1、1 高中数学人教 A 版选择学必修第二册 第 4 章数列单元测试 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知数列an的通项公式为 an=n2-n,则可以作为这个数列的其中一项的数是( ) A.10 B.15 C.21 D.42 2.已知数列bn是等比数列,b9是 1 和 3的等差中项,则 b2b16=( ) A.16 B.8 C.4 D.2 3.(2019 全国,理 9)记 Sn为等差数列an的前 n项和.已知 S4=0,a5=5,则( ) A.an=2n-5 B.an
2、=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn= n 2-2n 4.等差数列an中,S160,S170,当其前 n 项和取得最大值时,n=( ) A.8 B.9 C.16 D.17 5.已知数列an是以 2为首项,1为公差的等差数列,bn是以 1 为首项,2为公比的等比数列,则 + =( ) A.1 033 B.1 034 C.2 057 D.2 058 6.我国古代数学巨著九章算术中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?” 这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天 共织布 5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根
3、据上面的已知条件,可求得该女子第 4 天所织布的尺 数为( ) A. B. C. D. 7.给出数阵: 0 1 9 1 2 10 9 10 18 其中每行、每列均为等差数列,则此数阵所有数的和为 ( ) A.495 B.900 C.1 000 D.1 100 8.对于正项数列an,定义:Gn= 为数列an的“匀称值”.已知数列an的“匀称值”为 Gn=n+2,则该数列中的 a10等于( ) A. B. C. D. 2 二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0分) 9.(20
4、20 江苏镇江中学高二期末)对于数列an,若存在正整数 k(k2),使得 akak-1,ak1,a6+a7a6a7+12,记an的前 n 项积为 Tn,则 下列选项中正确的选项是( ) A.0q1 C.T121 D.T131 11.已知等比数列an中,满足 a1=1,q=2,Sn是an的前 n 项和,则下列说法正确的是( ) A.数列a2n是等比数列 B.数列, -是递增数列 C.数列log2an是等差数列 D.数列an中,S10,S20,S30仍成等比数列 12.已知数列an的前 n项和为 Sn(Sn0),且满足 an+4Sn-1Sn=0(n2),a1= ,则下列说法正确的是 ( ) A.数
5、列an的前 n 项和为 Sn= B.数列an的通项公式为 an= C.数列an为递增数列 D.数列, -为递增数列 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5分,共 20分) 13.若等差数列an的前 n项和为 Sn,且 a2=0,S5=10,数列bn满足 b1=0,且 b n+1=an+1+bn,则数列bn的 通项公式为 . 14.已知在公差不为零的正项等差数列an中,Sn为其前 n项和,lg a1,lg a2,lg a4也成等差数列.若 a5=10, 则 S5=. 15.我国古代数学名著张邱建算经有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一 人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫
6、,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人, 第一人给 3 钱,第二人给 4钱,第三人给 5钱,以此类推,每人比前一人多给 1 钱,分完后,再把钱收回平 均分给各人,结果每人分得 100钱,问有多少人?则题中的人数是 . 16.(2020 浙江余姚中学高二检测)已知 n为正偶数,用数学归纳法证明“1- + - =2 + ”时,第一步的验证为 ;若已假设 n=k(k2 且 k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳假设证 n= 时等式成立. (本题第一空 2分,第二空 3分) 3 四、解答题(本题共 6 小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分
7、 10分)(2019 全国,理 19)已知数列an和bn满足 a1=1,b1=0,4an+1=3an- bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列; (2)求an和bn的通项公式. 18.(本小题满分 12分)已知等比数列an的各项均为正数,且 2a1+3a2=1, =9a4a8. (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn=an-an-1,求数列bn的前 n 项和 Sn. 4 19.(本小题满分 12分)(2019 北京,文 16)设an是等差数列,a1=-10,且 a2+10,a3+8,a4+6 成等比数列. (1)求an的通项公式;
8、 (2)记an的前 n项和为 Sn,求 Sn的最小值. 20.(本小题满分 12分)已知数列an的前 n 项和 Sn=2an-2n. (1)求 a1,a2. (2)设 cn=an+1-2an,证明数列cn是等比数列. (3)求数列, -的前 n项和 Tn. 5 21.(本小题满分 12分)已知数列an的前 n 项和 Sn=an+ n 2+ n-2(nN *). (1)求数列an的通项公式; (2)若 bn= - 为奇数 ( ) 为偶数 且数列bn的前 n项和为 Tn,求 T2n. 22.(本小题满分 12分)设等差数列an的前 n项和为 Sn,a3=4,a4=S3.数列bn满足:对每个 n N
9、*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)记 cn = ,nN *,证明:c 1+c2+cn0,S170,即 a1+a16=a8+a90,S170,即 a1+a17=2a90,所以 a90,所以等差数列an为递 减数列,且前 8项为正数,从第 9项以后为负数,所以当其前 n 项和取得最大值时,n=8.故选 A. 答案 A 5.已知数列an是以 2为首项,1为公差的等差数列,bn是以 1 为首项,2为公比的等比数列,则 + =( ) A.1 033 B.1 034 C.2 057 D.2 058 解析由已知可得 an=n+1,bn=2n
10、-1,于是 - =2n-1+1,因此 + =(20+1)+(21+1)+(29+1)=(1+2+22+29)+10= - - +10=1 033. 答案 A 7 6.我国古代数学巨著九章算术中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?” 这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天 共织布 5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上面的已知条件,可求得该女子第 4 天所织布的尺 数为( ) A. B. C. D. 解析设该女子第 n天织的布为 an尺,且数列an为公比 q=2 的等比数列,由题意可得 - - =5,解得
11、a1= .所以该女子第 4 天所织布的尺数为 a4=a1q 3= . 故选 D. 答案 D 7.给出数阵: 0 1 9 1 2 10 9 10 18 其中每行、每列均为等差数列,则此数阵所有数的和为 ( ) A.495 B.900 C.1 000 D.1 100 解析设 b1=0+1+2+9,b2=1+2+3+10,b10=9+10+18,则bn是首项 b1=45,公差 d=10 的 等差数列,所以 S10=4510+ 10=900. 答案 B 8.对于正项数列an,定义:Gn= 为数列an的“匀称值”.已知数列an的“匀称值”为 Gn=n+2,则该数列中的 a10等于( ) A. B. C.
12、 D. 解析Gn= ,Gn=n+2,n Gn=n (n+2)=a1+2a2+3a3+nan, 10(10+2)=a1+2a2+3a3+10a10;9(9+2)=a1+2a2+3a3+9a9,两式相减得 10 a10=21,a10= .故 选 D. 答案 D 8 二、多项选择题(本题共 4 小题,每小题 5分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0分) 9.(2020 江苏镇江中学高二期末)对于数列an,若存在正整数 k(k2),使得 akak-1,akak+1,则称 ak是 数列an的“谷值”,k 是数列an的“谷值点
13、”,在数列an中,若 an=| - |,下面哪些数不能作为数列 an的“谷值点”?( ) A.3 B.2 C.7 D.5 解析 an=| - |,故 a1=2,a2= ,a3=2,a4= ,a5= ,a6= ,a7= ,a8= . 故 a2a2,a3a2,故 2 是“谷值点”; a6a7,a8a7,故 7 是“谷值点”;a61,a6+a7a6a7+12,记an的前 n 项积为 Tn,则 下列选项中正确的选项是( ) A.0q1 C.T121 D.T131 解析由于等比数列an的各项均为正数,公比为 q,且 a11,a6+a7a6a7+12,所以(a6-1)(a7-1)0,所以 0a61,或 a
14、61且 0a71. 当 0a61 时, =q1,又 a11,所以an是递增数列,所以 a6a11,矛盾,当 a61 且 0a71 时,0 1,即 0q2,所以 a6a71,T12=a1 a2 a11 a12=(a6a7) 61,T 13= 0. 由 lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,得 2lg a2=lg a1+lg a4, 则 =a1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),d2=a1d. 因为 d0,所以 d=a1,a5=5a1=10, 解得 d=a1=2.故 S5=5a1+ d=30. 答案 30 10 15.我国古代数学名著张邱建算经有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三
15、钱,次一人与四钱,次一 人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人, 第一人给 3 钱,第二人给 4钱,第三人给 5钱,以此类推,每人比前一人多给 1 钱,分完后,再把钱收回平 均分给各人,结果每人分得 100钱,问有多少人?则题中的人数是 . 解析设共有 n人,根据题意得 3n+ - =100n,解得 n=195,所以一共有 195 人. 答案 195 16.(2020 浙江余姚中学高二检测)已知 n为正偶数,用数学归纳法证明“1- + - =2 + ”时,第一步的验证为 ;若已假设 n=k(k2 且 k为偶数)时等式成立,则还需要用归纳
16、假设证 n= 时等式成立.(本题第一空 2分,第二空 3 分) 解析因为 n 为正偶数,则归纳基础为 当 n=2 时,左边=1- ,右边=2 ,等式成立; 归纳假设为当 n=k(k2 且 k 为偶数)时,1- + - =2 + 成立,由于 n 是所有正偶数,则下一个数应为 n=k+2. 答案当 n=2 时,左边=1- ,右边=2 ,等号成立 k+2 四、解答题(本题共 6 小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10分)(2019 全国,理 19)已知数列an和bn满足 a1=1,b1=0,4an+1=3an- bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
17、(1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列; (2)求an和bn的通项公式. (1)证明由题设得 4(an+1+bn+1)=2(an+bn), 即 an+1+bn+1= (an+bn). 又因为 a1+b1=1,所以an+bn是首项为 1,公比为 的等比数列. 由题设得 4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8, 即 an+1-bn+1=an-bn+2. 又因为 a1-b1=1,所以an-bn是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)解由(1)知,an+bn= - ,a n-bn=2n-1. 所以 an= (an+bn)+(an-bn)= +n- , bn= (an+bn
18、)-(an-bn)= -n+ . 11 18.(本小题满分 12分)已知等比数列an的各项均为正数,且 2a1+3a2=1, =9a4a8. (1)求数列an的通项公式; (2)设 bn=an-an-1,求数列bn的前 n 项和 Sn. 解(1)设an的公比为 q, 则由 =9a4a8,可得(a1q4)2=9a1q3 a1q7, 即 q8=9 q10, 因此 q2= . 因为an的各项均为正数, 所以 q0,故 q= . 又因为 2a1+3a2=1, 所以 2a1+3a1 =1,解得 a1= . 故 an= ( ) - ,即 an=( ) . (2)由(1)得 bn=an-an-1=( ) (
19、 ) - =- ( ) - , 所以bn是首项为- ,公比为 的等比数列, 因此其前 n项和 Sn= - -( ) - ( ) -1. 19.(本小题满分 12分)(2019 北京,文 16)设an是等差数列,a1=-10,且 a2+10,a3+8,a4+6 成等比数列. (1)求an的通项公式; (2)记an的前 n项和为 Sn,求 Sn的最小值. 解(1)设an的公差为 d. 因为 a1=-10, 所以 a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d. 因为 a2+10,a3+8,a4+6 成等比数列, 所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6). 所以(-2+2d)2=d(
20、-4+3d). 解得 d=2. 所以 an=a1+(n-1)d=2n-12. (2)由(1)知,an=2n-12. 所以,当 n7时,an0;当 n6时,an0. 所以,Sn的最小值为 S6=-30. 12 20.(本小题满分 12分)已知数列an的前 n 项和 Sn=2an-2n. (1)求 a1,a2. (2)设 cn=an+1-2an,证明数列cn是等比数列. (3)求数列, -的前 n项和 Tn. (1)解a1=S1,2a1=S1+2,a1=S1=2. 由 2an=Sn+2n,知 2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1, an+1=Sn+2n+1, a2=S1+22=
21、2+22=6. (2)证明由题设和式知 an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n,即 cn=2n, =2(常数). c1=21=2, cn是首项为 2,公比为 2的等比数列. (3)解cn=2n, .数列, -的前 n项和 Tn= + Tn= + , 两式相减,得 Tn= + ( - - ) - . Tn= . 21.(本小题满分 12分)已知数列an的前 n 项和 Sn=an+ n 2+ n-2(nN *). (1)求数列an的通项公式; (2)若 bn= - 为奇数 ( ) 为偶数 且数列bn的前 n项和为 Tn,求 T2n. 解(1)由于 Sn=an+
22、n 2+ n-2, 所以当 n2时,Sn-1=an-1+ (n-1) 2+ (n-1)-2, 两式相减得 an=an-an-1+n+1,于是 an-1=n+1, 所以 an=n+2. 13 (2)由(1)得 bn= 为奇数 ( ) 为偶数 所以 T2n=b1+b2+b3+b2n=(b1+b3+b2n-1)+(b2+b4+b2n). 因为 b1+b3+b2n-1= + + = ( - - - ) ,b2+b4+b2n=( ) ( ) +( ) -( ) - * -( ) +, 于是 T2n= * -( ) +. 22.(本小题满分 12分)(2019 浙江,20)设等差数列an的前 n 项和为
23、Sn,a3=4,a4=S3.数列bn满足:对每 个 nN*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)记 cn = ,nN *,证明:c 1+c2+cn2 ,nN *. 解(1)设数列an的公差为 d,由题意得 a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d, 解得 a1=0,d=2. 从而 an=2n-2,nN*. 所以 Sn=n2-n,nN*. 由 Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn). 解得 bn= -SnSn+2). 所以 bn=n2+n,nN*. (2)cn = - - ,nN *. 我们用数学归纳法证明: 当 n=1时,c1=02,不等式成立; 假设 n=k(kN*)时不等式成立, 即 c1+c2+ck2 . 那么,当 n=k+1 时,c1+c2+ck+ck+12 2 2 =2 +2( )=2 , 即当 n=k+1时不等式也成立. 根据和,不等式 c1+c2+cn2 对任意 nN*成立.
