方式的种数为 ，求 的分布列和数学期望 解 (1)记“三名旅客中恰有两人选择网上购票”为事件 A， “三名旅客都选择网上购票”为事件 B，且 A，B 互斥 则 P(A)C23? ? ? ? 1 3 2 2 3 2 9，P(B)? ? ? ? 1 3 3 1 27 因此，三名旅客中至少有两人选择网上购票的概率 PP(A)P(B) 7 27 (2)由题意，的所有可
9、能取值为 1，2，3， 则 P(1)C13? ? ? ? 1 3 3 1 9； P(2)C 2 3 2 3 A? ? ? ? 1 3 3 2 3； P(3) 3 3 A? ? ? ? 1 3 3 2 9 所以随机变量 的分布列为： 1 2 3 P 1 9 2 3 2 9 故 的期望 E()11 92 2 33 2 9 19 9 热点二 概率与统计的综合问题 【例 2】(2018 德州期末)在创新“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解 情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次） ，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100 人 的得分统计结果如表所示：
10、（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分? ?(?，198)，?近似为这 100 人得分的平均值（同 一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，利用该正态分布，求?(382 0；当? (01，1)时，?(?) 400，故应该对余下的产品作检验 1(2017 邯郸质检)2017 年 4 月 1 日，国家在河北省白洋淀以北的雄县、容城、安新 3 县设立雄安新区， 这是继深圳经济特区和上海浦东新区之后又一具有全国意义的新区，是千年大计、国家大事。多家央企为了 配合国家战略支持雄安新区建设，纷纷申请在新区建立分公司若规定每家央企只能在雄县、容城、安新 3 高频易错题 经典常规题 限时训练限时
11、训练 （45 分钟） 个片区中的一个片区设立分公司， 且申请其中任一个片区设立分公司都是等可能的， 每家央企选择哪个片区相 互之间互不影响且必须在其中一个片区建立分公司向雄安新区申请建立分公司的任意 4 家央企中， (1)求恰有 2 家央企申请在“雄县”片区建立分公司的概率； (2)用 X 表示这 4 家央企中在“雄县”片区建立分公司的个数，用 Y 表示在“容城”或“安新”片区建立分公 司的个数，记 |XY|，求 的分布列 【解题思路】(1)本题是独立重复试验，二项分布，可得 P(X2)；(2)依题意计算 的可能取值， 并计算其概率，列出分布列 【答案】解 (1)依题意，每家央企在“雄县”片区
12、建立分公司的概率为1 3，去另外两个片区建立分公司的 概率为2 3，这 4 家央企恰有 2 家央企在“雄县”片区建立分公司的概率为 PC 2 4? ? ? ? 1 3 2 ? ? ? ? 11 3 2 8 27 (2)由独立重复试验概率， 则 P(Xk)Ck4? ? ? ? 1 3 k ? ? ? ? 11 3 4k (k0，1，2，3，4)， 随机变量 的所有可能取值为 0，2，4 P(0)P(X2) 8 27；P(2)P(X1)P(X3) 40 81； P(4)P(X0)P(X4)17 81 所以随机变量 的分布列为： 0 2 4 P 8 27 40 81 17 81 2(2017 北京卷
13、)为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药，另一组不 服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x 和 y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者， “”表 示未服药者 (1)从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y 的值小于 60 的概率； (2)从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于 17 的人数， 求 的分布列和数学期望 E()； (3)试判断这 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差与未服药者指标 y 数据的方差的大小(只需写出结论) 【解题思路】(1)从图中找出服药的且指标 y 的值
14、小于 60 的人数；(2)此问是超几何分布，依题意计算 的可能 取值，并计算其概率，列出分布列；(3)根据图示中数据的稳定性即可判断方差的大小 【答案】解 (1)由题图知，在服药的 50 名患者中，指标 y 的值小于 60 的有 15 人， 所以从服药的 50 名患者中随机选出一人，此人指标 y 的值小于 60 的概率为15 5003 (2)由题图知，A，B，C，D 四人中，指标 x 的值大于 17 的有 2 人：A 和 C 所以 的所有可能取值为 0，1，2 P(0) 2 2 2 4 C C 1 6， P(1) 1 2 2 4 2C C 2 3， P(2) 2 2 2 4 C C 1 6 所以 的分布列为： 0 1 2 P 1 6 2 3 1 6 E()01 61 2 32 1 61 (3)由图知 100 名患者中服药者指标 y 数据的方差比未服药者指标 y 数据的方差大 1(2017 成都二诊)甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是1 2和 2 3，假设两人投篮结果相 互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响 (1)若每人投球 3 次(必须投完)，投中 2 次或 2 次以上，记为达标，求甲达标的概率； (2)若每人有 4 次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标达标或能断定不达标，则终止投篮记乙本次 测试投球的次数为 X，求 X 的分布
